Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова

Институт непрерывного педагогического образования

050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика

Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине

Конспект лекций

(на правах рукописи)

Абакан

1. Конспект лекция разработан в соответствии с рабочей программой дисциплины ДПП. Ф. 06. Математика по специальности 050708 (031200) Педагогика и методика начального образования

2. Разработчик: М. И. Якутова , кандидат педагогических наук, доцент

3. ПРИНЯТ на заседании кафедры педагогики и методики начального образования

24.06.2010, протокол № 10

Зав.кафедрой педагогики и методики начального образования _______________Т. А. Федорова

Утвержден Учебно-методическим советом и рекомендован к печати Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова»

Рецензенты: Доможакова О.В., кандидат педагогических наук

Математика: учебно-методический комплекс по дисциплине: конспект лекций / сост. М. И. Якутова. – Абакан, 2010.

Конспект лекций представляет собой составную часть учебно-методического комплекса по дисциплине «Математика». Данное пособие создано с учетом требований государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования и среднего специального образования.

Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальности 050708 – педагогика и методика начального образования, 050709 – преподавание в начальных классах, а также практикующим учителям начальных классов.

Конспект содержит 25 лекций.

© Хакасский государственный

университет им. Н. Ф. Катанова, 2010

© Якутова М. И., составление, 2010

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………...6

Лекция 1. Понятие множества ……………………………………………………………10

Лекция 2. Операции с множествами………………………………………………………12

Лекция 3. Операции с множествами………………………………………………………14

Лекция 4. Число элементов множеств ……………………………………………………19

Лекция 5. Математические понятия……………………………………………………….21

Лекция 6. Высказывания и высказывательные формы ……………………………… …25

Лекция 7. Высказывания с кванторами …………………………………………………..30

Лекция 8. Теоремы …………………………………………………………………………33

Лекция 9. Математическое доказательство ………………………………………………37

Лекция 10. Способы математического доказательства…………………………………..41

Лекция 11. Текстовая задача и процесс ее решения…………………………………….43

Лекция 12. Текстовая задача и процесс ее решения…………………………………….56

Лекция 13. Комбинаторные задачи и их решение……………………………………….70

Лекция 14. Алгоритмы и их свойства…………………………………………………….74

Лекция 15. Понятие вероятности…………………………………………………………83

Лекция 16. Соответствия………………………………………………………………….91

Лекция17. Взаимно-однозначные соответствия…………………………………………96

Лекция 18. Числовые функции…………………………………………………………..100

Лекция 19. Прямая и обратная пропорциональность………………………………..105

Лекция 20. Отношения на множестве…………………………………………………...112

Лекция 21. Свойства отношений…………………………………………………………115

Лекция 22. Отношения эквивалентности и порядка на множестве……………………121

Лекция 23. Алгебраические операции на множестве…………………………………………..126

Лекция 24. Выражения……………………………………………………………………135

Лекция 25. Равенства и неравенства………………………………………………………140

Лекция 26. Уравнения с одной переменной……………………………………………..142

Лекция 27. Неравенства с одной переменной……………………………………………147

Лекция 28. Уравнения с двумя переменными……………………………………………152

Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной……………….154

Лекция 30. Неравенства с двумя переменными………………………………………….156

Лекция 31. Аксиоматический метод построения теории в математике…………157

Лекция 32. Аксиоматическое построение множества целых неотрица­тельных чисел………………………………………………………………………………………...160

Лекция 33. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел …………………….168

Лекция 34. Свойства множества целых неотрицательных чисел……………………….174

Лекция 35. Метод математической индукции……………………………………………176

Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел…………………………………………………………………..178

Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел…………………………………………………………………..181

Лекция 37. Произведение и частное целых неотрицательных чисел …………………186

Лекция 38. Натуральное число как результат измерения величины…………………..191

Лекция 39. Натуральное число как результат измерения величины…………………..197

Лекция 40. Системы счисления. Десятичная система счисления………………………204

Лекция 41. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления…………………………………………………………..211

Лекция 42. Системы счисления, отличные от десятичной……………………………..221

Лекция 43. Системы счисления, отличные от десятичной……………………………..224

Лекция 44. Делимость целых неотрицательных чисел…………………………………227

Лекция 45. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел……..232

Лекция 46. Простые и составные числа………………………………………………..235

Лекция 47. Алгоритмы нахожденияНОД и НОК……………………………………….238

Лекция 48. О расширении множества целых неотрицательных чисел. Целые числа…240

Лекция 49. Положительные рациональные числа……………………………………….252

Лекция 50. Десятичные дроби ……………………………………………………………260

Лекция 51. Действительные числа……………………………………………………….264

Лекция 52. Система геометрических понятий, изучаемых в школе……………………268

Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости……………………………..273

Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости……………………………..275

Лекция 55. Построение геометрических фигур …………………………………………280

Лекция 56. Изображение пространственных фигур……………………………………..286

Лекция 57. Геометрические величины……………………………………………………292

Лекция 58. Геометрические величины……………………………………………………295

Лекция 59. Геометрические величины: масса, время……………………………………301

Лекция 60. Геометрические величины: связь величин…………………………………..308

Заключение………………………………………………………………………………….311

Список литературы …………………………………………………………………………312

Введение

Данный курс предназначен студентам факультетов и отделений начальных классов педагогических вузов и колледжей, а также учителям начальных классов. Актуальность и социальная значимостькурса обосновываются необходимостью решения задач обучения, воспитания и развития младших школьников, что предполагает повышение уровня фундаментальной математической подготовки учителя начальных классов, основой которой являются прочные знания научных основ начального курса математики. Данный курс ставит задачу усиления прикладной и профессиональной направленности подготовки учителя. Современный учитель – это учитель-исследователь, постоянно осваивающий новые технологии, новые подходы к введению тех или иных математических понятий. Современный учитель должен уметь грамотно и четко излагать мысли, аргументировать выводы, применять методы математической статистики в педагогических исследованиях. Развитие математической культуры учителя предполагает знание им места и роли математики в современном образовании.

В предлагаемом курсе отдельные темы изложены с учетом принципа «строгости», а отдельные темы на уровне разъяснения (в соответствии с интуитивным пониманием). Это объясняется невозможностью изложить строго логически значительное количество понятий, которые включаются в курс математики на педагогическом факультете вуза.

Важно сформировать у студентов научное мировоззрение, показать взаимосвязь наук, рассмотреть происхождение математических понятий из потребностей практики, наполнить абстрактные понятия конкретным содержанием.

Прикладная направленность курса математики заключается в решении следующих задач:

- привить студентам навыки применения математического аппарата к решению задач, возникающих при изучении дисциплин профессиональной подготовки (информатики, экономики, изобразительного искусства, музыкального образования, технологии и др.);

- помочь развитию способностей студентов, формированию умений и навыков общего характера (вычислительных, измерительных, графических), овладению общенаучными методами (моделирование, наблюдение, эксперимент, сбор, обработка и классификация данных);

- выработать у студентов навыки самостоятельного приобретения знаний, умение работать со справочным материалом;

- активизировать использование студентами приемов логического мышления (анализ, синтез, аналогию, обобщение и др.);

- развить творческое мышление студентов, которое является одним из обязательных качеств гармонически развитой личности;

- сформировать научное мировоззрение студентов.

Курс лекций сопровождается иллюстрирующим материалом, решением математических задач. Это потребовало сделать изложение некоторых теоретических положений довольно кратким, без доказательств, строгих, но длинных. Например, изучение некоторых геометрических понятий представлено без доказательства многих теорем, доказанных в средней школе. Знание геометрического материала обобщается, иллюстрируется. Вместе с тем те вопросы, которые не изучались в средней школе, изложены тщательно, например, теория множеств, математическая логика.

Такие традиционные темы как «Рациональные вычисления», равенства и неравенства, функции, знакомы студентам, поэтому они лишь расширены.

Одна из важнейших задач начального курса математики – формирование у детей умения решать текстовые задачи. Этот раздел включен в курс лекций и его изучение направлено на овладение умениями решать нестандартные текстовые задачи. Тема «Нестандартные текстовые задачи» призвана усилить профессиональную подготовку будущих учителей.

Учитель должен получить знание о способах изучения математических понятий в начальной школе, поэтому в данном курсе рассматриваются вопросы, непосредственно примыкающие к курсу математики начальной школы, на более высокой логической основе.

В главе «Элементы логики» описаны особенности математических понятий, предложений и доказательств, обращается внимание на изучение разных по содержанию понятий и предложений, но имеющих одинаковую логическую структуру.

В лекциях представлены современные подходы к введению множества натуральных чисел и нуля: аксиоматический, теоретико-множественный, натуральное число как мера величины, современные подходы.

В главе «Элементы алгебры» раскрыты понятия соответствия, отношения, алгебраической операции, математического выражения, равенства и неравенства, уравнения. В главе «Геометрические фигуры» рассматриваются свойства фигур, их преобразование, этапы решения задач на построение, содержатся определения и свойства геометрических величин. Изучение величин продиктовано практическими потребностями человека, однако они рассматриваются в соответствии с математическими законами, что способствует увидеть их сходство (общие свойства) и различие (различные свойства).

Главной особенностью данного курса является его профессиональная направленность. Эта направленность заложена в отборе материала, в уровне его изложения.

Материал разбит на главы, главы – на параграфы, параграфы – на пункты. Каждая лекция строится так: рассматривается значимость материала в жизни и дальнейшем обучении, излагаются теоретические положения, формулируются выводы.

При подготовке к занятиям необходимо опираться на материалы учебников начального курса математики М. И. Моро, М. А. Бантовой, А. А. Аргинской, В. Н. Рудницкой и др. Курс написан с учетом реализации принципа преемственности с курсом математики, изучаемым в средней школе и курсом методики преподавания математики, изучаемым в вузе. Его содержание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 050708 (031200) – педагогика и методика начального образования.

Цель изучения курса: обеспечить студентам факультетов начальных классов необходимую подготовку для успешного обучения и воспитания младших школьников.

Задачами курса математики в вузе являются:

• раскрыть студентам мировоззренческое значение математики, углубить их представление о роли и месте математики в изучении окружающего мира;

• дать студентам необходимые математические знания, на основе которых строится начальный курс математики, сформировать умения для глубокого овладения его содержанием;

• способствовать развитию мышления;

• развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и другой математической литературой.

Изучение литературы по теме следует начинать с общих работ, чтобы иметь представление об основных вопросах избранной темы. Статью или книгу нужно читать с карандашом в руках, делая выписки. Работу с литературой желательно вести по этапам:

Общее ознакомление с произведением в целом;

Беглый просмотр всего содержания;

Чтение в порядке последовательности всего материала;

Выборочное чтение какой-либо части произведения;

Выписка представляющих интерес материалов; критическая оценка записанного, его редактирование и «чистовая запись» как фрагмент будущей работы.

При изучении и конспектировании литературы следует обращать внимание на основные теоретические положения и методические подходы к их реализации. Используется не вся информация, а только та, которая имеет отношение к изучаемой теме. Положения, взятые из литературных источников лучше не цитировать, а излагать своими словами, сохраняя при этом смысловую идею. Обязательно надо указывать фамилию, инициалы автора, ссылку на произведение (в скобках). Для этого, необходимо правильно оформлять выписки из текста, чтобы в дальнейшем ими легко было пользоваться. Избегайте простого изложения и констатации фактов. Стремитесь определить и выразить свою точку зрения на высказывания авторов.