Шпоры по линейке

Метрическое пространство, выпуклые множества. Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел   называется n-мерной точкой. О пределение 2. Расстоянием между двумя n-мерными точками   называется величина Определение 3. Совокупность всех n-мерных точек с введенной на ней метрикой   называется n-мерным евклидовым (метрическим) пространством R^n. Определение 4.  -окрестностью точки   в R^n называется множество точек  , удовлетворяющих условию  .   Определение 5. Множество А  R^n называется открытым, если любая точка входит в него вместе с некоторой окрестностью. Определение 6. Множество B  R^n называется замкнутым, если оно является дополнением до некоторого открытого множества. В - замкнутое ó R^n\ B - открытое. Определение 7. Отрезком в R^n , соединяющим точки   и  , называется множество точек, удовлетворяющее условию  . Определение 8. Множество А  R^n называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками, входящими в него, оно содержит отрезок, их соединяющий.                       Выпуклые множества.      Невыпуклые множества.               Определение 9. Точка х  R^n называется угловой точкой множества А, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком лежащего в А.                                  Теорема. Пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Доказательство. Пусть А и В - выпуклые множества. Докажем, что   - выпуклое множество. Пусть х, у   . Следовательно,   - выпуклое множество.

Представление выпуклого многогранника. Определение 1. Замкнутое выпуклое ограниченное множество в R^n, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым n-мерным многогранником. Определение 2. Замкнутое выпуклое неограниченное множество в R^n , имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклой многогранной областью. Определение 3. Множество А  R^n называется ограниченным, если найдется n-мерный шар, содержащий это множество.   Определение 4. Выпуклой линейной комбинацией точек   называется выражение  , где ti ,    . Теорема (теорема о представлении выпуклого многогранника). Любую точку выпуклого многогранника можно представить в виде выпуклой линейной комбинации его угловых точек Область допустимых решений системы уравнений и неравенств. Пусть дана система из m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными. Определение 1. Точка   R^n называется возможным решением системы, если ее координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам системы. Совокупность всех возможных решений называется областью возможных решений (ОВР) системы. Определение 2. Возможное решение, координаты которого неотрицательны, называется допустимым решением системы. Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР) системы. Теорема 1. ОДР является замкнутым, выпуклым, ограниченным (или неограниченным) подмножеством в R^n. Теорема 2. Допустимое решение системы является опорным тогда и только тогда, когда эта точка является угловой точкой ОДР. Теорема 3 (теорема о представлении ОДР). Если ОДР - ограниченное множество, то любое допустимое решение можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек ОДР (в виде выпуклой линейной комбинации опорных решений системы). Теорема 4 (теорема о существовании опорного решения системы). Если система имеет хотя бы одно допустимое решение (ОДР Æ), то среди допустимых решений существует хотя бы одно опорное решение.