3-й семестр / Лекции / 06 - презентация

3.Найти область сходимости степенного ряда, исследовать

сходимость на концах интервала:	∑∞=1			1	∙ ( + 2)3
		(−3)		2

4. Разложить функцию x0=0, указать область его

	x		3
	y cos2
		2			в ряд Тейлора в точке

сходимости.

																																								Решение
1.							Найти сумму ряда: ∑∞=1																																							1						.
																																												( +3)
=					1									=					+													.		(										)
						( +3)																			+3									+ 3 + = 1
= 0: 3 = 1, =																										1			;						= −3: − 3 = 1, = −																												1
																								3																																						3
=						1								=			1		∙		1				−					1			∙	1					=		1			∙ (			1		−					1		)
						( +3)											3																		+3
																													3											3														+3
			= +											2	+ +																			=
					1
=			1	∙ [(				1		−	1		) + (								1			−					1		) + (							1		−		1			) + (					1				−	1		) + (		1		−	1		) +
			3																		2
					1					4																			5					3						6									4						7			5				8
(	1		−		1		) + (								1		−							1				)] =								1			∙ [1 +							1		+			1			−	1			]
																																																								+3
6					9																	+3												3												2			3
= lim													=			11
				→∞												18

	Другой вариант задания 1:																			(−1)
	1.		Найти сумму ряда: ∑∞																			.
					(−1)													=1			5
			=
							,				–			сумма							первых		членов		геометрической
					5
																							1		1
	прогрессии, первый член равен 1 = −																							, = −		.
																							5
																	1								5
				(1− )								1			1−(−			)
			=	1					= −				∙		5
																1
					1−							5
										1				1+5
	= lim = −										.
			→∞							6

1. Исследовать ряды на сходимость. В случае знакопеременного или знакочередующегося ряда указать характер сходимости:

	5		3 2+4
	2.1) ∑∞=1 √			.
			2+5 +1
									5 3 2+4
	Проверим необходимое условие сходимости: = √										,
										2+5 +1
		5			3 2+4		5
	lim →∞	= lim √					= √3 ≠ 0, условие не выполнено, ряд
					2+5 +1
			→∞

расходится.

	∑∞=1	(3 )!		(3 )!			(3 +3)!
2.2)			. =		, +1	=		.
		( !)3∙43		( !)3∙43			(( +1)!)3∙43 +3

Применим признак Даламбера:

(3 +3)!

lim →∞

+1

= lim

∙

(( +1)!)3∙43 +3

→∞

= lim

(3 +1)(3 +2)(3 +3)

=

→∞

( +1)3∙43

= lim

3(3+

1

)(3+

2

)(3+

3

)

=

27

< 1 ,

1 3

→∞

3

3

64

(1+

) ∙4

( !)3∙43 = (3 )!

следовательно, ряд сходится.

3⁄2

2.3) ∑∞ (√ +2) .

=1 √ +3

Применим признак Коши радикальный.

								3⁄
								2
			√
					√ +2
lim →∞ √ = lim				(			+3)
		→∞			√

√

= lim (√ +2) = [1∞] =

→∞ √ +3

√ +3 −1

−1

√

−1

−1

∙

∙√

√

+3

lim (1 +

)

= lim (1 +

)

=

+3

+3

→∞

√

→∞

√

	lim	−√						1
	= →∞√ +3 =

< 1, следовательно, ряд сходится.

2.4) ∑∞=1 √ ∙ 3+1 2.

Сравним члены исходного ряда с 31⁄2:

1

3⁄2

∙

0

lim →∞

√

3+ 2

= lim

√ ∙

= 1 ≠ {

. Предел отношения

1

3+ 2

∞

→∞

3⁄

2

члена исходного ряда к члену ряда для сравнения равен 1, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково.

Так как ∑∞=1	1
	3
	⁄2

– ряд Дирихле, сходится (3⁄2 > 1),

следовательно, исходный ряд сходится по предельному признаку сравнения.

2.5) ∑∞=1(−1)	1				– знакочередующийся ряд.
	√ 2+1
Рассмотрим ряд из модулей: ∑∞=1						1
						√ 2+1

1

Проверим необходимое условие сходимости: lim →∞ √ 2+1 = 1.

Оно не выполнено, ряд из модулей расходится. Абсолютной сходимости у знакочередующегося ряда нет.

Условие Лейбница lim →∞ = 0 также не выполнено, ряд расходится.

	2.6)	∑∞	(−1)	– знакочередующийся ряд.
			(ln +4)3
		=1
	Рассмотрим ряд из модулей: ∑∞				1	.
					(ln +4)3
				=1

Исследуем его на сходимость с помощью признака интегрального:

∫1+∞	1		= ∫1+∞	(ln +4)		1		+∞		1
					= −			|	=
	(ln +4)	3		3		2(ln +4)	2			32
				(ln +4)			1

несобственный интеграл сходится, следовательно, ряд из модулей сходится, следовательно,

исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Коши

–

Рассмотрим														еще											пример										знакочередующегося						ряда:
∑∞		(−1)−1
											.
=3		3
			3
		√
										3
																									1
Ряд из модулей:														∑∞=3																	.
																				3
																									3
																						√						3
																			1
Сравним член ряда с																								.
																			3
																			√						3
																																						≠ { 0 , следовательно, ряды
lim						1								∙	1		= lim										√							=	1
				3											3												3								3
	→∞ √3														√							→∞ √3													√3					∞
												3
						1												1
∑∞=3												и ∑∞=1													ведут себя одинаково.
		3																3
			3
		√
										3									√
		1																																				1
∑∞=1
						– ряд Дирихле, расходится																																(		< 1), следовательно, ряд
		3																																					3
		√

из модулей расходится тоже (предельный признак сравнения), значит, у исходного знакочередующегося ряда абсолютной сходимости нет.