Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

H		rUm			cos t 0 sin t
			2d					(7)
	rUm
	2d			cos t 0 cos		t	.
							2

Для получения окончательного результата в компактном виде воспользуйтесь графическим способом сложения гармонических колебаний. Представьте каждое гармоническое колебание в квадратных скобках (7) вектором амплитуды и найдите

вектор, представляющий сумму этих коле- Рис. 3.8 баний (рис. 3.8).

Длина результирующего вектора на рис. 3.8 равна амплитуде искомого колебания, а угол начальной фазе, которая показывает, как фаза колебаний напряженности магнитного поля сдвинута относительно фазы колебаний тока в подводящих проводах:

	H	rUm	2 0 2 cos t ,	tg	0 .
		2d

Задача решена.

Замечание. Обратите внимание на увеличение амплитуды напряженности магнитного поля с ростом частоты переменного напряжения (при сохранении прочих параметров). Поясните этот результат.

У.М.–3

Предлагается найти полную энергию электромагнитного поля в объеме соленоида, по обмотке которого течет переменный ток.

Ответьте на вопросы:

1.Что такое электромагнитное поле? Сформулируйте основные идеи теории Максвелла о связи электрического магнитного полей, выразите их соответствующими уравнениями.

2.Нарисуйте линии напряженности магнитного поля, создаваемого током проводимости, текущим по обмотке соленоида.

71

3.Нарисуйте линии напряженности вихревого электрического поля, создаваемого переменным магнитным полем в соленоиде.

4.Раскройте понятие плотности энергии электромагнитного поля. Как она может быть выражена? Как найти энергию, заключенную в определенном объеме, если поле в этом объеме неоднородно?

Задача. Переменный синусоидальный ток частотой = 1000 с–1 течет по обмотке прямого соленоида, радиус сечения которого R = = 6,0 см. Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергии внутри соленоида.

Решение. Раскройте смысл уравнений

						дD
	Hdl		jпр						dS ,	(1)
						дt
L				S
					дB
		Edl					dS .			(2)
					дt
	L			S

Как направлены векторные величины в (1) и (2) в условиях рассматриваемой задачи?

Убедитесь, что из (1), если пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, получится

	H	NIпр	nI,	(3)
		l

где п – число витков обмотки на единицу длины соленоида. Соответствующая индукция в соленоиде

	B 0	NIпр	0nI .	(4)
		l
	Плотность магнитной энергии выражается формулой

w	1	HB.	(5)
м	2

Подставьте в (5) результаты (3) и (4); для амплитудного значения плотности магнитной энергии получите

wм			1	0n2I02 ,	(6)
	max
		2

где I0 амплитуда тока.

72

Так как обмотка соленоида питается переменным током, то и магнитное поле будет переменным. Поэтому в соленоиде возникнет вихревое электрическое поле (рис. 3.9). Найдите его напряженность, используя уравнение (2).

Совместите контур интегрирования L в (2) с одной из линий напряженности вихревого электрического поля (окружность внутри соленоида на рис. 3.9); тогда правая часть уравнения (2) будет представлять собой скорость изменения магнитного потока через площадь круга, ограниченного контуром L .

Учитывая, что магнитное поле в соленоиде однородно, а величина индукции поля выражается формулой (4), приведите

(2) к виду

E 2 r 0n

дI

r2 .

(7)

Рис. 3.9

дt

Из (7) получите

E

1

0n

дI

r,

(8)

2

дt

а затем

D

E

1

n

дI

r.

(9)

0

2

0 0

дt

Вспомните выражение плотности энергии электрического поля

1 wэл 2 ED.

Найдите ее амплитудное значение, с учетом (8) и (9)

wэл			1	0 0n I0 2 r2 .	(10)
	max
		8

Так как магнитное поле в соленоиде однородно, то полная энергия находится как произведение плотности энергии (6) на объем соленоида:

Wм max	wм max	R2l	1	0n2I02 R2l .	(11)
		2

Плотность электрической энергии зависит от радиуса, поэтому ее можно считать постоянной внутри цилиндрического слоя малой толщины, ось которого совпадает с осью соленоида.

73

Вычислите электрическую энергию, собирая ее по всем цилиндрическим слоям:

			Wэл	max wэл maxdV			1	0 0n I0 2	R
									r2l2 rdr
							8				(12)
				V					0
					1	0 0n I0 2 lR4.
				16
Разделите (12) на (11) и вычислите искомое соотношение:
		Wэл max		0 0 2R2	2R2		103 2 6 10 2 2			0,5 10 14	,
		Wм max		8		8c2		8 3 108 2
где	1		с2; с – скорость света в вакууме.
	0 0

Задача решена.

Замечания.

1.Сравнивая (4) и (8) и учитывая, что ток в обмотке меняется по гармоническому закону, ответьте, как сдвинуты по времени максимумы электрической и магнитной энергии в соленоиде.

2.Оцените порядок отношения тока проводимости к току смещения, которым мы пренебрегли в (1) при получении (3).

У.М.–4

Предлагается вспомнить характерные особенности излучения элементарного диполя, вычислить интенсивность излучения.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется элементарным диполем? Что называется волновой зоной диполя? Что представляет собой волновой фронт в волновой зоне?

2.Как направлены векторы напряженности электрического и магнитного полей в волне, излучаемой диполем, относительно направления ее распространения?

3.Нарисуйте примерную конфигурацию линий напряженности электрического поля и линий напряженности магнитного поля в волновой зоне диполя.

74

4.Что называется плотностью потока энергии? Интенсивностью? Выразите плотность потока энергии, переносимой электромагнитной волной, через параметры поля. Что называется вектором Пойнтинга?

5.Учитывая, что амплитуда напряженности электрического по-

ля в волне, излучаемой диполем E	1	и что H E	0	, нари-
	rsin		0

суйте примерную диаграмму направленности излучения диполя, откладывая на лучах, идущих под различными углами к оси диполя, отрезки пропорциональные интенсивности излучения в соответствующем направлении.

Задача. В направлении максимального излучения на расстоянии r0 = 10 м от элементарного диполя (волновая зона) амплитуда напряженности электрического поля равна Е0 = 6 В/м. Найти среднее значение плотности потока энергии на расстоянии r = 20 м от диполя в направлении, составляющем угол = 30 с его осью (рис. 3.10).

	Решение.	Вспомните выражение вектора
	Пойнтинга S	E,H и связь между модуля-
	ми напряженностей электрического и магнит-
	ного полей в электромагнитной волне, распро-
	страняющейся в однородной, изотропной сре-		Рис. 3.10
	де E 0 H	0 .

Запишите выражение для среднего значения плотности потока энергии (интенсивности), переносимой волной в направлении угла(см. рис. 3.10):

S			1	E H			1	E2		0	.	(1)
		2				2				0

Учитывая зависимость амплитуды волны от угла и расстояния r, введите некоторый коэффициент k и запишите

E k

1

sin .

(2)

	r

Повторите тоже для заданных в условии задачи r0 и Е0 в направлении = 90 :

75

E		k	.	(3)
0		r
	0

Исключите из (2) и (3) коэффициент k и получите

E	E	r0	sin .	(4)
	0	r

Подставьте (4) в (1), чтобы искомую величину выразить через заданные r0 и Е0, вычислите ее:

									1	E02	r			2		0		sin2
						S						0
									2			r
																0
	1		2	10		2							1						1		3 Вт
		6																			3 10			.
	2							4 9 10					9	4 10				7	4			м	2
				20

Задача решена.

Основные термины1

Электромагнитное поле Электромагнитная индукция ЭДС индукции Индукционный ток

Потокосцепление (полный магнитный поток) Вихревое электрическое поле Индуктивность контура (коэффициент самоиндукции) Взаимная индуктивность контуров Ток смещения Плотность тока смещения

Плотность тока проводимости Плотность полного тока Электромагнитная волна Вектор Пойнтинга

Диаграмма направленности излучения

1 Для иностранных студентов – заучите термины.

76

4.ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Д.Ч.–1

Предлагается решить задачу о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле.

Ответьте на вопросы:

1. Вспомните основное уравнение динамики материальной точ-

ки.

2.Какая сила действует на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях? Вспомните выражение силы Лоренца.

3.Как найти зависимость координат частицы от времени? Что еще, кроме сил, необходимо знать, чтобы получить кинематические уравнения движения? Что вы понимаете под начальными условиями?

4.Как найти траекторию частицы, если известна зависимость ее координат от времени?

5.Как найти скорость заряженной частицы, если известна ускоряющая ее разность потенциалов?

6.Вспомните, как находятся проекции векторного произведения на декартовы оси координат?

Задача. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U =

= 1,0 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом = 30

к вектору B , модуль которого В = 29 мТл. Найти шаг винтовой траектории электрона.

Решение. В условии задачи априори сказано, что траектория электрона – винтовая линия. Воспользуйтесь этим и сделайте соответствующий чертеж (рис. 4.1). Затем последовательно решайте задачу, чтобы найти уравнение траектории и определить характерные параметры: шаг винтовой линии, радиус витка, циклическую частоту обращения частицы.

Рис. 4.1

77

Запишите уравнение движения электрона в магнитном поле
	dv
m		e v,B .		(1)
	dt

Введите декартову систему координат, направив ось Oz вдоль вектора индукции магнитного поля, а начало координат О совместив с положением электрона в начальный момент времени, приня-

тый за начало его отсчета.
Спроектируйте (1) на декартовы оси координат:
ɺɺ	e				ɺ		(2)
x				yB ,
	m
ɺɺ			e			ɺ	(3)
y						xB,
			m
ɺɺ	0.						(4)
z
Запишите начальные условия для координат:
x 0 0; y 0 0; z 0 0,							(5)
для проекции вектора скорости на ось Oz:
zɺ 0 v		vcos					(6)

и для модуля проекции вектора скорости на плоскость хОу:

x	2	0 y	2	0 v vsin	2	.	(7)
ɺ		ɺ		2

Обратите внимание на принятые обозначения:

v – проекция v на направление вектора индукции,

v – проекция v на направление перпендикулярное вектору ин-

дукции.

Обе проекции выражаются через модуль скорости и заданный угол .

Решая (4) с учетом (5) и (6), получите

zɺ const v cos ; z v cos t.	(8)
Уравнение движения вдоль поля найдено.
Решения уравнения (2) и (3) предлагается искать в виде
x C1 cos t ,	(9)
y C2 sin t .	(10)

Подставляя (9) в (2), а (10) в (3) получите соответственно

C 2		e	C B,	(2 )
1		m 2

78

C 2		e	C B.	(3 )
2		m 1

Решая эти уравнения совместно, найдите константы С и цикли-

ческую частоту .
Разделите (2 ) на (3 ) и получите
	C2	C2.			(11)
	1	2
Из двух возможных решений C1 C2					выберите C1 C2 , так
как при C1 C2 частота,	определяемая из (2 ) или (3 ), оказалась
бы отрицательной, что является абсурдом.
Получите формулу
			e	B.	(12)
			m

Исключая из (9) и (10) время, найдите траекторию электрона в

плоскости хОу:
x2 y2 C2.	(13)

Это уравнение окружности.

Найдите радиус окружности С, подставляя (9) и (10) в начальное

условие (7). Получите
C	mv	.	(14)
	eB

Принимая во внимание (8) и (13), сделайте заключение, что траектория – винтовая линия.

Шаг винта, т.е. расстояние между соответствующими точками соседних витков, выразите формулой

h v T v 2

где Т – период вращения частицы.

Пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии

mv2 eU, 2

определите модуль скорости электрона

(15)

(16)

v 2U	e	.	(17)

m

Подставляя (6) и (17) в (15), получите окончательный ответ:

79

h	2		2U	cos 2,0 10 2 см.

Bem

Задача решена.

Замечания.

1.Частицы, влетающие в область однородного магнитного поля перпендикулярно линиям индукции, будут двигаться по круговым траекториям.

2.Радиусы окружностей для частиц, имеющих одинаковый заряд, ускоренных одной и той же разностью потенциалов, зависят от удельного заряда (е/т) частиц. Это обстоятельство используется, в частности, для разделения изотопов.

3.Обратите внимание на то, что не зависит от скорости частиц. Это обстоятельство используется, в частности, в циклотроне. Поэтому эту частоту иногда называют циклотронной.

4.Шаг винта не зависит от угла под которым частицы влетают

вполе. Это обстоятельство используют для магнитной фокусировки пучка заряженных частиц.

Д.Ч.–2

Предлагается вспомнить принципиальное устройство циклотрона и связать максимальное значение энергии, до которой может быть ускорена заряженная частица, с параметрами циклотрона – индукцией магнитного поля, частотой генератора переменного напряжения, размерами дуантов.

Ответьте на вопросы:

1.Рассмотрите принципиальное устройство циклотрона. Какую принципиальную роль играет электрическое поле? Магнитное? Нарисуйте линии напряженности электрического поля, ускоряющего частицы. Нарисуйте линии индукции магнитного поля, обеспечивающего необходимую траекторию частицы.

2.Каков вид траектории заряженной частицы в циклотроне? На каких участках траектории происходит ускорение?

3.С какой частотой должно изменяться напряжение, прикладываемое к дуантам? Сравните с частотой обращения заряженной ча-

80