Вопросы к зачету за 3-й семестр
Ряды.
Числовые ряды
1. Числовые ряды: частичные суммы, сумма ряда, сходимость и расходимость рядов. Примеры. Геометрический ряд, условие его сходимости. Свойства сходящихся рядов.
2. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
Суммы рядов вида: ∑=1∞ |
1 |
|
и ∑= +1∞ |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
(+) |
2 |
− |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||
3. Положительные ряды. Критерий сходимости положительных рядов. Первый и второй признаки сравнения. Примеры.
4. Оценка роста частичных сумм гармонического ряда. Эйлерова постоянная.
5. Признаки сходимости Коши, Даламбера и Раабе положительных рядов. Примеры. 6. Интегральный признак сходимости рядов. Примеры. Обобщенный гармонический ряд, условие сходимости. Приближенное вычисление суммы ряда. Примеры 1).
7.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда. Примеры 2).
8.Знакопеременные ряды. Достаточное условие сходимости. Понятия абсолютной и условной сходимости. Ряды Дирихле.
9.Признаки сходимости Абеля и Дирихле знакопеременных рядов. Примеры 3).
10. Ряды вида: ∑=1∞ |
( ∙ ) |
и ∑=1∞ |
( ∙ ) |
(0 < |
< ). Исследование этих рядов на |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
условную и абсолютную сходимость.
Степенные ряды
11. Функциональные ряды. Области сходимости. Примеры. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Примеры.
12. Критерий Больцано-Коши сходимости числовых рядов и равномерной сходимости функциональных рядов. Признак Вейерштрасса о мажорантных рядах. Примеры.
13. Функциональные свойства суммы ряда. Теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.
14. Степенные ряды. Теорема Абеля и ее геометрический смысл.
15. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости. Примеры.
16. Равномерная сходимость степенного ряда. Примеры 4). Функциональные свойства
суммы степенного ряда.
17. Ряды Тейлора и Маклорена. Понятие разложимости функции в ряд Тейлора. Критерий разложимости. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
18. Разложение функций: , (1 + ), и в ряд Маклорена. Области сходимости.
19. Разложение функции (1 + ) в ряд Маклорена. Частные случаи: = −1, = ± 12. Области сходимости. Приближенные вычисления суммы биномиального ряда. Примеры 5).
20. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Примеры 6).
Дифференциальное исчисление ф.н.п.
Функции нескольких переменных
1. Евклидово пространство . Основные множества в . Ограниченные, связные, открытые и замкнутые множества в , предельные и граничные точки множества. Понятие области. Примеры 7).
2. Функции нескольких переменных, график функции двух переменных. Понятие предела функции нескольких переменных. Повторные пределы. Примеры.
3. Понятие непрерывности функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных в точке (с комментариями). Множество точек разрыва ф.н.п. Примеры 8).
4. Свойства функций, непрерывных в области. Теоремы Больцано - Коши. Примеры 9). 5. Свойства функций, непрерывных в области. Теоремы Вейерштрасса. Примеры 10). 6. Понятие равномерной непрерывности функций нескольких переменных. Теорема
Кантора. Примеры 11).
Дифференцирование ф.н.п.
7. Частные приращения, частные производные и частные дифференциалы функций нескольких переменных, их геометрический смысл. Примеры.
8. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Свойства дифференцируемых функций. Достаточное условие дифференцируемости.
9. Полный дифференциал функции нескольких переменных и его геометрический смысл. Уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции двух переменных. Примеры 12).
10. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях. Оценка погрешности вычисления значения функции. Относительные погрешности произведения и частного.
11. Частные производные сложных функций нескольких переменных. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
12. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных. Равенство смешанных производных. Полные дифференциалы высших порядков. Примеры.
13. Дифференцирование неявных функций нескольких переменных. Примеры. 14. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Формула Маклорена.
Примеры 13).
Экстремумы ф.н.п.
15. Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции 2-х переменных.
16. Исследование квадратичной формы на определенность и неопределенность. Достаточные условия экстремума функции 2-х переменных (Следствие). Примеры.
17. Достаточные условия экстремума функции 3-х переменных. Критерий Сильвестра. 18. Метод наименьших квадратов. Примеры 14).
19. Условные экстремумы функций 2-х переменных. Постановка задачи и ее геометрический смысл. Функция Лагранжа и система Лагранжа. Необходимые и достаточные условия в задаче на условный экстремум. Примеры 15).
20. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области. Алгоритм поиска. Примеры 16).
Примеры
1)№ 1.142 ÷ 1.144
2)№ 1.174 ÷ 1.181
3)№ 1.187 ÷ 1.197
4)№ 2.23 ÷ 2.26
5) √5, √29, √111 , √231 , 3√10, 3√72 , 3√71 , 3√601 , = 0,001
6)№ 2.89 ÷ 2.102
7)№ 4.1 ÷ 4.4, 4.10 ÷ 4.14
8)№ 4.52 ÷ 4.56
9)№ 4.57 ÷ 4.60
10)№ 4.61 ÷ 4.64
11)№ 4.67 ÷ 4.68
12)№ 5.101 ÷ 5.104
13)№ 5.117 ÷ 5.120
14)№ 6.21 ÷ 6.22
15)№ 6.27 ÷ 6.34
16)№ 6.38 ÷ 6.46
Контрольные вопросы.
1. Понятия сходимости и расходимости числовых рядов, понятия частичной суммы и суммы ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда.
2. Признаки сходимости положительных рядов: 1-й и 2-й признаки сравнения, Коши, Даламбера, интегральный.
3. Геометрический ряд, условие сходимости. Частичные суммы и сумма ряда. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд, условие его сходимости.
4. Понятия абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Ряды Дирихле, условия сходимости.
5. Степенной ряд. Радиус, интервал и область сходимости. Теорема Абеля.
6. Ряд Тейлора, понятие разложимости функции в ряд Тейлора. Критерий разложимости. Ряды Маклорена функций: , (1 + ), , , (1 + ) . Области сходимости.
7. Пространство . Понятие расстояния в . Функции нескольких переменных. Понятия предела и непрерывности ф.н.п. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса.
8. Частные приращения и полное приращение, частные производные и частные дифференциалы ф.н.п. Понятие дифференцируемости ф.н.п.
9. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных. Полный дифференциал ф.н.п. Свойство инвариантности полного дифференциала.
10. Дифференциалы высших порядков. Формулы для вычисления полных дифференциалов 1-го, 2-го и 3-го порядков функций 2-х переменных.
11. Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Критические точки.
12. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных. Квадратичная форма, понятия определенности и неопределенности.