Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

разбиения [18]. Широкое представление о численных методах можно найти в книгах [18],

[19].

1.3.7. Принцип суперпозиции

Уравнение пьезопроводности является линейным уравнением. Решения этого уравнения соответствуют принципу суперпозиции. Это означает, что для того чтобы посчитать давление в произвольной точке пласта, который вскрывают 2 и более скважин,

необходимо просто сложить решения для разных скважин, как показано на Рисунок 1.1.

Используя принцип суперпозиции, можно смоделировать остановку скважины, переход скважины на другие режимы работы.

p( X ,t ) p ( r ,t			) p	( r ,t	2	) p ( r ,t		3	)
1	1	1	2	2		3	3

Рисунок 1.3. Принцип суперпозиции при решении линейных уравнений: давление в данной точке – есть сумма вкладов в изменение давления от разных скважин

, где ri - расстояние от исследуемой точки X до i-ой скважины, ti - время работы i-ой скважины.

Поэтому, для того чтобы смоделировать случай, когда дебит скважины -

переменный, достаточно рассмотреть две скважины, находящиеся в одной точке и сложить решения для этих скважин, причем дебит первой скважины – q1 , второй q2 q1 ,

вторая скважина начинает работать в момент времени t t1 (Рисунок 1.4).

13

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

p	wf	(t) p	wf	(q	, t) p	wf	((q	q ), (t t		))
				1			2	1	1

Рисунок 1.4. Принцип суперпозиции при решении линейных уравнений: скважина с переменным дебитом

В случае модели постоянного давления – все те же рассуждения верны, в отношении перепадов давления, относительно среднего пластового давления.

1.3.8. Метод отображения

Иногда полезен метод, называемый методом отображения [9]. Поясним его на примере. Допустим необходимо найти динамику распределения давления от скважины

(добывающей или нагнетательной), расположенной на некотором расстоянии от полубесконечного пласта (Рисунок 1.5).

Рисунок 1.5. Метод отображения при решении некоторых смешанных задач

Распределение давления в этом случае будет эквивалентно распределению от работы двух одинаковых скважин: первая – данная скважина, а вторая – «мнимая» скважина,

расположенная симметрично от границы полубесконечного пласта (Рисунок 1.5).

Рассмотрим скважину в центре прямоугольного ограниченного пласта. Данная система эквивалентна скважине, работающей с теми же параметрами в бесконечном пласте, но при этом скважину окружают совокупность таких же «мнимых» скважин,

симметрично расположенных от границы пласта (Рисунок 1.6).

14

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рисунок 1.6. Метод отображения при решении некоторых смешанных задач: скважина в прямоугольном пласте

Вообще говоря – необходимо рассматривать бесконечное число таких «мнимых» скважин (как будто они симметрично расположены во всем бесконечном пласте), но, как показывают расчеты – уже при рассмотрении 9 скважин (1 данная скважина и 8 скважин окружения) в бесконечном пласте, можно получить хорошее приближение. Однако необходимо проводить анализ чувствительности решения к количеству скважин окружения при решении данной конкретной задачи.

1.4.Неустановившийся режим

При анализе решения уравнения пьезопроводности, выделяют несколько режимов работы скважины. Неустановившийся (Transient), поздний неустановившийся (late transient), псевдоустановившийся (pseudo steady state) – их существует несколько типов, в

зависимости от того, где находится скважина, установившийся режимы (steady state).

Стоит отметить, что разделение на различные режимы – весьма условное.

15

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Под неустановившемся режимом работы скважины понимают режим, когда воронка
депрессии	распространяется от скважины к границам области дренирования (Рисунок
1.7).
		Распределение давления в пласте в разные моменты
					времени
300
250
200
атм 150							t=50 часов
p,							t=5 часов
100							t=0.5 часов
							Граница пласта
50							Начальное давление
0
	0	50	100	150	200	250	300	350	400
					r, м
Рисунок 1.7. Иллюстрация неустановившегося режима

При неустановившемся режиме скважина не чувствует границ, то есть динамика ее дебита (в модели постоянного давления) или забойного давления (в модели постоянного дебита) не отличается от таковой, если бы пласт был бесконечным. Математически это означает, что вне зависимости от граничных условий (на границах пласта), решения во время протекания неустановившегося режима совпадают. Это проиллюстрировано на рисунке ниже. На Рисунок 1.8 представлен пример динамики забойного давления в модели постоянного дебита, а также динамики дебита в модели постоянного давления для трех случаев – бесконечный пласт, пласт с поддержанием постоянного давления, а также пласт с отсутствием перетока на границе (о смысле введения безразмерных координат tDA ,

pD , QD	и об их определении речь пойдет ниже). Видно, что в течение некоторого
времени	решения для всех трех случаев совпадает. Режим, на котором это выполняется –

и есть неустановившийся режим.

16

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

pD

Сравнение решений для различных граничных
	условий в модели постоянного дебита
12
10
8
6
4		Постоянное давление на границе
2		Отсутствие перетока через границу
		Бесконечный пласт
0
0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
			tDA

QD

0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

Сравнение решений для различных граничных условий в модели постоянного давления

		Постоянное давление на границе
		Отсутствие перетока через границу
		Бесконечный пласт
0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
			tDA

Рисунок 1.8. Иллюстрация протекания неустановившегося режима в модели постоянногог дебита (слева) и в режиме постоянного давления (справа)

1.4.1. Аппроксимация решения на временах неустановившегося режима для модели постоянного дебита

Аналитическое решение уравнения пьезопроводности даже для самых простых случаев плоскорадиального притока в ограниченном пласте выглядит достаточно громоздко. Но если мы говорим об неустановившемся режиме, то как было выше показано, это решение не должно отличаться от решения для бесконечного пласта на временах протекания неустановившегося режима. Заметим, что решение для бесконечного пласта имеет относительно простой вид.

Как уже было сказано, наиболее распространены две модели работы скважины:

модель постоянного дебита и модель постоянного давления. Причем в литературе в основном описывается модель постоянного дебита. Решение для скважины, работающей с постоянным дебитом в бесконечном пласте, в случае плоскорадиального притока, легко получить, проинтегрировав соответствующее фундаментальное решение (1.13) [20], [1]:

e

r2

p r,t

Q t

4 t t'

Q

r 2

p p0

dt'

,

(1.31)

Ei

4 kh

0

t t'

4 kh

4 t

где Ei z - интегральная показательная функция или интегральная экспонента.

Для данного решения имеется более удобная аппроксимация [20], [1]:

p r,t p			Q			4 t
	0			ln				,	(1.32)
						r 2
			4 kh

где 0.5772 - константа Эйлера-Маскерони.

Аппроксимация (1.32) - называется логарифмической аппроксимацией и имеет место при следующем условии на время:

17

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где

На решения.

		25r		2
	t				,
			w			(1.33)
	- коэффициент пьезопроводности.
рисунке изображено сравнение				логарифмической аппроксимации и точного

PD

Сравнение точного решения и логарифмической аппроксимации для модели постоянного дебита

10

9

8

7

6

5

4

3				Точное решение
2				Логарифмическая аппроксимация
1
0
0	0.02	0.04	0.06	0.08	0.1	0.12	0.14
				tDA

Рисунок 1.9. Сравнение точного решения и логарифмической аппроксимации для модели постоянного дебита

Для динамики забойного давления при вышеизложенном условии имеет место формула, которая получается из (1.32) путем подстановки r rw :

p	wf	t

p0

Q			4 t
	ln		r 2
4 kh
			w

 

,

(1.34)

1.4.2. Аппроксимация решения на временах неустановившегося режима для модели постоянного давления

Рассмотрим модель постоянного давления. В работе [21] говорится, что при анализе дебита скважины, работающей на неустановившемся режиме с постоянным забойным давлением с точностью около 1% можно пользоваться приближенной формулой:

18

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

	2 kh	P P
q		0		wf
				t
		ln 1
				r
				w

Формула (1.35) имеет место при следующем условии на время:

	r	r
t			2	,
	e	w

(1.35)

(1.36)

где re - радиус дренирования, rw - радиус скважины.

Многие специалисты при анализе неустановившегося режима скважины,

работающей с постоянным давлением, пользуются соответствующей формулой (1.34) для неустановившегося режима скважины, работающей с постоянным дебитом, предполагая,

что давление в формуле (1.34) постоянно, а дебит при этом меняется. Иногда, построенное таким образом решение называется «перевертышем», отражая его суть. На Рисунок 1.10

показано сравнение точного решения, с аппроксимацией Чекалюка [21], а также с

«перевертышем». График построен в безразмерных координатах, поэтому выводы верны для всей области изменения параметров пласта. Из рисунка видно, что аппроксимация Чекалюка имеет более точное приближение. Заметим, что с математической точки зрения

«перевертышем» в модели постоянного давления пользоваться некорректно.

Сравнение решений

QD

0.17

0.16

Точное решение

0.15	Аппроксимация Чекалюка

"Перевертыш"

0.14

0.13

0.12

0

0.05

0.1

0.15

0.2

tDA

Рисунок 1.10. Сравнение точного решения, аппроксимации Чекалюка и «перевертыша»

19

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Как уже было замечено ранее, за неустановившимся режимом следует поздний неустановившийся – переходный режим между неустановившимся и псевдоустановившимся или установившимся режимом (если псевдоустановившийся режим отсутствует). Пока отсутствуют аппроксимации этого режима, при его описании можно пользоваться лишь точным или численным решением.

1.4.3.Время протекания неустановившегося режима

Вразных источниках встречается разные данные о продолжительности

неустановившегося режима. Очевидно, что мерой характерного времени протекания неустановившегося режима в ограниченных пластах есть:

		ttr C	A	,	(1.37)
где	A	- площадь пласта или	области дренирования,		- коэффициент

пьезопроводности, C - безразмерный коэффициент пропорциональности.

Проблема возникает в отыскании численного значения коэффициента C в формуле

(1.37). Рассмотрим скважину, работающую с условием постоянного дебита в центре кругового однородного изотропного пласта. Для общности построим на одном графике в безразмерных координатах решения зависимости забойного давления от времени для скважины, находящейся в бесконечном пласте, скважины, находящейся в пласте с поддержанием постоянного давления на границе, а также для скважины, находящейся в пласте с отсутствием перетока на границе. По оси абсцисс отложим безразмерное время,

нормированное на площадь пласта:

	tDA	t	.
		A

По оси ординат отложим безразмерный перепад давления:

(1.38)

p	D

2 kh pq

,

(1.39)

где p - перепад давления между начальным и текущим забойным давлением.

Смысл введения безразмерных координат заключается в общности построенных графиков в этих координатах для произвольного разброса параметров пласта, так как зависимости «нормируются» на различные характеристики пласта для получения безразмерного комплекса.

20

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Время протекания неустановившегося режима в модели постоянного дебита

pD

12
10
8
6
4			Постоянное давление на границе
2			Отсутствие перетока через границу
			Бесконечный пласт
0
0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
			tDA

Рисунок 1.11. Время протекания неустановившегося режима в модели постоянного дебита

Из Рисунок 1.11 видно, что решения совпадают на неустановившемся режиме.

Расхождение начинается при времени tDA 0.1, при этом времени решения для разных граничных условий отличаются не более 1%. Это определяет коэффициент пропорциональности в формуле (1.37). Поэтому для скважины в центре кругового пласта имеет место оценка для времени неустановившегося режима:

			A		r	2
t		0.1
					e
	tr

		r	2
	0.3	e

,

(1.40)

. В книге [57] произведена оценка времени неустановившегося режима для скважин,

находящихся в пластах различной формы, а также в различных частях этого пласта,

показано, что формула (1.40) является верхней оценкой продолжительности неустановившегося режима в модели постоянного дебита.

Рассмотрим модель постоянного давления. Аналогично предыдущему пункту построим зависимости дебита от времени в безразмерных координатах для трех случаев:

бесконечного пласта, пласта с поддержанием постоянного давления на границе и пласта с отсутствием перетока на границе (Рисунок 1.12).

Безразмерный дебит определяется по формуле:

21

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

	q			q B
		D		2 kh p	,

(1.41)

Время протекания неустановившегося режима в модели постоянного давления

QD

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04	Постоянное давление на границе
0.02	Отсутствие перетока через границу
	Бесконечный пласт
0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

tDA

Рисунок 1.12. Время протекания неустановившегося режима в модели постоянного давления

Из графика видно, что расхождение начинается при tDA 0.1.

Расчеты показывают, что и в модели постоянного давления при безразмерном времени, меньшем чем 0,1: tDA 0.1, решения различаются также не более чем 1%.

Анализируя результат [20], [21] и наши расчеты, можно без ограничения общности дать достаточно точную оценку протекания неустановившегося режима следующей формулой:

t	tr

0.1

A

.

(1.42)

22

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts