Линейная Алгебра Билеты 1 Курс 1 Семестр

Линал

Со слов гг. Пионтковского и Черныш¼ва записал Павел Фомин

13 декабря 2013 г.

1Основные операции над векторами и матрицами

На множестве n-мерных векторов определены следующие операции:

сложение: (a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn);

умножение на скаляр: (a1; a2; : : : ; an) = ( a1; a2; : : : ; an);

скалярное произведение1: (a1; a2; : : : ; an) (b1; b2; : : : ; bn) = a1b1 + a2b2 + + anbn.

Билет 1.

Докажите дистрибутивность, коммутативность сложения и скалярного произведения, ассоциативность сложения в n-мерном евклидовом пространстве 2.

Все доказательства проводятся через ссылки на соответствующие свойства вещественных чисел.

Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения:

A(B + C) = (a1; a2; : : : ; an) ((b1; b2; : : : ; bn) + (c1; c2; : : : ; cn)) =

=(a1; a2; : : : ; an) (b1 + c1; b2 + c2; : : : ; bn + cn) = a1(b1 + c1) + a2(b2 + c2)+

+: : : an(bn + cn) = a1b1 + a2b2 + + anbn + a1c1 + a2c2 + + ancn = AB + AC;

	(1.1)
(A + B) C = ((a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn)) (c1; c2; : : : ; cn) =
= (a1 + b1)c1 + (a2 + b2)c2 + + (an + bn)cn = a1c1 + a2c2 + + ancn+
+b1c1 + b2c2 + + bncn = AC + BC;	(1.2)
коммутативность сложения:
A + B = (a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn) =
= (b1 + a1; b2 + a2; : : : ; bn + an) = B + A;	(1.3)
коммутативность скалярного произведения:
A B = (a1; a2; : : : ; an) (b1; b2; : : : ; bn) = a1b1 + a2b2 + + anbn =
= b1a1 + b2a2 + + bnan = B A;	(1.4)
ассоциативность сложения:
(A + B) + C = ((a1 + b1) + c1; (a2 + b2) + c2; : : : ; (an + bn) + cn) =
= (a1 + (b1 + c1); a2 + (b2 + c2); : : : ; an + (bn + cn)) = A + (B + C):	(1.5)

Для матриц определены следующие операции:

сложение: An m + Bn m = Cn m, åñëè cij = aij + bij;

умножение: An m Bm r = Cn r, если выполняются следующие эквивалентные условия:

cik = Ai Bk = Pm aijbjk;

j=1

1¾Вообще говоря¿ c , скалярное произведение не является операцией, так как сопоставляет двум векторам число. Операция же в общем случае отображает множество Xn в X. Однако пока неизвестно, да¼т ли сие

тайное знание право не доказывать свойств скалярного произведения.

2Здесь фактически рассматриваются координаты вектора относительно определ¼нного базиса; см. стр. 13.

1

Ci = Ai B;

Ck = A Bk.

Билет 2.

Докажите равенства (A + B)C = AC + BC и (A B) C = A (B C), где все выражения в левой части имеют смысл.

Докажем сначала дистрибутивность умножения относительно сложения: пусть

есть матрицы A	n m	, Bn	m, Cm		r, P = A + B, R = P C, S = AC, T = BC; тогда
m		m			m	m

P P P P

rik = j=1 pijcjk = j=1(aij + bij)cjk = j=1 aijcjk + j=1 bijcjk = sik + tik, òî

åñòü (A + B)C = P C = R = S + T = AC + BC.

Рассмотрим теперь ассоциативность умножения произвольных матриц. Обозна- ÷èì èõ êàê An m, Bm r, Cr t. Тогда

((A B) C)il =	r	(A B)ikckl =	r	00 m	aijbjk	1ckl	1	=	m r	(aijbjkckl):
	X		X	@@X		A	A		XX
	k=1		k=1	j=1					j=1 k=1
										(2.1)

Последний переход возможен, так как (x1 + + xn)y = x1y + + xny. В свою очередь,

(A (B C))il =	m	(aij(B C)jl) =	m	aij	r	bjkckl!! =	m r	(aijbjkckl):
	X		X		X		XX
	j=1		j=1		k=1		j=1 k=1
								(2.2)
Очевидно, что (2.1) и (2.2) равны.

2Подстановки

Îïð. Подстановка порядка n биекция из множества натуральных чисел не больше n

íà ñåáÿ.

Îïð. Единичная (тождественная) подстановка подстановка, сопоставляющая каждому числу себя же. Обозначается Id.

Для подстановок одинакового порядка определена операция произведения, эквивалентная композиции: = .

Îïð. Инверсией в подстановке называется такая пара элементов i и j, что i < j, но

(i) > (j).

Îïð. Транспозицией ij называется подстановка вида

			1	2	: : :	i	: : :	j	: : :	n	:
			1	2	: : :	j	: : :	i	: : :	n
Óòâ. ij 1 = ij.
Óòâ.	2	= Id.
	ij

Óòâ. Любая подстановка может быть разложена в произведение независимых циклов.

Билет 3.

Теорема. Любая подстановка раскладывается в произведение транспозиций.

Докажем теорему по индукции, в зависимости от порядка n:

n = 1: существует единственная подстановка, равная Id;

2

входит в разложения обеих

n = 2: существуют две подстановки (1; 2) = Id и (2; 1) = 1;2;

n > 2: пусть предположение индукции верно при порядке n 1 для произ-

вольной подстановки . Любая подстановка порядка n представима либо как

1	2	: : : n 1	n
1	2	: : : n 1	n	(в каковом случае она раскладывается в транспо-
			nk, à				2 : : :	k	: : :	n
зиции точно так же, как и ), либо как						1					(тогда
						1	2 : : :	n	: : :	k
она представляется как					разложима на транспозиции по предполо-
жению индукции).

Очевидно, что единичная подстановка Id раскладывается в произведение 0 транспозиций.

Îïð. Ч¼тность подстановки равна ч¼тности количества инверсий в ней.

Îïð. Знаком подстановки называется число sgn = ( 1)t, где t количество инверсий

в разложении подстановки.

Теорема. Умножение на транспозицию меняет знак подстановки.

Пусть некоторая подстановка умножается на транспозицию ij, ãäå i < j. Обозна- чим буквой l минимум из i и j, а r максимум. Рассмотрим следующие классы элементов (номер элемента обозначаем k):

k < l; k < i < j ëèáî i < j < k: количество инверсий не меняется;

k < l; i < k < j: смена положения i не нарушает ни одну инверсию;

r < k; k < i < j ëèáî i < j < k: количество инверсий не меняется;

r < k; i < k < j: смена положения j не нарушает ни одну инверсию;

l < k < r; k < l < r ëèáî k < r < l: каждой инверсии l > k после транспозицииl è r будет соответствовать инверсия r > k;

l < k < r; l < r < k ëèáî r < l < k: каждой инверсии k > r после транспозиции

l è r будет соответствовать инверсия k > l;
l < k < r; l	< k	< r: после транспозиции появятся сразу две инверсии,	r	> k	è
k > l;
l < k < r; r	< k	< l: после транспозиции исчезнут сразу две инверсии,	l	> k	è
k > r.

Ни в одном из рассмотренных случаев не получаем оснований для смены знака подстановки. Но такое основание дают элементы i и j. В самом деле, если l < r, то после транспозиции инверсия появляется, а в противном случае исчезает.

Следствие. Для любой подстановки ч¼тности количества инверсий и количества транспозиций в разложении равны.

Билет 4.

Теорема. Знак произведения подстановок равен произведению их знаков.

Разложим подстановки 1 è 2 íà t1 è t2 транспозиций соответственно. Пусть ни одна транспозиция не встречается в обоих разложениях; тогда, очевидно, 1 2 разлагается на t1 + t2 транспозиций, а sgn( 1 2) = ( 1)t1+t2 = ( 1)t1 ( 1)t2 = sgn 1 sgn 2. Если же некоторая транспозиция ij

подстановок, то в разложении		2		ij ij сократится, и общее количество
	произведения
транспозиций уменьшится на 2, но ( 1)			= 1, поэтому sgn( 1 2) по-прежнему
будет равно sgn 1 sgn 2.

Óòâ. Все транспозиции неч¼тны.

3

Любую транспозицию ij можно представить как Id ij. Умножение на транспо- зицию меняет знак подстановки. Знак Id равен 1, тогда знак транспозиции равен

-1.
Óòâ. Знаки взаимно обратных подстановок равны.
1 = Id, поэтому и sgn sgn 1 = sgn Id = 1, откуда sgn = sgn 1.

3 Определитель

Îïð. Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n равен

X

sgn a1 1 a2 2 : : : an n ;

8 2Sn

ãäå Sn множество всех подстановок порядка n.

Для определителя должны выполняться следующие свойства:

полилинейность:

det(A1; A2; : : : ; X + Y; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; X; : : : ) + det(A1; A2; : : : ; Y; : : : );

det(A1; A2; : : : ; X; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; X; : : : );

кососимметричность: det(A1; A2; : : : ; X; : : : ; Y; : : : ) = det(A1; A2; : : : ; Y; : : : ; X; : : : );

det E = 1.

Билет 5.

Как определитель вед¼т себя при элементарных преобразованиях строк матрицы?

Рассмотрим три элементарных преобразования: перестановку строк, умножение

строки на число и сложение двух строк.

Перестановка строк i и j приводит к тому, что каждая подстановка из определения детерминанта заменяется на ij. Тогда знак подстановки изменяется; стало быть, и весь определитель умножается на 1. В то же время определитель

содержит все возможные подстановки, а новая матрица содержит все элементы старой, тогда новый определитель содержит те же самые слагаемые с точностью до знака. Итак, при перестановке строк определитель всего лишь меняет знак.

Теперь умножим i-ю строку матрицы на число . Распишем детерминант по определению:

		8X
det(A1; : : : ; Ai; : : : ; An) =		sgn a1 1 : : : ai i : : : an n =
	8X	2Sn
=	sgn a1 1 : : : ai i : : : an n = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; An): (5.1)

2Sn

Получаем, что множитель можно вынести за знак определителя.

Наконец, рассмотрим определитель матрицы, в которой к некоторой строке i была

4

прибавлена строка j. По определению:

		8X
det(A1; : : : ; Ai + Aj; : : : ; Aj; : : : ; An) =		sgn a1 1 : : : (ai i + aj i )
	8X	2Sn
: : : aj j : : : an n =
	sgn a1 1 : : : ai i : : : aj j : : : an n +

2Sn

X

+sgn a1 1 : : : aj i : : : aj j : : : an n = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; Aj; : : : ; An)+

8 2Sn

+ det(A1; : : : ; Aj; : : : ; Aj; : : : ; An): (5.2)

Докажем такое утверждение: определитель матрицы X с двумя одинаковы-

ми строками равен 0. В самом деле, как только что было доказано, перемена мест строк меняет знак определителя. Но если мы поменяем местами две равные строки, матрица не изменится, и поэтому det X = det X, что верно только при

det X = 0.

Пользуясь этим свойством, получим:

(5.2) = det(A1; : : : ; Ai; : : : ; Aj; : : : ; An) + det(A1; : : : ; Aj; : : : ; Aj; : : : ; An) =

= det A + 0: (5.3)

Таким образом, если к одной строке матрицы прибавить другую, определитель не

изменится.
Óòâ. det AT = det A.

При транспонировании i-я строка переходит в i-й столбец и наоборот. Тогда

X	sgn a 11a 22 : : : a nn =	8X
det AT =		sgn a1 1 a2 2 : : : an n ;
8 2Sn		2Sn

ãäå = 1. Получаем фактически формулу для det A. Стало быть, определитель при транспонировании не меняется.

Теорема. Определитель матрицы с углом нулей, то есть вида ( A0 BC ), равен det A det C.Как доказано в следствии из билета 10, любая кососимметрическая полилинейная функ-

ция от строк или столбцов3 матрицы представима как (X) = det X (E), где, очевидно, (E) можно задавать любым и получать разные функции. Определим такую функцию

f(A) = det ( A0 BC ). Е¼ кососимметричность относительно столбцов A следует из соответствующего свойства определителя. Полилинейность же вытекает из того, что столбцы вида Ai

0

не теряют такой вид при сложении и умножении на скаляр, так как нули в нижней части остаются нулями при таких преобразованиях. Итак,

f(A) = det A f(E) = det A det ( E0 BC ) :

Зададим такую полилинейную кососимметрическую функцию g(C) от строк C, что g(C) = det ( E0 BC ). По соображениям, подобным привед¼нным выше, получаем

f(A) = det A det C det ( E0 BE ) :

Матрицу ( E0 BE ) можно привести к единичной элементарными преобразованиями (так как в нижней подматрице есть строки, содержащие только одну единицу), прич¼м определитель

от этого не поменяется. Но det E = 1, получаем

det ( A0 BC ) = det A det C:

3В этом доказательстве строки и столбцы матрицы имеют значимые различия.

5

Îïð. Минор некоторой матрицы определитель матрицы, полученной из исходной пут¼м удаления части строк и/или столбцов.

Îïð. Дополнительный минор элемента aij матрицы A минор, полученный пут¼м уда-

ления из A строки i и столбца j. Обозначается Mij.

Îïð. Алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A равно ( 1)i+j det Mij. Обозна- чается Aij.

Матрица, состоящая из алгебраических дополнений, называется союзной матрицей и обозначается ~

A.

Билет 6.

Теорема. Определитель квадратной матрицы A = faijg порядка n раскладыва-

ется по строке x в сумму

n

axjAxj:

=1

Xj

Из полилинейности определителя получаем:

det

0a: :x:1: : :a:x:2: : ::::::: : :a:xn: :1

=

n

det

0:: :: :: : :

0: : : :a:xj: : : :0: : : :: :: ::1

:

(6.1)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

=1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Xj

@

A

@

A

В свою очередь, из кососимметричности определителя следует

1)x 1 det 0a:

11: :

0

a

1:n:

1 =

(6.1) = n

(

a12

: xj: : : :0:

a:

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

=1

Ba

a

: : : : : : a

C

Xj

B n1

n2

nnC

@

A

1

axj

0

0

: : :

0

= n

(

1)x 1

(

1)j 1 det 0a1j

a11

a12

: : : a1n

(6.2)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

=1

Ba

a

a

: : : a

:C

Xj

n2

nn

B nj

n1

C

@

A

Получаем определитель матрицы с углом нулей, поэтому

n

n

( 1)x+jaxjMxj =

n

(6.2) =

( 1)x+j 2 det(axj)Mxj =

axjAxj:

(6.3)

=1

=1

j=1

Xj

Xj

X

Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, лежащих на е¼ главной диагонали.

				a11 a12			::: a1n
	Рассмотрим нижнетреугольную матрицу A =			0	a22		::: a2n	. Е¼ можно разло-
				:::	:::		::: :::
				0	0		::: ann
жить по первому столбцу:					1
	0
	a22 a23 : : :			a2n		a11:
	det A = det B:	0: : : : :a:33: : : ::::::: : :a:3:n:C						(6.4)
	B				C
	@	0	0 : : :	ann	A

Фигурирующая в таком разложении матрица тоже является нижнетреугольной, поэтому и к ней применимо такое же действие. Выполнив разложение n 1 раз,

получим:
det A = a11 a22 : : : ann:	(6.5)
Для верхнетреугольной матрицы теорема доказывается аналогично.

6

1 det A .

Îïð. Обратная матрица к невырожденной матрице A такая матрица A 1, ÷òî A A 1 = E.

Билет 7.

Óòâ. det A 1 = det 1 A.

Как доказано в билете 11 (стр. 10), det AB = det A det B. Тогда 1 = det E = det(A A 1) = det A det A 1, òî åñòü det A 1 =

Теорема. У любой невырожденной матрицы X существует единственная обрат-

1, равная 1 ~T . ная матрица X det X A

Предположим, что существует такая матрица C = fcijg, что XC = E, а матрица X невырожденная. Тогда XCj = Ej. Согласно теореме Крамера у этого уравнения

есть единственное решение относительно Cj, вычисляемое по формуле

x11 : : : 0 : : : x1n
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :						(7.1)
cij = :x:j:1: : ::::::: : :1: : ::::::: : :x:jn: : det X ;
				1
x	n1	: : : 0 : : : x
		nn
где числитель представляет собой определитель матрицы,					полученной из	A çàìå-
ной е¼ i-го столбца на j-й столбец единичной матрицы.

С помощью рассуждений, аналогичных провед¼нным в (6.2) и (6.3), получаем:

(7.1) =

( 1)j+i Mji

=

1

A

:

(7.2)

det X

ji

det X

Если же матрица X вырожденная, то согласно той же теореме Крамера решений

уравнения XCj = Ej бесконечно много.

Óòâ. (X 1)T = (XT ) 1.

Пусть X =

x

ijg

, Y = XT =

y

ijg

. По определению обратной матрицы X 1 =

f

1

f

T

1

A~T . Тогда (X 1)T =

(A~T ) =

1

A~. В свою очередь,

det X

det X

det X

Y 1 =

1

(AT )T

=

1

(AT )T :

(7.3)

det XT

det X

f

f

Распишем алгебраическое дополнение xij êàê AXij = ( 1)i+j MijX, а алгебраическое дополнение yji êàê AYji = ( 1)j+i MjiY . Докажем, что миноры MijX è MjiY равны между собой. В самом деле, минор MijX есть определитель матрицы, полученной из X удалением строки i и столбца j. Но при траспонировании X i-я строка перешла

в i-й столбец, а j-й столбец в j-ю строку. Получаем, что оба минора получены

удалением из матрицы одних и тех же элементов. Кроме того, транспонирование не меняет определитель, поэтому MijX = MjiY , из чего следует и равенство AXij =

AYji.

T ~ T , из чего выводим Полученный результат можно переписать как Af = (A)

T 1

(7.3)

1

~T

T

1

~

1

T

(7.4)

(X

=

=

det X

)

=

det X

= (X

)

:

)

(A

A

7

Билет 8.

Теорема. Решение системы линейных уравнений AX = B, прич¼м такой, что det A 6= 0, можно вычислить с помощью метода Крамера:

	: : : a2;i 1		b2	a2;i+1		: : :
		: : : a1;i 1	b1	a1;i+1		: : :
	: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
	: : : a		b	a		: : :
xi =							:
		n;i 1	det A		n;i+1
			n

Представим систему в таком виде:

8 a21		1	+ a22	2	+		+ a2n n = b2	;
>	a11	1	+ a12	2	+		+ a1n n = b1	;
							: : : ;
>
>									(8.1)
>
>
>	ai1 1 + ai2 2 + + ain n = bi;
>
>
<							: : : ;
>
>
>an1 1 + an2 2 + + ann n = bn:
>
>

>

>

>

:

Здесь одно из решений системы. Будем искать неизвестное i. Умножим обе части j-го уравнения (где j пробегает по номерам всех уравнений, от 1 до n) на Aji, сложим получившиеся равенства и вынесем за скобки. Получим:

1(A1ia11 + A2ia21 + + Anian1) + 2(A1ia12 + A2ia22 + + Anian2)+

++ i(A1ia1i + A2ia2i + + Aniani) + + n(A1ia1n + A2ia2n + + Aniann) =

=A1ib1 + A2ib2 + + Anibn: (8.2)

Заметим, что все суммы в скобках представляют собой определители матриц, полученных из A заменой элемента axi, находящегося в i-м столбце, на множитель при алгебраическом дополнении Axi (x пробегает по всем номерам строк). Более того, почти все определители в левой части равны нулю, так как содержат два одинаковых столбца. Не равен нулю только коэффициент при i, представляю-

щий собой определитель исходной матрицы					A. Представив ещ¼ и правую часть
(8.2) как определитель, получаем				a2;i 1			: : :1
i		det A =	0: : :		b2	a2;i+1		:	(8.3)
			: : : a1;i 1		b1	a1;i+1	: : :
			B:: :: :: : : :a: : : : : : : b: : : : :a: : : : : : : :: :: ::C
			@				A
			B	n;i 1	n	n;i+1	C

Поскольку det A 6= 0, это равенство можно переписать как
0: : :		a2;i 1	b2	a2;i+1	: : :1
: : :		a1;i 1	b1	a1;i+1	: : :
B:: :: :: : : :a: : : : : : : b: : : : :a: : : : : : : :: :: ::C							(8.4)
B		n;i 1	n	n;i+1	C
i =	@				A	;
			det A
получаем решение системы линейных уравнений, и притом единственное.

Êстрокам матрицы применимы следующие элементарные преобразования:

1.перемена двух строк матрицы местами;

2.прибавление к строке матрицы другой строки, умноженной на число;

8

3.умножение строки на ненулевое число.

Билет 9.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных уравнений.

Преобразование 1 вида фактически меняет местами два уравнения, что никак не меняет множества решений.

Преобразование 2 вида заменяет строку a1x1 + a2x2 + + anxn = l íà
a1x1 + b1x1 + a2x2 + b2x2 + + anxn + bnxn = X;	(9.1)

ïðè÷¼ì b1x1 + b2x2 + + bnxn равно некоторому m. Но (9.1) = l + m, что верно

тогда и только тогда, когда верны исходные равенства то есть когда множество решений системы не меняется.

Если с помощью преобразования 2 вида прибавим к строке е¼ же, умноженную на 1, то получим элементарное преобразование 3 вида, умножение строки на

. Таким образом, доказательство теоремы для преобразования 3 вида сводится к вышепривед¼нному.

Теорема. Пут¼м элементарных преобразований любую матрицу можно привести к каноническому виду.

Пусть в матрице A первые k 1 столбцов уже приведены к каноническому виду, прич¼м построено s 1 ступеней. Докажем, что и первые k столбцов также можно привести к каноническому виду. Если все элементы в k-м столбце, находящиеся в строке s или после не¼, нулевые, то такой канонический вид уже найден. Рассмотрим теперь случай, когда существует ajk 6= 0, где j > s. Применим элементарное

преобразование 1 вида и поменяем местами строки		и , так чтобы	0. Тогда
	j	s	ask 6= aik	As.
для всех строк i 6= s применим преобразование 2 вида: к Ai прибавим ask

Тогда в столбце k все элементы, кроме ask, равны нулю. Применим преобразо-

вание 3 вида и умножим столбец на a1 , чтобы ask приравнять единице. Таким

sk

образом, получаем искомый канонический вид первых k столбцов матрицы A.

Теорема. Канонический вид матрицы единственный. Иначе:

Теорема. Канонический вид матрицы A однозначно восстанавливается по множеству решений системы линейных уравнений AX = 0.

Пусть известно, что в системе ровно s базисных переменных, тогда канониче- ский вид K восстанавливается так: если 8i 6 s, то kii = 1, другие элементы i-х

столбцов приравниваются 0. Остальные элементы K вычисляются по соотноше-
âàòü íóëþ,P
íèþ xi =	j>s kijxj. Если все свободные переменные, кроме одной, приравни-

можно однозначно восстановить коэффициенты.

Осталось только определить, сколько переменных являются главными, а сколько свободными. Это можно сделать, пользуясь следующим свойством: значение свободной переменной невозможно определить по значениям расположенных после не¼ переменных. Таким образом, свободные переменные можно определить также однозначно.

В общем случае свободные переменные могут не располагаться в одной части матрицы; в таком случае уже нельзя отличить свободные переменные от базисных по индексу, но основная идея доказательства оста¼тся прежней.

9