Никитин Алексей Антонович и его коллеги Тиунов Александр Савостьянов Антон

М А Т А Н

Авторы глубоко благодарны Александре Корытовой, Анне Аверченковой и Рамилю Яруллину, а также остальным коллегам, исправившим большое количество опечаток.

1

Содержание

1 Аксиоматика множеств действительных чисел		12
1	Действительные числа	12
2	Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями	13
3	Изоморфизм	13
4	Мощность множества	13

2 Ограниченные и неограниченные множества		15
1	Ограниченные множества	15
2	Верхняя и нижняя грань	15
3	Теорема Архимеда	16
4	Метод математической индукции	17

3	Предел числовой последовательности	17
1	Числовые последовательности	17
2	Свойства бесконечно малых числовых последовательностей	17
3	Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей	18
4	Предел числовой последовательности	19

4	Сходящиеся последовательности	19
1	Свойства сходящихся числовых последовательностей	19
2	Предельный переход и неравенства	20
3	Теорема о двух милиционерах	21

5	Монотонные последовательности	21
1	Определение	21
2	Теорема Вейерштрасса	21
3	Число Эйлера	22

2

4 Система стягивающихся сегментов

23

6	Частичные пределы последовательности	23
1	Подпоследовательности	23
2	Частичные пределы	24
3	Теорема Больцано-Вейерштрасса	25
4	Критерий сходимости числовой последовательности	26

7	Критерий Коши	27
1	Фундаментальная последовательность	27
2	Критерий Коши	27
3	Телескопический признак сходимости	28

8Леммы, связанные с непрерывностью множества действительных

чисел			28
1	Покрытие множеств		29
2	Предельные точки множеств		29
9	Предел функции		30
1	Определения		30
	1.1	Предел функции в точке по Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
	1.2	Предел функции в точке по Гейне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
2	Эквивалентность формулировок		31
3	Односторонние пределы		32
10 Теоремы, связанные с понятием предела функции			33
1	Арифметические операции с пределами		33
2	Предел композиции функций		33
3	Предельный переход и неравенства		34
11 Критерий Коши существования предела функции			35

3

1	Критерий Коши		35
2	Асимптотическое сравнение функций		36
	2.1	Свойства отношения эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
3	Замечательные пределы		37
	3.1	Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
	3.2	Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
	3.3	Таблица эквивалентностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39

12	Непрерывность функции		40
1	Понятие непрерывности		40
2	Свойства непрерывных функций		41
	2.1	Арифметические операции над непрерывными функциями . . . . . . . . . . . . .	41
	2.2	Непрерывность композиции функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
3	Классификация точек разрыва		42
4	Точки разрыва монотонной функции		42

13 Локальные и глобальные свойства непрерывных функций			43
1	Локальные свойства		43
	1.1	Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел . . . . . . . . .	43
	1.2	Сохранение знака непрерывной в точке функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
2	Глобальные свойства		44

2.1Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков . . . . . . . . . . . 44

2.2Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение . . . 44

2.3Критерий непрерывности монотонной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

14	Теоремы Вейерштрасса		44
1	Первая теорема Вейерштрасса		44
2	Вторая теорема Вейерштрасса		45
15 Дифференциальное исчисление функции одной переменной			45
1	Производная функции		46
	1.1	Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
	1.2	Односторонние производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
	1.3	Геометрическая интерпретация производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
2	Дифференцируемость функции		47

4

16 Теоремы о дифференцируемости функций I		48
1	Правила дифференцирования	48
2	Функции, заданные параметрически	50
17 Теоремы о дифференцируемых функциях II		50
18 Теоремы о дифференцируемых функциях III		52
19	Производные высших порядков	53
1	Определение	53
2	Формула Лейбница	54
3	Инвариантность формы дифференциала	55
	3.1 Инвариантность первого дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
	3.2 Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков . . . . . . . .	55
	3.3 Дифференцирование функции, заданной параметрически . . . . . . . . . . . . . .	56
20	Равномерная непрерывность	56
1	Равномерная непрерывность	56
2	Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке	57
21	Раскрытие неопределенностей	59
1	Первое правило Лопиталя	59
2	Второе правило Лопиталя	60
3	Применение на практике	61
22	Формула Тейлора	62
1	Постановка задачи	62
2	Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа	63
3	Единственность разложения	63
4	Разложение по формуле Маклорена	64

5

23 Исследование функций методами дифференциального исчисления
I		65
1	Условия монотонности функций	65
2	Условия точек экстремума	65
3	Асимптота графика функции	66
24 Исследование функций методами дифференциального исчисления
II		66
1	Выпуклость функции и точки перегиба	67
2	Геометрическая интерпретация выпуклости	68
3	Точки перегиба	68
25	Функции нескольких переменных	69
1	-мерное евклидово пространство	69
2	Определения	70
	2.1 Классификация точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	70
	2.2 Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	71
	2.3 Окрестность точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	72
3	Числовые последовательности в R	73
4	Предел функции	74
5	Функции двух переменных	74
6	Непрерывность	75

26 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 75

1	Частные производные ФНП и ее дифференциал	76
2	Необходимые условия дифференцируемости	77
3	Достаточное условие дифференцируемости	78

27 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных		78
1	Дифференцируемость сложной функции	78
2	Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования	79

6

28 Частные производные и дифференциалы высших порядков		80
1	Смешанные производные	80
2	Теорема о совпадении смешанных производных для функций переменных	81
3	Второй дифференциал ФНП	82

29	Геометрический смысл частных производных и полного диффе-
ренциала		83
1	Частная производная первого порядка	83
2	Касательная плоскость	84
3	Производная по направлению	85
4	Градиент	86

30	Неявные функции	86
1	Понятие неявной функции	86
2	Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции	87
3	Теорема о разрешимости системы неявных функций	88
31 Безусловный экстремум функции нескольких переменных I		88
32 Безусловный экстремум функции нескольких переменных II		91
1	Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной	91
2	Критерий Сильвестра	91
3	Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных	92
Формула Тейлора и замена переменных для ФНП		92
Формула Тейлора в многомерном случае		92
Замена переменных в дифференциальных уравнениях		94
33-34 Условный локальный экстремум		96
1	Метод исключения для нахождения точек условного экстремума	97

7

2	Метод неопределенных множителей Лагранжа	97
3	Достаточные условия существования условного экстремума по методу Лагранжа	99

35 Первообразная функция и неопределенный интеграл I		100
1	Основные определения	100
2	Свойства неопределенного интеграла	100
3	Методы интегрирования	101

36 Первообразная функция и неопределенный интеграл II			102
1	Разложение многочлена на множители		102
	1.1	Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	102
	1.2	Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	103
2	Интегрирование рациональных дробей		104

37 Первообразная функция и неопределенный интеграл III		107
1	Некоторые тригонометрические выражения	107
2	Дробно-линейные иррациональности	107
3	Квадратичные иррациональности	108

38 Определенный интеграл Римана I		109
1	Разбиение отрезка	109
	1.1 Свойства измельчения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	109
2	Определенный интеграл	109
3	Необходимое условие интегрируемости	110
4	Критерий интегрируемости функции по Риману	111

39 Определенный интеграл Римана II		112
1	Интегральные суммы Дарбу	112
2	Достаточные признаки интегрируемости	113

8

3 Свойства интегрируемых функций	114
3.1 Безымянное свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	114

3.2Аддитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3Линейность интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.4Интегрируемость произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.5Неотрицательность определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

	3.6	Интегрируемость модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	116
	3.7	Ну и еще два свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	116
40 Определенный интеграл Римана III			117
1	Теоремы о среднем		117
	1.1	Первая теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	117
	1.2 Вторая теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		118
2	Связь между определенным и неопределенным интегралами		118
3	Основная формула интегрального исчисления		120
4	Замена переменной в определенном интеграле		120
5	Интегрирование по частям		120
41	Несобственные интегралы		121
1	Несобственные интегралы I рода		121
2	Несобственные интегралы II рода		122
3	Сходимость в смысле главного значения		122
4	Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода		123
42 Признаки сравнения несобственных интегралов			124
1	Простейшие признаки сравнения		124
2	Абсолютная и условная сходимость		127
3	Признак Дирихле		127
4	Признак Абеля		128

43 Приложения интегрального исчисления к вычислению площадей 129

1 Многоугольные фигуры	129
1.1 Свойства площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	129

9

2	Квадрируемость фигуры	129
3	Критерии квадрируемости	130
4	Криволинейная трапеция	130
5	Параметрически заданная кривая	131
6	Площадь фигуры в полярной системе координат	133

44 Вычисление длины дуги кривой и объема тела вращения		133
1	Понятие кривой на плоскости и в пространстве	134
2	Длина дуги кривой	135
3	Объем тела вращения	136

Дифференцирование под знаком интеграла		137
Теория		137
Примеры		138
Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом		140
45	Численные методы	144
1	Метод бисекции	144
2	Нахождение всех корней полинома	145
3	Метод Ньютона	147
4	Метод золотого сечения	149
5	Градиентный спуск	152
6	Приближенное вычисление определенных интегралов	153
	6.1 Метод прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	154
	6.2 Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	155
	6.3 Метод Симсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	156
46	Бонусная часть	156
1	Различные равенства и неравенства	157

10

2	Тригонометрические тождества		158
	2.1	Классика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	158
	2.2	Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	159
3	Предел числовой последовательности		159
4	Функции		161
5	Функции нескольких переменных		162
6	Таблица производных		163
7	Производные -ого порядка		164
8	Ряды Маклорена		165
9	Таблица неопределенных интегралов		166
10	Методы интегрирования		167
	10.1	Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	167
		10.1.1 Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	167
		10.1.2 Метод Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	168
	10.2	Рационализация интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	168
	10.3	Обобщенная формула интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . .	170
	10.4	Более нестандартные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	170
11	Определенные и несобственные интегралы		172

11

Часть 1

Аксиоматика множеств действительных чисел

1Действительные числа

Декартово произведение множеств и

× = {( , ) | , }

Множеством вещественных (действительных) чисел R называют множество элементов, удовлетворяющих аксиомам:

+

1. Сложение R × R →R

(a) Существует нейтральный элемент 0, такой что R + 0 = 0 + = . (b) R существует противоположный элемент −x : + (− ) = (− ) + = 0. (c) ассоциативность , , R ( + ) + = + ( + ).

(d) коммутативность , R + = + .

Если выполняются 1a, 1b, 1c для некоторого , то — группа (аддитивная). Если помимо этого выполняется 1d, то — коммутативная группа (абелева).

·

2. Умножение R × R →R

(a) Существует нейтральный элемент 1, такой что R · 1 = 1 · = . (b) R {0} существует обратный элемент x−1 : · −1 = −1 · = 1.

(c) ассоциативность , , R ( · ) · = · ( · ). (d) коммутативность , R · = · .

Если выполняются 2a, 2b, 2c, то — мультипликативная группа. Если же и 2d, то еще коммутативная.

1. + 2. Дистрибутивность , , R ( + ) · = + .

3.Порядок

Для всех и из R определена операция 6 , такая что

(a) R 6 .

(b) , R, если ( 6 ) ( 6 ), то = .

(c) Транзитивность: , , R ( 6 ) ( 6 ) 6 . (d) , R справедливо ( 6 ) ( 6 ).

Если 3a, 3b, 3c выполняются на некотором множестве , то — частично упорядоченное. Если еще и 3d, то линейно упорядоченное.

1. + 3. , , R, 6 + 6 + .

12

2. + 3. , : 0 6 , 0 6 0 6 · .

Если на выполняются 1, 2, то — числовое поле (поле). Если же еще выполняется и 3, то — упорядоченное поле.

4.Полнота (непрерывность)

Для любых непустых множеств R и R : , : , , 6 R : 6

6 .

√√

Например, при = [0;

2), = (

2; 2] не найдется такого Q.

2Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями

Вещественное число есть бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

± 0, 1 2 . . .

. . . ,

где ± называется знаком числа, 0 — целое неотрицательное число, 1 2 . . . . . . —

последовательность десятичных знаков (то есть элементов числового множества {0, 1, . . . 9}). При этом мы считаем по аксиоме полноты, что +0, 00 . . . и −0, 00 . . . , а также числа вида

± 0, 1 . . . 999 . . . и ± 0, 1 . . . ( + 1)000 . . . ( ̸= 9) представляют соответственно одни и те же числа (между ними нельзя вставить другое вещественное число).

3Изоморфизм

Два поля и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение (биекция) : → , сохраняющее операции сложения и умножения, т.е. ,

( + ) = ( ) + ( ),

( ) = ( ) · ( ),

где — изоморфизм. Если 6 ( ) 6 ( ), то — изоморфизм с сохранением порядка следования.

Утверждение 1.1. Все непрерывные упорядоченные поля изоморфны между собой.

4Мощность множества

Будем говорить, что множество равномощно множеству , если существует биективное отображение на , т.е. сопоставляется элемент , причем различным элементам множества отвечают различные элементы и сопоставлен некоторый элемент множества .

Биекция — инъекция и сюръекция одновременно.

инъективно, если 1, 2 : 1 ̸= 2 ( 1) ̸= ( 2).

сюръективно, если : = ( ).

Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств на классы эквивалентности между собой. Множества одного класса равномощны.

13

Класс, которому принадлежит множество , называется мощностью множества , а также кардиналом или кардинальным числом. Обозначается как card , | |.

Множество называется конечным, если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству. В противном случае оно бесконечное.

Говорят, что мощность множества меньше мощности множества и пишут | | < | |, если ′ : ′ и @ ′ : ′ .

Теорема 1.2 (Кантор). Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.

Доказательство. Предположим, что существует такое , что | | = |2 |, т.е. что существует биекция , ставящая в соответствие каждому элементу множества некоторое подмножество множества .

Рассмотрим множество , состоящее	из всех элементов , не принадлежащих своим об-
разам при отображении : = {	| / ( )}.				биективно,	а , поэтому
: ( ) = .					. И наоборот, если / , то
Если , то ( ), а тогда по определению , /
/ ( ), а следовательно . В любом случае		получаем противоречие. Следовательно,
		2				содержит подмноже-
исходное предположение ложно, и не равномощно				. Заметим, что 2

ство, равномощное (например, множество всех одноэлементных подмножеств ), а тогда из

только что доказанного следует |2 | > | |.	[:|||||:]
Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N, т.е.	card =

card N = 0 (алеф-нуль). Множество называется не более чем счетным, если оно либо конечно, либо счетно.

Утверждение 1.3. Бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Множество R называют также числовым континуумом, а его мощность — мощностью континуума.

Теорема 1.4 (Кантор). Множество R имеет мощность большую, чем множество N.

Доказательство. Докажем несчетность интервала (0, 1). Тогда мы автоматически докажем и несчетность R, т.к. card(0, 1) = card R. Пусть имеется вещественных чисел:

0, 11 12 . . . 1 . . .

0, 21 22 . . . 2 . . .

. . . . . .

0, 1 2 . . . . . .

Теперь рассмотрим число вида 0, { 11, 0, 9}{ 22, 0, 9} . . . { , 0, 9}. Оно не равно 0 или 1, а также никакому из указанных чисел, т.к. отличается от 1-ого числа первым знаком после запятой, от 2-ого вторым и т.д.. Таким образом, как бы не были занумерованы числа рассматриваемого промежутка, всегда найдется число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.

[:|||||:]

Утверждение 1.5. Множество двоичных последовательностей имеет мощность большую, чем множество N.

14