все лекции по линалу

Если это так, то (3) является также базисом системы (*), и в этом случае теорема доказана.

2) a1 не выражается линейно через векторы системы (3).

Тогда мы утверждаем, что a1, b2, …, br (4) – базис системы (1).

Так как система (3) является базисом системы (**), то

a2 = l2b2 +¼+ lr br a2 = 0 ×a1 + l2b2 +¼+ lr br (l1 = 0) etc.

Теперь остаётся показать, что система (4) линейно независима. Пусть l1a1 + l2b2 +

+ … + l rbr = 0. Если l1 ¹ 0, то
a = - l2		b -K - lr		b (a1 линейно выражается через (3)).
1	l1	2	l1	r

Значит, l1 = 0, а тогда и все остальные коэффициенты li равны нулю. Следовательно, система (4) является базисом системы (1). Теорема полностью доказана.

Лекция № 3 (19.02.10)

5.2.4. Лемма о двух системах векторов

Лемма. Пусть даны две системы векторов одной и той же размерности:

a1, a2, …,	ak	(1),
b1, b2, …,	bl	(2).

Если выполняются следующие условия:

1)каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (2);

2)k > l,

то система (1) линейно зависима.

Доказательство. Нам достаточно убедиться в существовании таких коэффициентов xi, не все из которых равны нулю, что выполняется соотношение:

x1a1 + x2 a2 + … + xk ak = 0.

(5)

Из условия 1) следует:

a1 = λ11b1 + λ12b2 + … + λ1lbl; a2 = λ21b1 + λ22b2 + … + λ2lbl;

…

ak = λk1b1 + λk2b2 + … + λklbl.

Подставим (*) в соотношение (5):

x1(λ11b1 + λ12b2 + … + λ1lbl) + x2(λ21b1

+ … + xk(λk1b1 + λk2b2 + … +

Теперь преобразуем:

(*)

+ λ22b2 + … + λ2lbl) +

λklbl) = 0.

(x1λ11 + x2λ21 + … + xkλkl)b1 + (x1λ12 + x2λ22 + … + xkλk2)b2 +

+ … + ( x1λ1l + x2λ2l + … + xkλkl)bl = 0.

Теперь для достижения нашей цели достаточно обеспечить выполнение следующих соотношений:

λ11x1 + λ21x2 + … + λklxk = 0;
λ12x1 + λ22x2 + … + λk2xk = 0;	(6)
…
λ1lx1 + λ2lx2 + … + λklxk = 0.

Систему равенств (6) можно рассматривать как однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1, x2, …, xk; при этом k > l (неизвестных больше, чем уравнений); значит, система уравнений (6) имеет хотя бы одно ненулевое решение, что и означает, что система (1) линейно зависима, QED.

5.2.5. Понятие ранга системы векторов

Теорема. Любые два базиса одной и той же конечной системы векторов содержат одно и то же количество векторов.

Доказательство. Пусть дана система векторов a1, a2, …, ak. Предположим, что у нас есть два базиса этой системы, и допустим (от противного), что они содержат разное количество векторов. Будем считать первым базисом тот, который содержит большее количество векторов:

b1, b2, …, bl – базис (1);

c1, c2, …, cm – базис (2).

Мы имеем l > m; тогда, применяя лемму о двух системах векторов к системам (1) и

(2) и учитывая, что каждое bi линейно выражается через векторы системы (2), получим, что система (1) линейна зависима. Но это противоречит тому, что система (1) есть базис.

Определение. Рангом данной системы векторов, содержащей хотя бы один ненулевой вектор, называется число векторов в любом базисе системы. Рангом системы векторов, состоящей только из нулевых векторов, считается число 0.

Обозначения: rk (a1, a2, …, ak) или r (a1, a2, …, ak).

Рассмотрим теперь произвольную прямоугольную матрицу

a	K	K	a
11	K	K	1n
K			K		размера (s, n).
A =
K	K	K	K
a	K	K	a
s1			sn

Расщепим данную матрицу на вектор-столбцы:

	a11			a12			a1n
a1	= a21		, a2	= a22		, …,	an = a2n .
	K			K			K
	as1			as 2			asn

A = (a1, a2, …, ak) – запись данной матрицы в векторном виде.

Определение.

Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов.

§ 5.3. Линейное координатное пространство

5.3.1. Основные определения

Определение. Линейным координатным пространством Rn (Cn) (арифметическим пространством) размерности n называется множество всех вектор-столбцов размерности n, рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на скаляры.

5.3.2. Линейное подпространство

Определение. Подмножество L линейного координатного пространства Rn называется (линейным) подпространством, если выполняются следующие три условия:

1)x, y L x + y L;

2)x L, λ R (C) λx L;

3)0 L.

Обозначение линейного подпространства: L ≤ Rn.

Примеры. 1. Очевидно, что подмножество, состоящее только из нулевого вектора (L = {0}), а также всё пространство (L = Rn) являются примерами подпространств. Это самое маленькое и самое большое подпространства.

2. А вот пример промежуточного подпространства, отличающегося от двух приведённых: в пространстве R3 рассмотрим множество векторов вида

α

L = { β , α, β R}.-α

Таким образом, наше подмножество L состоит из трёхмерных векторов определённой структуры: первые две компоненты α и β − произвольные (действительные) числа, а третья компонента − α противоположна первой. Посмотрим, какой вид будет иметь сумма двух векторов такого вида:

	α		γ		α+γ
							L.
	β	+	δ	=	β+δ
	-α		-γ		- (α+γ)

Снова получился вектор такой же структуры, т. е. принадлежащий L. Аналогично для умножения на скаляр:

	α		λα
				L.
λ	β	=	λβ
	-α		-λα

Кроме того, ясно, что 0 L, так что выполняются все три пункта определения, L − подпространство.

Лекция № 4 (26.02.10)

5.3.3. Базис и размерность линейного подпространства

Определение. Пусть дано какое-то линейное подпространство L линейного пространства Rn (L ≤ Rn). Тогда система векторов a1, a2, …, ar Î Rn (1) называется базисом линейного подпространства, если выполняются следующие три условия:

1) a1, a2, …, ar Î L;

2)система (1) линейно независима;

3)каждый вектор подпространства L линейно выражается через векторы системы

(1).

Базисов у подпространства (кроме нулевого) бесконечно много. Укажем один из базисов всего пространства Rn:

		1					0					0
		0					1					0
e =				, e		=			, …,	e =			.	(2)
1	K				2	K				n	K
		0					0					1

Будем называть этот базис стандартным. Для доказательства того, что это действительно базис пространства Rn, вычислим линейную комбинацию:

									1				0
l ×e + l		×e		+K + l		×e		= l × 0			+ l		× 1		+K
1 1	2		2		n		n	1	K			2	K
									0				0

		0		λ1
+ l		0			λ
		×		=		2	.
	n	K		K
					λn
		1

Исходя из этого равенства, легко доказываются все пункты определения базиса.

Теорема. Любая система из n + 1 вектора в пространстве Rn линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система из n + 1 вектора:

a1, a2, …, an,	an+1 Î Rn.	(1)
Рассмотрим стандартный базис:
e1, e2, …,	en.	(2)

Применив теперь к системам (1) и (2) лемму о двух системах векторов, получим, что система (1) линейно зависима.

Лемма. Пусть L − линейное подпространство пространства Rn. Если линейно независимая система векторов a1, a2, …, ak этого подпространства не является его базисом, то можно к ней добавить ещё один вектор ak+1 из L с сохранением линейной независимости.

Доказательство. Если каждый вектор из L линейно выражается через векторы исходной системы, то она является базисом L. В противном случае найдется вектор из L, который не выражается линейно через данную систему. Обозначим его через ak+1. Мы утверждаем, что система векторов

a1, a2, …, ak, ak+1

линейно независима. В самом деле, пусть

λ1a1 + λ2a2 + … + λkak + λk+1ak+1 = 0

и пусть λk+1 ≠ 0; тогда

a

k +1

= −

λ1

a −

λ2

a

2

−K −

λk

a

,

k

λk +1

1

λk +1

λk +1

т. е. вектор ak+1 линейно выражается через векторы системы a1, a2, …, ak, что противоречит выбору этого вектора. Значит, λk+1 = 0,

λ1a1 + λ2a2 + … + λkak = 0,

а тогда и все предыдущие коэффициенты λ1, λ2, …, λk равны нулю в силу линейной независимости системы a1, a2, …, ak.

Теорема. Любое линейное подпространство L пространства Rn, которое содержит хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом.

Доказательство. Возьмём в подпространстве L любой ненулевой вектор a1. Он образует линейно независимую систему из одного вектора. Если это базис L, то всё доказано. Если нет, то по лемме можно добавить вектор a2 L так, что система a1, a2 линейно независима. Если эта система является базисом подпространства L, то всё доказано. Если нет, то продолжаем процесс добавления векторов. На каком-то этапе, однако, мы всё же получим базис подпространства L. Иначе мы найдём в L линейно независимую систему из n + 1 вектора, что невозможно в силу предыдущей теоремы.

Примечание. Подпространство {0} не имеет базиса.

Теорема. Любые два базиса одного и того же подпространства содержат одно и то же количество векторов.

Доказательство проводится так же, как и для конечной системы векторов.

Определение. Если подпространство L не состоит из одного нулевого вектора, то количество векторов в любом его базисе называется размерностью подпространства L и обозначается dim L. Размерность подпространства {0} считается равной нулю.

§5.4. Решения однородной линейной системы уравнений

5.4.1. Подпространство решений

Пусть дана однородная система линейных уравнений:

a x + a x +K + a x = 0;
11 1	12	2	1n n
K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K				(1)
K K K K K K K K K K K
	+ a	x +K + a x = 0.
a x
s1 1	s2		sn n

Наряду с записью (1) будем использовать также векторную форму записи системы

(1):

x1a1 + x2 a2 + … + xn an = 0.

(1*)

Здесь a1, a2, …, an Rs − столбцы матрицы системы (1). Рассмотрим теперь какое-

x*1x2*

нибудь частное решение системы (1): x* = K Rn . Тогда это решение удовлетворяет

Kxn*

уравнению (1*):

x1a1 + x2 a2 + … + xn an = 0.

Обозначим через L множество всех решений системы (1), L Rn.

Теорема. Множество всех решений однородной линейной системы уравнений является линейным подпространством.

Доказательство. Докажем, что если x и y L, то и x + y L. В самом деле, x и y − решения (1), то есть

x1a1 + x2 a2 + … + xn an = 0, y1a1 + y2 a2 + … + yn an = 0.

Но тогда

(x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + … + ( xn+ yn)an =

= (x1a1 + x2 a2 + … + xn an) + (y1a1 + y2 a2 + … + yn an) = 0 + 0 = 0.

Аналогично для умножения на скаляр. Ясно также, что 0 L.

Лекция № 5 (02.03.10)

5.4.2. Фундаментальная система решений

Определение. Фундаментальной системой решений (сокращённо ФСР) данной однородной линейной системы уравнений называется любой базис её подпространства решений.

5.4.3. Размерность подпространства решений

Лемма 1. При элементарных преобразованиях над строками матрицы линейно зависимые столбцы переходят в линейно зависимые.

Доказательство.

Пусть A = (a1, a2, …, an) − векторная запись данной матрицы. После совершения нескольких элементарных преобразований матрицу А мы привели к матрице В. Пусть aj1,

aj2, …, ajk − линейно зависимые столбцы данной матрицы, где 1 ≤ j1 < j2 < … < jk ≤ n. Тогда из определения линейной зависимости следует, что λ1aj1 + … + + λkajk = 0 для некоторых коэффициентов λ1, … λk, не все из которых равны нулю.

Последнее равенство можно представить по-другому:

0·a1 +…+ 0·aj1− 1 + λ1aj1 + … + λkajk +…+ 0 ·an = 0 −

в результате получили линейное соотношение между всеми столбцами данной матрицы А. По теореме о сохранении линейных соотношений столбцы матрицы В связаны тем же соотношением (то есть с теми же коэффициентами), что и в данной матрице А:

0·b1 +…+ 0·bj1− 1 + λ1bj1 + … + λkbjk +…+ 0 ·bn = 0;

следовательно, λ1bj1 + … + λkbjk = 0 (получили линейную зависимость столбцов матрицы

В).

Лемма 2. При элементарных преобразованиях над строками матрицы линейно независимые столбцы переходят в линейно независимые.

Доказательство. Пусть aj1, aj2, …, ajk − линейно независимые столбцы данной

матрицы А. Проведем доказательство методом от противного. Все элементарные преобразования обратимы. Допустим, что bj1, bj2, …, bjk линейно зависимы, тогда по лемме

1 имеем, что соответствующие столбцы данной матрицы А тоже линейно зависимы, что противоречит условию леммы.

Лемма 3. При элементарных преобразованиях над строками матрицы базис системы столбцов переходит в базис системы столбцов.

Доказательство. Пусть bj1, bj2, …, bjk − система столбцов, получившаяся после проведения элементарных преобразований на месте базисных столбцов aj1, aj2, …, ajk

данной матрицы А. Докажем, что эта система является базисом системы всех столбцов матрицы В.

1.Эта система является подсистемой системы всех столбцов матрицы В.

2.По лемме 2 эти новые столбцы линейно независимы, как и сооветствующие (базисные) столбцы матрицы А.

3. Каждый столбец bj матрицы В линейно выражается через столбцы bj1, bj2 , …, bjk .

Докажем это. Если j – одно из чисел j1, j2 ,	…, jk , то доказываемое утверждение триви-
ально. Если же нет, то имеет место равенство
aj = µ1aj1 + … + µkajk,
равносильное равенству
aj – µ1aj1– …	– µkajk = 0.

Дополняя его, как и выше, нулями, получим линейное соотношение между столбцами матрицы А , а тогда

bj = µ1bj1 + … + µkbjk

(т. к. линейные соотношения между столбцами сохраняются).

Предложение 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками.

Доказательство следует из определения ранга и леммы 3.

Предложение 2. Ранг ступенчатой матрицы равен числу её главных столбцов, числу главных элементов и числу ненулевых строк.

Доказательство. Доведём данную матрицу элементарными преобразованиями над строками до главной ступенчатой матрицы В (мы можем отбросить нулевые строки, что

также не влияет на ранг) и запишем главные столбцы:

1			0
0			1
		, bj2			, …,
bj1 = 0			= 0
Κ			Κ
0			0

0
0
		,
bjk = 0
Κ
1

причем высота столбцов и их количество равно r − рангу матрицы. При этом в процессе преобразований ранг меняться не будет, и места главных столбцов также не изменятся.

Вычислим теперь произвольную линейную комбинацию:

	1		0
	0		1
	0				+ … +
λ1bj1 + … + λkbjk = λ1			+ λ2 0
Κ			Κ
	0		0

0			λ1
			λ 2
0
		= λ3 .
λr 0
Κ		K
1			λ r

Из этого равенства легко доказываются все пункты определения базиса.

Итак, bj1, bj2 , …, bjk − базис. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь однородную систему линейных уравнений:

a x + a x +K + a x = 0;
11 1	12	2	1n n
K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K				(1)
K K K K K K K K K K K
	+ a	x +K + a x = 0.
a x
s1 1	s2		sn n

Решения системы (1) образуют линейное подпространство L решений в Rn.

Теорема. Размерность подпространства решений однородной линейной системы уравнений равна числу её свободных неизвестных.

(dim L = числу свободных неизвестных = n – число главных неизвестных = n –		r,
где r – ранг матрицы данной системы.)
Доказательство. Главные неизвестные обозначим y1, y2, …, yr . Свободные – z1,		z2,
…, zn– r .
Запишем выражения главных неизвестных через свободные:
y1 = λ11z1 + … + λ1, n– r zn– r ;
… … …	…

yr = λr1z1 + … + λr, n– r zn– r .

Составим теперь n – r частных решений. Для этого придадим свободным неизвестным указанные ниже значения (первый столбец соответствует первому решению x1, etc.), а значения главных неизвестных вычислим по вышеприведённым формулам:

z1 = 1		z1 = 0		…	z1 = 0
z2 = 0		z2 = 1		…	z2 = 0
…		…	…		…
zn−r −1	= 0	zn−r −1	= 0	…	zn−r −1	= 0
zn−r	= 0	zn−r	= 0	…	zn−r	= 1
x1		x2		…	xn−r

Из построенных решений, рассматриваемых, как обычно, как векторы пространства Rn, можно составить матрицу:

B = (x1, x2, …, xn−r ).

Мы докажем, что эти решения являются базисом подпространства решений. Возьмём линейную комбинацию:

α1 x1 + α2 x2 + … αn– r xn−r .

Теперь переставим строки так, чтобы сначала шли главные неизвестные, а потом свободные. Тогда