1 семестр_Лекции / Линейная алгебра. Системы линейных уравнений

Вариант 29.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

	2	−1	1	1	−3
	1	1	− 2	2	4
	−5	3	2	1	1	.
	− 2	3	1	4	2

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

5x			− 2x		2	+ x	= −18,	6x		− 2x	2	+ x =3,			3x		− 4x	2	+5x				= −1,
	1					3			1					3		1					3
а) −3x1 +				2x2 + 4x3 =17,				б) 4x1		−5x2 − 2x3 =1,					в) − 2x1 + x2 + 6x3 =3,
x		− 2x		2	− 4x		= −11;	− 2x +8x					2	+5x =1;	−5x +5x					2	+ x	3	=0.
	1					3				1				3			1

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 =0,3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 =0,

3x1 + 2x2 +16x3 + x4 + 6x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:
a1 =(−1 2 1 3),	a2 =(3 4 −1 2),
a3 =(5 10 −1 7),	a4 =(− 4 − 2 2 1)..

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

2x1 − x2 +3x3 + 7x4 +11x5 =5,

2x1 − x2 + x3 + 2x4 +3x5 = 2,6x1 −3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 =3,

4x1 − 2x2 + x3 + x4 + 2x5 = 4.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (−1) = −6 , f (2) =9 , f (−2) = −27 , f (3) =38.

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

	2	0	−7	2	−3
	− 23	8	19	−3	0
	19	−8	−5	−1	6

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 =0,2x1 − x2 +3x3 + x4 −5x5 =0,x1 +3x2 − x3 −6x4 − x5 =0.

Вариант 30.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

	1	2	1	2	−1
	3	1	0	1	−5
	− 2	3	4	−1	2	.
	0	5	3	5	2

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

− 4x			+3x			2	+	2x =		22,	2x		−3x	2		+13x = −3,	−5x			+ 6x			2	+ x	3	=0,
	1								3			1				3		1
а) −3x1 + x2 +8x3 = 23,											б) 3x1 − 2x2					+5x3 = −2,	в) 2x1	− x2 +3x3 =1,
x	−	8x		2	+`2x				= −3;		− 4x + x				2	+3x =1;	x +		3x		2	+	10x = −2.
1							3						1			3	1							3

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 =0,x1 − 2x2 −3x3 + x4 − x5 =0,2x1 − x2 − 2x3 +3x4 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:
a1 =(2 1 0 −3),	a2 =(−1 1 4 2),
a3 =(1 3 2 −1),	a4 =(4 3 − 2 −6).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

−3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −3,2x1 − x2 − x3 − 2x4 =1,− x1 + x3 + 24x4 =1,

4x1 −3x2 − x3 − 2x4 =5.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =6 , f (2) = 27 , f (−2) = −9 , f (−3) = −38 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

	1	−1	−1	−3	3
	2	−1	−1	2	0
	−1	−1	3	7	1

фундаментальную систему решений для системы уравнений

2x1 − x2 +3x3 − x4 − x5 =0,x1 +5x − x3 + x4 + 2x5 =0,x1 +16x2 −6x3 + 4x4 + 7x5 =0.

ЛИТЕРАТУРА

1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры.–М.: Физматгиз, 1963.

2.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.–М.: Наука, 1975.

3.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.–М.: Физматгиз, 1962.

4.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.–М.:

Наука, 1972.