Система автоматического управления Митенков Ф.М., Чирков В.А

(3.37)

Поскольку корни характеристического уравнения не содержат кратных, обратное преобразование Лапласа от выражения (3.31), с учетом (3.35) и (3.36), имеет вид

(3.38)

где

(3.39)

Для реактора, работавшего в точно критическом режиме до момента времени , когда реактивность скачком изменилась до величины ρ, началь-

ные условия можно определить из (3.29), полагая				при	. В этом
случае		и

(3.39а)

Как уже отмечалось, для положительных значений реактивности ρ все члены правой части выражения (3.38), кроме первого, содержат экспоненты с отрицательным показателем (см. рис. 3.2). Вклад этих составляющих в величину с течением времени становится пренебрежимо малым, и изменение плотности нейтронов во времени определяется экспонентой с положительным показа-

телем. Значение коэффициента S для этого показателя экспоненты в случае малых скачков реактивности можно определить из (3.34), считая малой величиной по сравнению с наименьшей постоянной распада.

Тогда

(3.40)

Величину, обратную , именуют установившимся периодом

(3.41)

Уравнение (3.34) иногда называют формулой "обратных часов". Обратный час - это такая реактивность, которая дает в качестве решения уравнения (3.34) значение установившегося периода, равное одному часу:

50

(3.42)

Следует заметить, что обратный час - единица специфичная для каждого реактора. (В настоящее время "обратный час" как единица реактивности используется довольно редко). Чаще реактивность исчисляется в "процентах реактив-

ности" в соответствии с выражением		.

Из выражения (3.41) следует, что при малых значениях реактивности величина установившегося периода целиком определяется свойствами запаздывающих нейтронов. При увеличении реактивности влияние среднего времени жизни мгновенных нейтронов на величину установившегося периода возрастает и при достаточно больших значениях играет определяющую роль. На рис. 3.3. показана зависимость установившегося периода реактора от величины ρ для различных значений 1. Данные относятся к тепловым реакторам с U235.

Рис. 3.3. Установившийся период реактора в зависимости от реактивности.

Из рисунка видно, что при значениях реактивности, близких к величине β, начинает сказываться влияние времени жизни мгновенных нейтронов на величину установившегося периода, и чем меньше l, тем выше скорость процесса при данном значении реактивности.

Асимптотическое выражение для установившегося периода при больших ρ можно получить из формулы обратных часов, считая, что наибольшая постоянная распада ядер-предшественников мала по сравнению с величиной S. Это условие справедливо, если . Выражение для установившегося периода в

51

этом случае

(3.43)

совпадает с формулой (3.7), полученной в предположении, что все нейтроны являются мгновенными. При эффективный коэффициент размножения превышает единицу даже без учета запаздывающих нейтронов, поэтому влияние последних несущественно и период реактора становится крайне малым.

Случай , когда реактор становится критическим только на мгновенных нейтронах, называют мгновенной критичностью. Ввиду исключительной важности такого состояния реактора с точки зрения управления его работой принято определять реактивность по отношению к эффективной доле запазды-

вающих нейтронов. Единицей измерения отношения		является доллар. Это
	ф

величина реактивности, необходимая для того, чтобы реактор стал критическим только на мгновенных нейтронах, т.е. 1 доллар соответствует ф ф.

При отрицательных значениях реактивности все составляющие равенства (3.38) содержат экспоненты с отрицательными показателями, поэтому с течением времени плотность нейтронов асимптотически стремится к нулю. Установившийся период определяется наименьшим по абсолютной величине корнем. Уравнение (3.41), полученное в предположении малости ρ, остается справедливым и для отрицательных реактивностей, поскольку при его выводе знак реактивности не оговаривался. Следовательно, наличие запаздывающих нейтронов не только уменьшает скорость возрастания плотности нейтронов при положительных ρ, но уменьшает также и скорость спадания плотности нейтронов при отрицательной реактивности. Для больших по модулю значений отрицательной реактивности выражение (3.43) неприменимо, поскольку было получено для положительных . Из рис. 3.2 следует, что при уменьшении реактивности значение наименьшего по абсолютной величине корня, определяющего установившийся период, приближается к величине а значение периода к величине 80,4 сек. Эта величина и определяет максимально возможную скорость остановки реактора (с урановым топливом).

§ 3-5. Одна группа запаздывающих нейтронов.

Целый ряд задач, касающихся исследования нестационарных режимов работы реактора, может быть решен в одногрупповом приближении. Последнее предполагает, что все шесть групп запаздывающих нейтронов можно заменить одной с некоторыми эффективными параметрами, выбор которых зависит от целей исследования. Не останавливаясь на способах определения эффективных параметров одной группы запаздывающих нейтронов , и будем считать их

52

известными.

Тогда уравнения кинетики в одногрупповом приближении записываются следующим образом:

(3.44)

Решение уравнений при постоянном ρ имеет вид

,

(3.45)

где S1 и S2 - корни квадратного уравнения

,

(3.46)

- плотность нейтронов в момент , когда реактивность скачком изменилась на величину ρ, и

								(3.47)
где j = 1, 2.
Из уравнения (3.46) следует, что
								(3.48)
Практический интерес представляет случай									. Если при этом
, то

(3.49)

Подставляя эти соотношения в формулу (3.45), получим

(3.50)

Исследование этого выражения показывает, что через несколько десятых

53

долей секунды вторым членом можно пренебречь, так как первый намного его превышает.

Вклад первого члена соответствует установившемуся периоду, а второго - переходному.

В интервале значений реактивности показатель первой экспоненты положительный, показатель второй - отрицательный. Следовательно, через некоторый промежуток времени после изменения реактивности, плотность нейтронов будет увеличиваться с периодом

			(3.51)
При малых значениях	это выражение формально совпадает с

полученной ранее зависимостью (3.41), т.е. величина установившегося периода полностью определяется средним временем жизни предшественников запаздывающих нейтронов. Следует отметить, что влияние запаздывающих нейтронов еще в большей степени проявляется для отрицательной реактивности.

Для	установившийся период равен
				(3.52)
т.е. при внесении отрицательной реактивности				уменьшение нейтронной
плотности происходит с периодом в				раз большим периода,

определяющего нарастание плотности нейтронов при такой же по величине по-

ложительной реактивности. Кроме того, при больших значениях			отри-
цательной реактивности скорость процесса ограничена величиной		.

Рис. 3.4. Изменение мощности при положительном скачке реактивности.

54

На рисунке 3.4 изображена зависимость	, соответствующая одногрупповому
приближению (3.50), при следующих	значениях величин:

Из рис. 3.4 видно, что вторая составляющая (3.50) становится пренебрежимо малой за время переходного процесса, измеряемого в долях секунды.

Таким образом, при изменении реактивности плотность нейтронов практически скачкообразно изменяется до некоторой величины, а далее изменяется в соответствии с величиной установившегося периода. Период реактора в

начальный момент времени	:
			(3.53)

можно определить из соотношений (3.44). Полагая		, получим

и, следовательно,

(3.54)

Из выражения (3.53) и (3.54) следует, что

(3.55)

т.е. скорость изменения плотности нейтронов в начальный момент времени после изменения реактивности такая же, как если бы все нейтроны были мгновенными. Это явление объясняется тем, что мгновенные нейтроны, имеющие малое время жизни, практически мгновенно реагируют на изменение размножающих свойств среды. Количество же рождающихся в данный момент времени запаздывающих нейтронов пропорционально потоку нейтронов, существовавшему несколько ранее этого момента.

Поэтому доля запаздывающих нейтронов, обусловленная скачкообразным увеличением реактивности, некоторое время находится в "связанном" состоянии, и изменение плотности происходит только за счет мгновенных нейтронов. Если при этом , т.е. реактор подкритичен по отношению только к мгновенным нейтронам, то в дальнейшем эффект освобождающихся запаздывающих нейтронов оказывает влияние на характер изменения плотности нейтронов. Постепенно наступает динамическое равновесие между образующимися в связанном состоянии и освобождающимися запаздывающими нейтронами, и

55

скорость процесса определяется Туст.

§ 3-6. Линейное изменение реактивности.

Ранее были получены выводы достаточно общего характера при анализе решений уравнений кинетики для реактивности, не зависящей от времени.

При переменной реактивности аналитическое решение системы (3.29) усложняется, а чаще оказывается невозможным. При исследовании кинетики реактора обычно реальный закон изменения аппроксимируют простейшими зависимостями.

Например, ступенчатая функция является достаточно хорошим приближением в случае резкого изменения . Более плавное изменение реактивности в ряде случаев может аппроксимироваться линейной зависимостью

	(3.56)
где - реактивность в начальный момент времени	;

- скорость изменения реактивности.

Найдем решение уравнений кинетики при линейном изменении реактивности в приближении одной группы запаздывающих нейтронов.

Продифференцировав по времени первое уравнение системы (3.29), скомбинируем полученные выражения таким образом, чтобы исключить зависимость от концентрации предшественников. В результате получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно

											(3.57)
Допустим, что в начальный момент времени											реактор находился в
критическом состоянии, т.е.						. Вводя замену искомой функции

(3.58)

получим

(3.59)

Вторым членом в квадратных скобках можно пренебречь при условии , которое справедливо практически до состояния мгновенной кри-

тичности. Переходя к новой независимой переменной

(3.60)

56

в уравнении (3.59), легко получить

(3.61)

Это уравнение имеет сравнительно простые решения для целочисленных значе-

ний			, т.е. для таких скоростей изменения реактивности, при которых со-
стояние мгновенной критичности достигается за время кратное											. При этом
общее решение уравнения (3.61) определяется следующим образом
										,	(3.62)
где C1	и C2 - произвольные постоянные;
			- значение z при	.

Зависимость плотности нейтронов при линейном изменении реактивности можно определить из соотношений (3.58) и (3.62), задавая различные значения величины m в зависимости от скорости изменения реактивности.

Очевидно, что меньшим значениям m соответствует более высокая скорость прироста реактивности.

В качестве примера рассмотрим случай , т.е. , что соответствует скорости примерно 0,1 долл/сек (10 цент/сек). Продифференцировав правую часть выражения (3.62), получим:

(3.63)

Из начальных условий		находим

. (3.64)

Решая уравнение (3.63) с условиями (3.64), определим постоянные

(3.65)

где учтено, что		. Конечное выражение для функции	есть

57

(3.66)

Для реактивности ниже мгновенно-критической это уравнение можно привести к более простому виду, воспользовавшись разложением в ряд функции ошибок

(3.67)

В этом случае справедливо соотношение

(3.68)

для значений		.

§ 3-7. Решение уравнений кинетики в различных приближениях.

При определенных физических предпосылках достаточно хорошие оценки можно получить на основе различных приближений. Следует заметить, что справедливость того или иного приближения необходимо оценивать применительно к условиям каждой конкретной задачи.

Приближение мгновенного скачка (см. рис. 3.4).

Ранее было показано, что при небольших скачках реактивности плотность нейтронов за малый (порядка ) промежуток времени, практически скачкооб-

разно, изменяется до некоторого значения, и после окончания переходного процесса временная зависимость определяется величиной установившегося периода. Если при этом реактор достаточно далек от состояния мгновенной критичности, то скорость изменения плотности нейтронов не слишком велика:

(3.69)

и производной в (3.29) можно пренебречь (S* так же полагаем равным нулю). Соотношение

(3.70)

называют приближением мгновенного скачка. В соответствии с этим приближением следствием внезапного изменения реактивности является внезапное изменение плотности нейтронов. Уравнение для запаздывающих нейтронов остается

58

неизменным. Поскольку скачкообразное изменение реактивности от ρ1 до ρ2 не сопровождается мгновенным изменением скорости генерации запаздывающих нейтронов, то плотность нейтронов изменяется скачком от n1 до n2, причем

.

(3.71)

Если реактор находился в критическом состоянии ρ1 = 0, то скачок плотности нейтронов равен

(3.72)

где n0 - значение n(t) в момент изменения реактивности от 0 до ρ. Использование приближения мгновенного скачка (3.70) совместно с приближением одной группы запаздывающих нейтронов приводит к дифференциальному уравнению

(3.73)

Из этого уравнения следует, что точно так же, как внезапный скачок в реактивности вызывает мгновенный скачок в n, так и внезапное изменение в вызывает мгновенный скачок в обратной величине периода.

Действительно, из (3.73) следует, что

(3.74)

В отличие от обратной величины установившегося периода, при скачкообразном изменении реактивности величину

(3.75)

называют обратной величиной переходного периода. Изменение периода, вызванное скачкообразным изменением скорости прироста реактивности от нуля до

, определяется выражением

				.	(3.76)
Отношение		характеризует время, необходимое для			того,

чтобы при заданной скорости увеличения реактивности достигнуть мгновенной критичности. Если реактор находился в критическом состоянии, то прирост ре-

активности со скоростью			вызовет возрастание плотности нейтронов с пе-
риодом	сек. В первоначально подкритическом реакторе, реактивность кото-
		59