Практикум 3 (Численные методы) - Среднеквадратичное приближение функции
.pdf
|
Практикум3 |
|
. Среднеквадратприближенфункциичное |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Методнаименьшихквадратов |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Приближефункцииполи иеомом |
|
|
|
|
. Реализафункциями |
|
MATLAB. |
|
|
|
|
|||||||||
Впредыдущейработемырассматривализадачуинтерполяции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– заднахождчузначения |
|
|
|
|
|||||||
функции,заданной |
|
|
дискретнымнаборомзначен,впроточкеизвольной |
|
|
|
|
|
|
|
. Решезадачиниетрп |
|
|
|
о- |
||||||
ляциипредп,чтзначениеофункциилагаетвизвестныхузлахнайдеточ.Напрактикенэтоусл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о- |
||||||
вие,какправило,невып:значенлняется |
|
|
|
|
|
|
ияфункциисодержатпогрешность,внесеннуюизмери |
|
|
|
|
|
тель- |
||||||||
нымприбором. |
Врезультатеприменениеинтерполяциидаетдалсамыйлучшийкорезультат,так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
какинтерполяцияповторяета(частоусиливает)эффеквнесеннойошибки.ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Гораздолучшийрезу |
|
|
|
льтатможнополучить,исполтакназываемуюзуя |
|
|
|
|
|
аппроксимацию |
|||||||||||
(ср еднеквадратичприближе). ниое |
|
|
Приэтомподходе |
формазависимости( |
типуравнения),напр |
|
|
|
и- |
||||||||||||
мер,линейная,квадратичилиэкспозависимостьненциальная, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дляфункцвыбзаиизранееется |
|
|
|
|
||||||
теоретических( |
физических ит.п.) |
сообр,аеепараметрыженийкоэффицие( |
|
|
|
|
|
нты уравнения)находя т- |
|||||||||||||
сятакимобразом,чтобыэксперимзначфуненбылкакиятальможцближи кныео |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расчётным. |
||||||||
1. Методнаименьшихквадратов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дляпостроениясреднеквадратично |
|
|
|
гоприближения( |
|
|
аппроксимации) используютметод |
|
|
||||||||||||
наименьшихквадратов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! = !, !, … , ! |
|
! |
< ! < ! < < ! |
|
|
|
|||||
Пустьдана |
|
произвольная сеткаузлов |
|
|
,где |
,иизм |
|
е- |
|||||||||||||
случайныйшум |
|
. |
Пустьизве,чтоискомаятнофункцияписыурав |
|
вузлахсетки: |
|
|
! = ! |
+ !, = 0,1, … , |
,где |
! |
– |
|||||||||
реныприближенныезначенияфункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= , , … , |
|
|
|
|
аетсянением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, где |
, … . , , < |
- неккоэффициентыторые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Какправило,напрактикестараю! выбиратьсес!равнымсякушагоммеждуузлр(!авнми |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о- |
||||||
мернуюсетку)иколичествомузначителовышечислаизвестныхьнокоэффициентов.Однако |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
данныеусловия |
|
еявляютсяобязательными,хотяпозвоувеличитьточностьяютрасчета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Критериембл зостикривойэкспериментальныхданныхявляетсяусловиемин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и- |
|||||||
мумасуммыквадратовотклоненомойточекис риво |
|
|
|
|
|
|
|
|
йсоответствующихэкспериментальных |
|
|
|
|
||||||||
значений !: |
|
|
|
|
= |
! |
! − !, !, … , ! |
! !!,…,!! |
|
|
|
|
|
||||||||
Задачупоиска |
|
данного минимумаможрешить!!!аналитическиопомощьюрешенсистемыя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнений (сложностьпоискатакогорешенияестественнобудетвозрастатьуслискомойжнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
функции) |
: |
|
|
|
|
|
! |
! − !, !, … , ! |
! |
= 0, = 1, … , . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
! |
= ! |
!!! |
|
|
|
|
|
||||||||||
Наиболеечастовпрактичезад ссматриваютчахкихреднеквадратичноеприближение помощьюлинейнойфункции 
= + .Решениевышеприведеннойсистемыдляэтогослучая будетиметьвид:
1 !
= !!!
= − ,
! − 
!
= − ,
! , = |
1 |
! |
1 ! |
|
!!! ! , = |
!!! |
!
! ! , ! = 1 !!! !! .
Пример 1. Траектдвижениятелаопр зависимостьюсывается |
|
= 0.2. |
= 1 + 2 |
. Наблюдатель |
|
фиксирположениетеланаучасткеет |
[0,1] |
сшагом |
описыва- |
||
|
|
Погрешностьизмерений |
|||
етсянормальнымзакономс |
= 0.05. Определитькоэффицзависпоэксперименталентымости |
ь- |
|||
даннымспо ощьюетоданаименьшихквадратов. |
|||||
%Формируеммассивывходданных |
|
|
|
|
|
>> x=0:0.2:1; |
|
|
|
|
|
>> y=1+2*x |
%Теоретическиезначенияфункции |
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
1.0000 |
1.4000 |
1.8000 |
2.2000 |
2.6000 |
3.0000 |
>> y=y+0.05*randn(size(y)) |
% Добавляемслучайныйшум |
|
|||
y = |
|
|
|
|
|
1.0363 |
1.3968 |
1.8357 |
2.1898 |
2.5938 |
3.0745 |
%Строимаппропоэксимациюпериментальнымданным |
% |
|
|
|
|
>> n=length(x); |
|
|
|
||
>> xa=sum(x)/n; |
|
|
|
||
>> ya=sum(y)/n; |
% |
|
|
|
|
>> xy=sum(x.*y)/n; |
% |
|
|
|
|
>> xs=sum(x.^2)/n; |
% ! |
|
|
|
|
>>a=(xy-xa*ya)/(xs-xa^2)
a =
2.0194
>>b=ya-a*xa
b =
1.0114 % Значенияполученнойзависузлахисходноймоссетки
>> y=a+b*x y =
|
|
1.0114 |
1.4153 |
1.8192 |
|
2.2230 |
2.6269 |
3.0308 |
= 2 − |
|
|
|
|||||
|
Упражнение 1. Траектдвижениятелаопр зависимостьюсывается |
|
|
|
|
|
.Наблюд |
а- |
|||||||||
етсянормальным |
закономс |
|
. |
[0,1] |
сшагом |
.Погрешностьизмеренийописыв |
|
|
а- |
||||||||
тельфиксирположениетеланаучасткеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
экспериментальнойзависимостипо ощьюетоданаимен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь- |
|||
|
1) Определитькоэффициенты |
= 0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
шихквадр,еслишизмеренийатовг |
описывающуютраекториюкуюдвиж |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
е- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) Наоднграфикеомтобразитьтеоретичепрямую, |
= 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ния, точки,соответствующие |
измерензначениямпрямую,рассчитаннуюымпоэкспериментал |
|
|
|
|
|
|
|
ь- |
||||||||
данным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Повторитеэкспжешагомримент,нодругимизначенияслучайногошуопред( ми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е- |
|||||
ляемымипотакомужезакону)Обратите. внимание,чторезультатрасчетаизменится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4) Повторитеэк |
спериментприусловии,чторегистсигнпраоисходитловциядварчащеза |
|
|
|
|
|
|
|
)Каки. |
з- |
||||||
( |
= 0.1 |
). Какизменитсяотклоненэкспериментакривоттеоретическойвэтомл?учаеьной |
|
|
|
|
|
|
|
= 0.05 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5)Повторитеэкспусловииеримент,чтоурошумадваернижеьза( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
менитсяотклоненэкспериментакривоттеоретическойвэтомл?учаеьной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. Реализациясреднеквадратичногоприближенияфункциями |
|
|
|
|
|
|
|
MATLAB |
|
|||||||
|
Впакете |
MATLAB реализовафункциясред приближенияеквадратичногоспомощью |
|
|
|
|
|
|
|
|
о- |
||||||
линомастепени |
k ( ! |
= ! ! + ! !!! + + ! + !!!)Д. |
лявызоваданнойфункциииспольз |
|
|
|
у- |
||||||||||
етсякоманда |
p=polyfit(x, y, k), параметкотоявляютсямройаэкспериментальныхссивымиданных |
|
||||||
порядискомоголинк ма |
|
|
k, результатом – массивкоэффициентовполинома |
p. |
||||
{ , } иУпражнение2 |
. Для выполненияупражнениявыбратьфункциюизтаблицыконцелабор |
|
а- |
|||||
торабн,сойответствтыномеркомпьютера. ующую |
|
|
|
|
|
|
||
1)Создатьмассив |
значенийргумента |
x=linspace(x0, x1, 8) и соответствующиймассив |
||||||
|
|
массив |
( ) |
. |
|
|
( ) |
|
теоретических значефункцииий |
|
|
|
|
||||
2)Сформировать |
эксперимзначфункцииен,добавивийтальныхфункции |
|
||||||
шум,распределенпонормальномузако ый |
|
|
|
|
= 0.05 |
. |
||
3) Сгладитьполученныеданныеспомкомандщью |
|
|
|
polyfit, строяпоследовательнополиномы, |
|
|||
начинаяспервогопорядкадо , авногоядка7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Наоднграфикеомтобратеоретзависимостьитьческую |
|
|
|
|
(спомощьюфункции |
fplot), точ- |
||
ки,соответствующиеизмерензначениямзависимрассчитанные,ым пэкспериментально |
|
|
|
|
ым |
|||
данным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Пографикуо |
пределитьоптимальныйпорядокполинома,прикоторомаппроксимация |
|
бу- |
|||||
детнаиболееблизкойтеоретическойкривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание.Дляпостроенэксперизависимостейяможноентальныхвоспользоваться |
|
|
||||||
функцией fplot ифункцией polyval, котораяпозволяетнайтизначенияполиномаего |
|
коэффициен- |
||||||
там: fplot(@(x)polyval(p, x),[a b]),где |
a – коэффициентыполинома,найденныепредварительнос |
о- |
||||||
мощьюкоманды |
polyfit. |
|
|
|
|
|
|
|
№
вар-та
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Задлявыполненияаниялабораторнойработы.
y(x) |
x0 |
x1 |
№ |
|
вар-та |
||||
0.5 ! + 8 !! + 8 |
|
|
||
-4 |
-1 |
15 |
||
(1+ x)(x2 + 3)−1 |
-9 |
9 |
16 |
|
10e−x (x3 − 2x +1) |
-2 |
2 |
17 |
|
(1 + x2 ) sin 2x |
-1 |
5 |
18 |
|
exp(−0.5x cos x) |
-5 |
3 |
19 |
|
exp(2.5 sin x) cos x |
1 |
3 |
20 |
|
x 2 sin(2x − 3) |
0 |
4 |
21 |
|
x(x 2 + 3)−1 |
-5 |
5 |
22 |
|
(1 + x 2 )(1 + x3 )−1 |
0 |
4 |
23 |
|
(x − 3) cos2 x |
-3 |
3 |
24 |
|
(1 − x) cos x |
0 |
4 |
25 |
|
y(x) |
x0 |
x1 |
|||
x2 − 2x +16(x −1)−1 −13 |
2 |
5 |
||||
(1 + x3 )e−x |
-2 |
2 |
||||
(1 + x) |
|
|
-3 |
3 |
||
8 − x |
||||||
(x 2 + 7x + 7)(x 2 − 2x + 2)−1 |
2 |
5 |
||||
(2x 2 + 6)(x 2 − 2x + 5)−1 |
-3 |
3 |
||||
x(2x 2 +1)−1 |
-1 |
4 |
||||
(1 + x) sin x |
0 |
5 |
||||
exp(−x sin 2x) |
-2 |
2 |
||||
(1 − x)(x 2 + 4)−1 |
-2 |
3 |
||||
|
|
cos 2x |
0 |
4 |
||
|
x |
|||||
x 2 cos(x +1) |
-3 |
3 |
||||
12 |
|
|
|
0 |
8 |
26 |
|
-3 |
3 |
|
x − cos(1.5x) |
x + 3 cos2 x |
|||||||
13 |
sin 2x − 0.2x 2 |
0 |
6 |
27 |
x 2 + 2(x + 0.5)−1 |
0 |
4 |
||
14 |
(x 2 +1)−1 sin(x +1) |
-3 |
2 |
28 |
(x 2 +1)−1 cos x |
-2 |
3 |
||