Sb96063
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
_____________________________________________________
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
_____________________________________________________
М. Н. АБРАМОВА В. Г. КАЗАКЕВИЧ Е. А. ТОЛКАЧЕВА
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2017
УДК 517.3(07) ББК В 161.12я7 А16
Абрамова М. Н., Казакевич В. Г., Толкачева Е. А.
А16 Интегральное исчисление функции одной переменной: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017. 32 с.
ISBN 978-5-7629-2139-8
Содержит материал для самостоятельного изучения студентами раздела учебной дисциплины «Математический анализ», посвященного интегральному исчислению функции одной вещественной переменной.
Предназначенодляорганизациисамостоятельнойработыстудентовзаочной формы обучения по направлениям: «Информатика и вычислительная техника», «Управление в технических системах», «Биотехнические системы и технологии», «Электроника и наноэлектроника».
УДК 517.3(07) ББК В 161.12я7
Рецензенты: кафедра информатики и информационной безопасности ВШ ИТАС САФУ им. М. В. Ломоносова (г. Архангельск); канд. физ.-мат. наук С. Б. Колоницкий (СПбГУ).
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7629-2139-8 |
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017 |
2
Настоящее издание адресовано студентам заочной формы обучения, поэтому авторы стремились как можно теснее связать теорию и практику. Основная цель – проиллюстрировать на примерах основные методы интегрирования функции одной вещественной переменной.
Программа курса высшей математики для любой инженерной специальности включает в себя в качестве основополагающего раздел, посвященный интегрированию функции одной вещественной переменной. В пособии рассмотрены не только базовые понятия и методы интегрального исчисления функции одной переменной, но и приложения к решению классических «инженерных» задач.
1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1.Определение и свойства неопределенного интеграла
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (a;b) , и существует функция F(x) , такая, что F' (x) = f (x) на этом же интервале. Будем
называть F(x) первообразной для функции |
f (x) на интервале (a;b) . |
|
|
Если F(x) – первообразная для |
f (x) |
на интервале (a;b) , то |
с R : |
F(x) c тоже первообразная для f (x) |
на интервале (a;b) . Доказать можно |
непосредственным дифференцированием: F(x) c ' F'(x) c' F'(x).
Будем называть неопределенным интегралом от функции f(x) на интер-
вале (a; b) совокупность всех возможных первообразных функции f (x) .
Обозначение: f (x)dx F(x) c, x (a;b), c R.
Функцию f (x) |
в этом случае будем называть подынтегральной. |
|
В дальнейшем |
будем опускать x (a;b), |
c R и писать просто |
f (x)dx F(x) c.
Будем называть дифференциалом функции F(x) выражение F'(x)dx и
обозначать d F(x) F'(x)dx f (x)dx.
Простейшие свойства неопределенного интеграла:
1.( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx.
2.cf (x)dx c f (x)dx,c R.
Свойства 1, 2 вместе называются свойством линейности неопределенного интеграла и выводятся непосредственно из свойств производной.
3
3.dF(x) F(x) c.
4.d f (x)dx f (x)dx.
Таблица неопределенных интегралов.
Приведем список простейших неопределенных интегралов, которые выводятся непосредственно из определения и которыми можно пользоваться без доказательства.
x 1
1. x dx 1 c, 1 (интегрирование степенной функции).
В частности, 1dx x c |
( 0) , x dx |
x2 |
c |
( 1). |
||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. dx ln |
|
|
x |
|
c . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
||||||
3. a xdx |
c , a 0, |
a 1 (интегрирование показательной функции). |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
Вчастности, exdx ex c .
4.sin x dx cos x c .
5.cos x dx sin x c .
6.cosdx2 x tg(x) c .
7.sindx2 x ctg(x) c .
8. |
|
|
dx |
|
|
|
arctg(x) c, |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
arcctg(x) c. |
|
|
|
|
||||||||
9. |
|
|
dx |
|
|
|
arcsin(x) |
c, |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
arccos(x) c. |
|
|||||||
10. |
dx |
|
|
|
|
|
|
c. |
||||||
|
|
|
ln |
x x2 |
1 |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.sh(x)dx ch(x) c .
12.ch(x)dx sh(x) c .
13. |
dx |
|
|
1 ln |
|
|
x 1 |
|
|
c . |
|
|
|
|
|||||||||
x2 1 |
x 1 |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4
Замечание. Для эффективного применения таблицы интегралов необходимо использовать сведения, изученные в рамках школьной программы, в том числе свойства степеней и логарифмов. В частности,
1 |
x n , n |
|
x |
1n , log |
|
x |
ln x |
. |
|
x |
a |
||||||||
|
|
||||||||
xn |
|
|
ln a |
||||||
|
|
|
1.2. Методы вычисления неопределенного интеграла
Найти неопределенный интеграл означает найти все первообразные подынтегральной функции, т. е. фактически «угадать», производная какой функции находится под интегралом (используется в подынтегральной функции). Для табличных интегралов это не составляет труда. Но большинство интегралов, естественно, не является табличными. Тем не менее, при помощи определенных приемов некоторые интегралы удается свести к линейной комбинации табличных (к сумме с числовыми коэффициентами).
В некоторых случаях вид подынтегральной функции подсказывает, каким приемом можно воспользоваться для вычисления соответствующего интеграла (например, в случае дробно-рациональной подынтегральной функции). В общем же случае выбор приема, который приведет к результату, трудно описать алгоритмически.
Следует отметить, что далеко не любой интеграл можно взять в элементарных функциях, т. е. интеграл легко может оказаться «не берущимся».
Перечислим основные приемы интегрирования, укажем, в каких случаях их выгодно применить, а также разберем некоторое количество примеров.
1.2.1. Замена переменной
1. |
Если |
f (x)dx F(x) c , |
то |
f (u)du F(u) c , где |
u g(x), |
|||
du g'(x)dx . В частности, f ( x )dx |
|
1 |
|
F ( x ) c (линейная замена). |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Если |
f (x) непрерывна, то, |
полагая |
x g(t) , где g(t) , g'(t) непре- |
рывны, получим: f (x)dx f (g(t)) g'(t)dt . Таким образом, если подынте-
гральная функция имеет вид произведения f (g(t)) g'(t) , то соответствующий
интеграл |
можно |
вычислить, |
сделав |
замену |
переменной: |
||
|
|
u g(t) |
|
f (u)du . |
|
|
|
f (g(t)) g'(t)dt |
|
|
|
|
|||
|
du g'(t)dt |
|
|
|
|
5
Пример 1. Вычислить cos(3x 7)dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Согласно таблице интегралов, |
cos x dx sin x c . Тогда, при- |
|||||||||||||||||||
менив линейную замену (п. 1), получим cos(3x 7) dx |
1 |
sin(3x 7) c . |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
Пример 2. Вычислить |
1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x ln( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как ln' x |
1 |
, |
то сделаем следующую замену переменной: u ln x , то- |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гда du d (ln x) ln' x dx |
1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u ln x |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
Таким образом, |
|
|
|
dx du |
1 |
dx |
du . |
|||||||||||||
|
x ln( x) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя табличный интеграл |
dx |
|
|
c для новой переменной, по- |
||||||||||||||||
|
ln |
x |
||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучим, что duu ln u c . Возвращаясь к исходной переменной (u ln x ), по-
лучим окончательный ответ: ln | ln x | c . Полное решение записывается так:
|
1 |
u ln x |
1 |
|
|
|
|||||
|
dx du |
1 |
dx |
du ln | u | c ln | ln x | c . |
|||||||
|
|
||||||||||
x ln( x) |
|
u |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
Пример 3. Вычислить |
|
|
2x 3 |
|
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
x2 3x 7 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе. Его производная сов-
падает с числителем: (x2 3x 7)' 2x 3. Значит, можно сделать замену переменной:
|
|
|
2x 3 |
|
|
u x2 3x 7 |
|
|
|
du |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3x |
7 |
|
du (2x 3)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
u |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
По свойствам степеней, |
|
2 . |
Т. е. |
|
|
|
2 du 2u 2 |
c (инте- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
u |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грируем степенную функцию согласно таблице интегралов). Возвращаясь к
6
исходной переменной, так как u x2 3x 7 , получаем окончательный ответ:
1
2(x2 3x 7) 2 c.
|
Полное |
решение |
записывается: |
|
|
|
2x 3 |
|
|
dx |
u x2 |
3x 7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
7 |
|
|
du (2x 3)dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
du |
|
u |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 du 2u 2 |
c = 2(x2 3x 7)2 c. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.2. Внесение под знак дифференциала
Если подынтегральная функция имеет вид произведения f (g(t))g'(t) , то, помня об определении дифференциала функции d(g(x)) g'(x)dx , можно вне-
сти производную сложного |
аргумента |
g'(x) под |
знак дифференциала |
||||
f (g(t))g'(t)dt g'(x)dx d(g(x)) f (g(x))d(g(x)), |
а затем воспользо- |
||||||
ваться тем, что если f (x)dx F(x) c , то f (g(x))d(g(x)) F(g(x)) c . |
|||||||
Пример 4. Вычислить cos(3x 7)dx . |
|
|
|||||
cos(3x 7)dx 3 |
1 |
cos(3x 7)dx |
1 |
|
(cos(3x 7))3dx . |
||
|
|
||||||
3 |
3 |
|
|
Подынтегральная функция имеет сложный аргумент 3x 7 . Внесем его под знак дифференциала: d(3x 7) (3x 7)'dx 3dx .
Таким образом, интеграл принял вид:
|
|
1 |
(cos(3x 7))3dx |
1 |
cos(3x 7)d (3x 7) |
1 |
sin(3x 7) c . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
Полное решение записывается так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
cos(3x 7)dx 3 |
1 |
cos(3x 7)dx 3dx d (3x 7) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
cos(3x 7)d (3x 7) |
|
1 |
sin(3x 7) c. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 5. Вычислить |
1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx ln' x dx d (ln x) |
|
d (ln x) ln |
ln x |
|
c. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x ln( x) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
Пример 6. Вычислить |
|
2x 3 |
|
|
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 7 |
|||||
|
|
2x 3 |
|
dx (2x 3)dx (x |
2 3x |
7)'dx d (x2 3x 7) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
x2 3x 7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x2 3x 7) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
2 d (x2 3x 7) . |
После |
внесения под знак дифференциала |
осталось воспользоваться таблицей интегралов, тогда решение имеет вид:
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx = (x2 |
2 d (x2 3x 7) 2(x2 3x 7) 2 c . |
|||||
|
|
|
|
|
3x 7) |
|||||
|
|
|
|
|||||||
x2 3x |
|
|||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
Итак, «замена переменной» и «внесение под знак дифференциала» – это две интерпретации одного и того же технического приема. Какой из этих двух вариантов использовать – вопрос исключительно удобства решающего.
1.2.3. Интегрирование по частям
Пусть u(x),v(x) – дифференцируемые функции. Тогда u dv uv v du .
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Заметим, что применение формулы интегрирования по частям имеет смысл тогда, когдаv du проще, чем исходный.
Рассмотрим примеры типовых интегралов, берущихся с использованием формулы интегрирования по частям.
Пример 7. Вычислить (2x 3)exdx .
Подынтегральная функция – произведение показательной функции и многочлена. В этом случае целесообразно в качестве u(x) выбрать многочлен, а произведение показательной функции на dx – в качестве dv .
|
|
|
|
|
|
u(x) 2x 3 du 2 dx |
(2x 3)ex 2exdx |
||||
(2x 3)exdx |
dv e |
x |
dx v(x) e |
x |
|
|
|
|
|
(2x 3)ex 2ex c .
Пример 8. Вычислить x sin(2x 1)dx.
Подынтегральная функция – произведение многочлена и одной из следующих функций: sin x , cos x , ln x , arcsin x , arctg x . В этом случае целесообразно в качестве u(x) выбрать многочлен, а произведение одной из перечисленных функций на dx – в качестве dv .
8
|
|
|
|
|
|
u(x) x du 1dx |
|
|
|
||||||||
|
|
x sin(2x 1)dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
dv sin(2x 1)dx v(x) |
|
|
cos(2x 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
1 |
x cos(2x 1) |
1 |
cos(2x 1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Получившийся интеграл вычисляется при помощи линейной замены |
||||||||||||||||
|
|
cos(2x 1)dx = |
1 |
sin(2x 1) c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итоговый ответ: x sin(2x 1)dx |
1 |
x cos(2x 1) |
1 |
sin(2x 1) c. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
||
|
Пример 9. Вычислить ln( x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В некоторых случаях многочлен может оказаться, в частности, нулевой |
||||||||||||||||
степени, т. е. константой. Как и в этом примере |
ln( x)dx 1 ln( x)dx = |
||||||||||||||||
|
|
dv 1dx v(x) x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
x ln( x) x |
dx . Получившийся интеграл – таб- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u(x) ln( x) du |
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
личный x 1x dx 1dx x c. Итоговый ответ ln( x)dx x ln( x) x c.
Пример 10. Вычислить 2x cos(7x)dx.
Подынтегральная функция – произведение показательной функции на sin x или cos x . В этом случае формулу интегрирования по частям приходится применить несколько раз.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) cos(7x) du 7 sin(7x)dx |
|
|
|||
|
|
2x cos(7x)dx |
|
x |
2x |
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv 2 dx v(x) ln 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
cos(7x)2x |
7 |
|
|
2x sin(7x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln 2 |
ln 2 |
|
|
|
|
|
Получившийся интеграл тоже берется при помощи формулы интегрирования по частям. При этом в качестве u(x) , v(x) нужно выбрать функции того же типа, что и на первом шаге.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) sin(7x) du |
7 cos(x)dx |
|
|
||||||
|
|
2x sin(7x)dx |
dv 2 |
x |
dx v(x) |
1 |
2 |
x |
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2x sin(7x) |
7 |
|
2x cos(7x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ln 2 |
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Итак, по результатам двух шагов:
2 x cos(7x)dx |
1 |
2 x cos(7x) |
|
7 |
|
2 x sin(7x) |
49 |
|
2 x cos(7x)dx . |
||
ln 2 |
ln |
2 |
2 |
ln |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Получившийся интеграл отличается от исходного умножением на кон-
станту, в данном случае умножением на 49 . Перенесем слагаемое, содерln 2 2
жащее интеграл, в левую часть равенства:
2x cos(7x)dx |
49 |
2x cos(7x)dx |
1 |
2x cos(7x) |
7 |
|
2x sin(7x) . |
|
ln 2 2 |
ln 2 |
ln 2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Приведем подобные слагаемые в левой части равенства:
(1 |
49 |
) 2x cos(7x)dx |
1 |
2x cos(7x) |
7 |
|
2x sin(7x) . |
|
|
ln 2 |
|
||||
|
ln 2 2 |
ln 2 |
|
2 |
|
Остается выразить исходный интеграл и добавить в правую часть произвольную константу:
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
2x cos(7x)dx |
|
|
|
|
|
|
2x cos(7x) |
|
2x sin(7x) c. |
||
|
49 |
|
|
|
ln 2 2 |
||||||
|
|
(1 |
|
) |
ln 2 |
|
|
||||
|
|
ln 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно слегка упростить правую часть алгебраическими преобразовани- |
|||||||||||
ями и получить итоговый ответ: |
|
|
|
|
|||||||
2x cos(7x)dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
ln 2 2x cos(7x) 7 2x sin(7x) c. |
|||
|
(ln 2 2 |
49) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Такие интегралы, сводящиеся к самим себе, называются интегралами циклического типа.
1.2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной называется функция вида f (x) Pn (x) , где Pn (x)
Qm (x)
и Qm (x) — многочлены степеней m и n соответственно. Если m n , то рациональная дробь называется неправильной, если m n , то правильной.
Интегрирование дробно-рациональных функций основано на следующем утверждении: любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и простейших дробей четырех типов.
10