Математический анализ / Задачники / Задачи на двойные интегралы
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Список задач для подготовки к контрольной работе по теме ¾Двойные интегралы¿
Задание 1. Изобразите область интегрирования. Измените порядок интегрирования:
p
11 x2
ZZ
1) dx |
f(x; y) dy |
1 x 1
p
04 x2
ZZ
2) dx |
f(x; y) dy |
2 (x+2)=2
3x+3
ZZ
3) dx |
f(x; y) dy |
p
3 9 x2
12x
ZZ
4) dx |
f(x; y) dy |
01 x2
12 x
ZZ
5) dx |
f(x; y) dy |
0x3
=2 |
sin x |
ZZ
6) |
dx |
f(x; y) dy |
0x
0x2
ZZ
7) dx |
f(x; y) dy |
1 x2
1x2
ZZ
8) dx |
f(x; y) dy |
0x2
p
22x
ZZ
9) dx |
f(x; y) dy |
p
0 2x x2
11 x
ZZ
10) dx |
f(x; y) dy |
p
48x
ZZ
11) dx |
f(x; y) dy |
p
2 4x x2
p
01 x2
ZZ
12) dx |
f(x; y) dy |
1 1 x
p
01 x2
ZZ
13) dx |
f(x; y) dy |
1 1
0x+2
ZZ
14) dx |
f(x; y) dy |
2 x2 4
01
ZZ
15) dx |
f(x; y) dy |
1 x2 1
p
39 x2
ZZ
16) dx |
f(x; y) dy |
0x 3
p
39 x2
ZZ
17) dx |
f(x; y) dy |
04
p
24 x2
ZZ
18) dx |
f(x; y) dy |
0x 2
02x
ZZ
19) dx f(x; y) dy
1 0
eln x
ZZ
20) dx |
f(x; y) dy |
0 |
|
p |
|
|
|
1 |
x e |
|
1 |
|
x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
2
Задание 2. Плоская область D ограничена заданными линиями.
1)Сделайте схематический рисунок области D.
2)Расставьте пределы интегрирования в двойном интеграле двумя способами.
3)С помощью двойного интеграла найдите площадь области D.
1)y = 2x; y = 2x; x = 0
2)y = x3; y = x; y = 1
3)y = (x + 1)2; y = (x 1)2; y = 0
p
4)y = x; y = x + 1; 0 6 x 6 1
5)y = ln x; y = x; 1 6 x 6 e
6)y = arctg x; y = x; 0 6 x 6 1
7)y = x4 ; y = x; y = 4x
2
8) y = 1 + x2 ; y = jxj
9) y = x2; y = 1=x; y = 4
10) y = cos x; y = x + 1; x = =2
11) y = 2x2 + 3; y = x2 + 2
12) y = x92 ; y = 10 x2; x > 0
13) y = 2x; y = 1 x; y = 1
2 14) y = x2; y = 1 + x2
15) y = 6=x; y = 7 x
16) y = ln x; y = ln x; x = e
S = log2 e 1
S = 54
S = 29
S = 56
S = e2 3 2
S = + 2 ln 4 4
S = 4 ln 2
s = 1 2
S = 143 ln 4
S = 2 + 4 8 8
S = 43
S = 1113
S = ln12 12
S = 125=6
S = 2
|
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|
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|
|
|
|
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|
3 |
17) |
y = ex; y = e x; x = 1 |
S = 2(sh 1 |
|
1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18) |
y = sin x; y = x; x = =2 |
S = ( 2 8)=8 |
||||||||||||||
19) |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
y = tg x; y = |
|
|
3; x = 0 |
S = = 3 ln 2 |
||||||||||||
20) |
y = ln x; x = e; x = e2; y = 0 |
|
S = e2 |
|||||||||||||
21) |
y = 2x x2; y = x |
S = 4; 5 |
||||||||||||||
22) |
y = |
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x; y = |
4 x; y = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
23) |
y = jxj; y = 2 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
24) |
y = |
1 |
; y = x2=2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
1 + x2 |
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|
|||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
||||
25) |
y = ex; y = e2x; x = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
26) |
y = arctg x; y = =2; 0 6 x 6 1 |
S = =4 + ln 2=2 |
||||||||||||||
27)y = x2j + 2x + 1; y = x2 2x + 1
28)y = ln x; y = e=x; x = 1
29) |
y = cos x; y = sin x; =4 6 x 6 =4 |
p |
|
|
|
|||||||
S = |
2 |
|||||||||||
30) |
y = jxj; y = 2 j2xj |
|
|
|
|
|
||||||
31) |
y = x2; y = p |
|
|
|
|
S = 1=3 |
||||||
x |
||||||||||||
32) |
y = 9=x2; y = 10 x2; x > 0 |
S = 15 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
||||||||||
33) |
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
x; y = x; y = 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Задание 3. Вычислите двойной интеграл, переходя к полярным координатам:
1) |
ZZ |
4 dxx2 |
|
y2 , |
D : x2 + y2 6 2x; 0 6 y 6 xp3 |
|||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
||
|
D |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ZZD |
x2 + y2 dx dy, |
D : 2x 6 x2 + y2 6 4x; y > 0 |
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
ZZD |
x2 + y2 dx dy, |
D : 2x 6 x2 + y2 6 4x; y 6 0 |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
4
ZZ
p
4)x2 + y2 dx dy, D : 2y 6 x2 + y2 6 4y; y > x
D
|
ZZD |
|
y |
( |
x2 |
|
+ y2) |
|
|
|
D : 1 6 x2 + y2 6 4; y 6 x; y > 0 |
||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dy, |
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
6) |
ZZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dy, |
D : 2 6 x2 + y2 6 4 2; y > x |
|||||||||||||
sin |
|
|
x2 |
+ y2 |
|
||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
ZZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : 2 6 x2 + y2 6 4 2; y 6 x |
||||||||||||
cos |
|
|
x2 |
+ y2 |
dx dy, |
||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8) |
ZZ |
|
|
|
y |
dx dy, |
D : 2x 6 x2 + y2 6 4x; 0 6 y 6 x=p |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||
|
D |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
ZZ |
|
|
x |
dx dy, |
D : 2y 6 x2 + y2 6 4y; y 6 xp |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||
|
D |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
ZZ arctgxp2 |
|
|
|
|
dx dy, D : 1 6 x2 + y2 6 4; 0 6 y 6 x |
|||||||||||||||||||
+ y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11) |
ZZ x dx dy, |
|
|
D : 2y 6 x2 + y2 6 4y; y 6 x |
|||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) |
ZZD |
y dx dy, |
|
|
D : 2x 6 x2 + y2 6 4x; y > xp |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
13) |
ZZ |
|
|
x2 |
+ y2 |
, |
|
|
D : 4x 6 x2 + y2 6 9x; x 6 y 6 xp3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
ZZ |
|
|
x2 |
+ y2 |
, |
|
|
D : 2x 6 x2 + y2 6 4x; x 6 y 6 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D |
|
p |
|
|
|
|
|
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