Лабораторные работы / ЛР2
.pdf
Отчет по лабораторной работе №2
по дисциплине «Вычислительные методы»
Решение нелинейных уравнений методом простой итерации
Pm(x) := −0.8 x3 + 2.3 x2 + 14.1 x − 3.7
Задача 2 1.
eps := 10− 13
Отрезок |
m |
M |
alpha |
q |
Найденное |
Абсолютная погрешность |
локализации |
|
|
|
|
приближение к |
(отличие от встроенной |
|
|
|
|
|
корню |
функции root()) |
|
|
|
|
|
|
|
[5.7;5.9] |
-37.656 |
-39.956 |
-0.0257692109467608 |
0.029634592588775 |
5.783967779146344 |
2.220446049250313* |
|
|
|
|
|
|
*10^-14 |
|
|
|
|
|
|
|
[0.1;0.3] |
14.924 |
15.264 |
0.0662514906585398 |
0.0112627534119518 |
0.2528964078036998 |
-2.3869795029440866* |
|
|
|
|
|
|
*10^-15 |
|
|
|
|
|
|
|
[-3.3;-3.1] |
-23.224 |
-25.196 |
-0.0413052457662123 |
0.0407269723254854 |
-3.161864186950021 |
2.5339730314044573* |
|
|
|
|
|
|
*10^-12 |
|
|
|
|
|
|
|
2.
MPI(f ,alpha ,q ,x0,eps ) := x0 ← x0
n ← 1 kn ← n
x1 ← x0 − alpha f(x0) gr ← eps 1 −q q
pogr1 ← xn − xn−1 while pogrn > gr
n ← n + 1
xn ← xn−1 − alpha f(xn−1) pogrn ← xn − xn−1
kn ← n
T ← augment (k,x,pogr)
|
"n" |
|
|
T |
|
|
|
T |
|
augment |
"x(n)" |
|
,T |
|
"pogr" |
|
|
|
|
Номер |
|
Приближение |
Апостериорная оценка |
|
итерации |
|
|
погрешности |
|
|
|
|
|
|
1 |
5.784305262072875 |
0.0343052620728752 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5.783960978901689 |
3.4428317118617713*10^-4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5.783967915471776 |
6.936570087212601*10^-6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5.783967776413104 |
1.3905867213281908*10^-7 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5.783967779201121 |
2.7880169284344447*10^-9 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5.7839677791452235 |
5.589750884382738*10^-11 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5.783967779146344 |
1.120881165661558*10^-12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
Приближение |
Апостериорная оценка |
|
итерации |
|
|
погрешности |
|
|
|
|
|
|
1 |
0.2528985027163111 |
2.8985027163111465*10^-3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0.252896405606473 |
2.097109838172795*10^-6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0.2528964078060063 |
2.1995333332469613*10^-9 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0.2528964078036998 |
2.3064883336587627*10^-12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
Приближение |
Апостериорная оценка |
|
итерации |
|
|
погрешности |
|
|
|
|
|
|
1 |
-3.1619186286658403 |
0.0119186286658399 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-3.161863672355647 |
5.495631019325486*10^-5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-3.1618641918025263 |
5.194468792879547*10^-7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
-3.161864186904266 |
4.898260463903625*10^-9 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
-3.1618641869504565 |
4.619060689492471*10^-11 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
-3.161864186950021 |
4.356515148629114*10^-13 |
|
|
|
|
|
|
|
3.1 |
|
|
|
|
eps=10-13 |
|
|
|
|
5.783967779146344 |
7 итераций |
|
|
|
0.2528964078036998 |
4 итерации |
|
|
|
-3.161864186950021 |
6 итераций |
|
|
|
2
3.2 |
|
eps=10-8 |
|
5.783967776413104 |
4 итерации |
0.2528964078060063 |
3 итерации |
-3.161864186904266 |
4 итерации |
3.3 |
|
Вслучае eps=10-13 наименьшее количество итераций потребовалось для расчета корня
0.2528964078036998, наибольшее – для расчета корня 5.783967779146344.
Вслучае eps=10-8 наименьшее количество итераций потребовалось для расчета корня
0.2528964078060063.
3.4
Погрешность корня 5.783967779146344 уменьшается со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 0.02.
Погрешность корня 0.2528964078036998 уменьшается со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 0.001.
Погрешность корня -3.161864186950021 уменьшается со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 0.009.
3.5
Чем меньше число итераций, тем выше скорость сходимости. Чем меньше погрешность начального приближения, тем меньше итераций потребуется сделать для достижения заданной точности.
3