Лабораторные работы / ЛР5
.pdf
Отчет по лабораторной работе № 5 на тему: «Численное интегрирование и дифференцирование»
по дисциплине «Вычислительные методы»
Постановка задачи
Найдите приближенные значения интеграла:
⌠b
f(x) dx
⌡a
и производной f’(a), используя указанные в индивидуальном варианте методы. Организуйте серию расчетов с шагами h = 10-k (k = 1, 2, …, 15). Сделайте выводы о порядке точности и обусловленности методов.
f(x) := atan (x) + 1 1 + x2
a := 0 b := 1
1. Вычисление точного значения J интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
|
|
|
|
|
3 |
|
⌠ |
|
|
2 atan(x) |
2 |
|
⌡ |
|
→ atan(x) + |
|
|
|
f(x) dx |
|
|
||
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3
F(x) := atan(x) + 2 atan(x) 2
3
J := F(b) − F(a) = 1.249425496467
2. Реализация составной формулы численного интегрирования левых прямоугольников:
integr(a,b ,J,f ,h) := I ← 0
n ← b h− a
n−1
I ← ∑ (f(a + i h) h) i = 0
( I J − I )
i := 0..8
hi := 10− (i+1)
y1i := integr(a,b ,J,f ,hi)
Вычисление приближенного значения интеграла прекращено на шаге h=10-9, так как ЭВМ не хватает памяти для проведения расчетов с меньшим шагом разбиения.
4. Вычисление точного значения D производной f’(a):
k(x) := d f(x) dx
1
D := k(a) = 0
5. Реализация правой формулы численного дифференцирования:
diff(x,D,f ,h) := |
d ← |
|
|
f(x + h) − f(x) |
||
|
|
|
|
h |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( d |
|
D − d |
|
) |
|
|
|
|||||
i := 0..14 |
|
|
|
|
|
|
hi := 10− (i+1) |
|
|
|
|
|
|
y2i := diff(a,D,f ,hi)
Итоговая таблица:
|
Приближенное |
Погрешность |
Приближенное |
Погрешность |
|
Шаг h |
численного |
значение |
численного |
||
значение интеграла |
|||||
|
интегрирования |
производной |
дифференцирования |
||
10-1 |
1,245 |
4×10-3 |
3 |
3 |
|
10-2 |
1,24950 |
7×10-5 |
10 |
10 |
|
10-3 |
1,24945 |
2×10-5 |
32 |
30 |
|
10-4 |
1,249428 |
3×10-6 |
100 |
100 |
|
10-5 |
1,2494258 |
3×10-7 |
316 |
300 |
|
10-6 |
1,24942553 |
3×10-8 |
1000 |
1×103 |
|
10-7 |
1,249425499 |
3×10-9 |
3162 |
3×103 |
|
10-8 |
1,2494254968 |
3×10-10 |
10000 |
1×104 |
|
10-9 |
1,24942549649 |
3×10-11 |
31623 |
3×104 |
|
10-10 |
|
|
100000 |
1×105 |
|
10-11 |
|
|
316228 |
3×105 |
|
10-12 |
|
|
1000000 |
1×106 |
|
10-13 |
|
|
3162278 |
3×106 |
|
10-14 |
|
|
10000000 |
1×107 |
|
10-15 |
|
|
31622777 |
3×107 |
7. Выводы:
Для формулы численного интегрирования левых прямоугольников:
1.Порядок точности формулы по h равен 1.
2.Если h уменьшается в 10 раз, то погрешность должна уменьшиться в 10 раз. По 3 столбцу таблицы видно, что при уменьшении шага погрешность убывает с такой же скоростью в 6 случаях из 8.
3.Данные 3 столбца для шагов 10-1, 10-2, 10-3, 10-4 нельзя использовать для анализа порядка точности, так как при уменьшении шага в 10 раз погрешность уменьшается в большее
(4×10-3/(7×10-5)≈57) или меньшее (7×10-5/(2×10-5)=3,5 и 2×10-5/(3×10-6)≈6,7) число раз, чем 10. 4. Наилучшая точность достигается при шаге h = 10-9 — погрешность в этом случае минимальна.
2
5. В расчетах проявилась хорошая обусловленность формулы: при уменьшении h во всех случаях погрешность уменьшалась.
Для правой формулы численного дифференцирования:
1.Порядок точности формулы по h равен 1.
2.Если h уменьшается в 10 раз, то погрешность должна уменьшиться в 10 раз. Фактически по 5 столбцу таблицы видно, что при уменьшении шага погрешность возрастает — имеет место нарастающий вклад вычислительной погрешности с уменьшением шага.
3.Данные 5 столбца нельзя использовать для анализа порядка точности, так как при уменьшении шага в 10 раз погрешность увеличивается примерно в 3 раза, хотя должна уменьшиться в 10 раз.
4.Наилучшая точность достигается при шаге h = 10-1 — погрешность в этом случае минимальна.
5.В расчетах проявилась плохая обусловленность формулы: при уменьшении h в 14 случаях из 14 погрешность увеличивалась, а не уменьшалась.
3