Механика (1 семестр) / ЛР2_механика
.pdf
Вопросы:
1.Какие силы называются консервативными?
Консервативными называются силы, работа которых при перемещении тела от точки 1 к точке 2 зависит не от траектории движения этого тела между этими точками, а только от положения этих точек – материал взят с сайта Студворк
23. Найдите отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.
Протокол наблюдений:
Таблица 2.1
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
θt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, с |
|
|
7.32 |
|
7.48 |
7.31 |
|
7.56 |
|
7.37 |
|
0.05 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L, |
d, |
D1=D2, |
h1=h2, |
m, г |
|
p, кг/ |
xc, мм |
x1, мм |
x2, мм |
|
x3, мм |
||||
мм |
мм |
мм |
мм |
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
245 |
6 |
40 |
15 |
|
520 |
|
7900 |
145 |
125 |
175 |
|
95 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положение вершины призмы P0 = 30 мм
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обработка данных: |
||||
Рассчитаем время 10 колебаний маятника t=¯t ±Δ¯t с P=95% |
||||||||||||||
¯t = |
Σti |
= |
7.32+7.48+7.31+7.56+7.37 |
=7. 41[с ] |
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Среднеквадратичное отклонение: |
|
|
|
|||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||
|
|
∑(¯t −t)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
St = |
|
|
= |
0.0081+0.0049+0.01+0.0225+0.0016 |
=√ |
|
≈0.05[c] |
|||||||
|
|
0.002355 |
||||||||||||
|
N (N −1) |
|
20 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициент Стьюдента для количества измерений N=5, и вероятности правильного измерения p=0.95 равен 2.8
Тогда:
t=0.05 2.8=0.14[с]
¯t =√ t2 +θ 2t =√ 0.142 +0.052≈0.15[с ]
t=7.4±0.2 [с]
Рассчитаем период колебаний маятника по формуле T=t/n:
Тi =tni
T1 =710.32 =0.732[c ]
T2 =710.48 =0.748 [c]
T3 =710.31 =0.731[c ]
T4= 710.56 =0.756 [c ]
T5 =710.37 =0.737[c ]
T¯ = |
0.732+0.748+0.731+0.756+0.737 |
= |
3.704 |
=0.7408[c ] |
|
N |
|
5 |
|
Найдем среднеквадратичное отклонение:
√∑(T¯ −T )2 ST = N (N−1)
|
√ |
(0.7408−0.732)2+(0.7408−0.748)2 +(0.7408−0.731)2 +(0.7408−0.737)2 |
|
√ |
|
|
St = |
|
= |
|
0.00023976 |
≈0.0035[c] |
|
|
|
20 |
|
|
20 |
|
Коэффициент Стьюдента для количества измерений N=5, и вероятности правильного измерения p=0.95 равен 2.8
Тогда:
T =t p ST =0.0035 2.8=0.0098[c]
Получим:
Т0 = 0.74±0.01 [c]
T0 = 0.741 ± 0.010 [c]
Рассчитаем момент инерции маятника относительно оси подвеса по формуле:
I |
=mgxc T i2 |
|
|
||
i |
|
|
4 π 2 |
|
|
I1 |
= |
0.3 9.8 0.145 0.7322 |
=0.0315 |
2 |
|
4 π |
[кг м ] |
||||
|
|
|
|
|
|
I2 =0.0328[кг м2]
I3 =0.0314[кг м2 ]
I4=0.0336 [кг м2 ]
I5 =0.0319[кг м2]
¯I= Σ Ii = 0.0315+0.0328+0.0314+0.0336+0.0319 =0.03224 [кг м2 ]
N 5
Среднеквадратичное отклонение:
SI =√Σ(¯I−Ii)2 =√ 0.0000001766≈0.00042[кг м2 ]
N (N −1)
Коэффициент Стьюдента для количества измерений N=5, и вероятности правильного измерения p=0.95 равен 2.8
I=2.8 0.00042=0.001176 [кг м2 ]
I=0.032±0.001 [кг*м2]
По формуле :
l0= |
gT 0 |
4 π 2 |
Рассчитаем приведенную длину маятника
l0= 9.8 0.74 ≈0.183[ м]
4 π 2
По формуле:
W=W pm=2 mgxc sin2 ϕm
2
Где ϕm - максимальный угол отклонения маятника от центра равновесия (в случае виртуальной установке он примерно равен 56°
Найдем полную механическую энергию маятника:
W=2 0.52 9.8 0.145 sin2( 562 )=0.40035[ Дж]
Рассчитаем массу m1, m2 дисков и m3 стержня:
m1=m2=π r2 h p=π 0.022 0.015 7900=0.149 кг=149 г
m3=π r2 L p=π 0.0062 0.245 7900=0.218 кг=218 г
Суммарная масса: 149*2+218 = 516. Практически равная значению из таблицы.
Рассчитаем положение центра маятника:
xc=m1 Σmi xi= 0.5161 (0.149 0.125+0.149 0.175+0.218 0.215)=0.177[ м]=177 мм
Рассчитаем моменты инерции каждого из тел составного маятника и его полный момент инерции:
Ii =Ic +md2
Где d = положение центра масс элемента, а Ic - момент инерции маятника относительно подвеса
I1 =0.032+0.149 0.1252=0.0343[кг м2]
I2 =0.032+0.149 0.1752=0.0365[кг м2]
I2 =0.032+0.218 0.2152=0.042[кг м2]
Полный момент инерции:
¯I=Σ Ii =0.0343+0.0365+0.042=0.1128[кг м2 ]
Вывод: В ходе выполнения данной работы мы изучили закономерности колебательного движения тела в однородном поле силы тяжести, исследовали процессы превращения энергии в консервативных системах; получили практические значения для периода колебания маятника Т0 = 0.74±0.01 [c], момента инерции относительно оси I=0.032±0.001 [кг*м2], полную механическую энергию W=0.40035 [Дж] и при помощи формул проверили полученные нами практические значения для таблиц.
Вопросы на защиту:
1) Уравнение гармонического осциллятора с затуханием
При рассмотрении осциллятора с затуханием за основу берётся модель консервативного осциллятора, в которую добавляется сила вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и прямо пропорциональна этой скорости.
Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:
F=−kx−αν
Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:
x¨ +2γ x˙ +ω 20 x=0
Где 2γ =α |
- постоянная затухания. Имеет размерность частоты (Гц) |
||||
|
|
|
|
m |
|
ω 0=√ |
|
|
|
|
|
|
k |
- собственная частота системы. Имеет размерность частоты (Гц) |
|||
|
m |
|
|||
Решение уравнения зависит от отношения постоянной затухания и собственной частоты системы:
При ɣ<ω0 общее решение записывается в виде:
x (t)= Ae−γ t sin(ω f t +ϕ)
Где ω f =√ω 20−γ 2 - частота свободных колебаний
При ɣ=ω0 затухание называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:
x (t)=(A +Bt)e−γ t
При ɣ>ω0 решение выглядит следующим образом:
x (t)= Ae−β 1t +Be−β 2 t
Где β 1,2=γ ±√γ 2−ω 20
2) Характеристики затухающих колебаний
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
К характеристикам относятся:
а) Коэффициент затухания ɣ.
Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:
А зат= Аe−γ t
Пусть за время t амплитуда уменьшится в е раз. Тогда:
AЗат(t) =e
Aзат (t+τ )
Подставляя значение Aзат
|
A зат e−γ t |
β t |
|
|
|
=e |
|
|
−γ (t+τ ) |
|
|
|
Aзат e |
|
|
Получим: |
|
||
1 |
|
|
|
γ =τ |
|
||
Где τ - время релаксации. |
|||
б) Логарифмический декремент затухания δ
Логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период
δ =ln |
A зат(t ) |
=ln |
Aзат e−γ t |
=γ T |
зат |
|||||
A зат(t +τ ) |
Aзат e−γ (t +τ ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Где Т зат= |
|
2 π |
- период затухающих колебаний |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
√ ω 02−γ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:
δ = |
1 |
ln |
Aзат(t) |
|
N |
Aзат (t+ NT) |
|||
|
|
Где Азат.(t) и Азат.(t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, в момент времени (t + NT).
в) Добротность Q колебательной системы
Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) на отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний
Q=2 π |
W (t) |
W (t )−W (t +T ) |
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, получим: