Механика (1 семестр) / ЛР2Н_механика
.pdf
Протокол наблюдений
N=3, P=95%, βP,N = 1.3, θa=2.5°
Таблица 2.1
ɑ0 |
№ |
x0=cosɑ |
θx0=sin |
|
m1 |
2 |
|
m1 |
2 |
ɑ |
x=cos |
θx=sinɑ |
|
y=1−( |
) (1−x0 ) |
θ y=( |
) θ x0 |
||||||||||
|
|
0 |
ɑ0θa |
|
|
|
ɑ |
θa |
|||||
|
|
|
m1 +m2 |
|
m1 +m2 |
|
|||||||
20° |
1 |
0.93969 |
0.855 |
|
0.996 |
0.2186 |
16° |
0.9613 |
0.689 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
19° |
0.9455 |
0.819 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15° |
0.9659 |
0.647 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60° |
1 |
0.5 |
2.165 |
0.8722 |
0.55355 |
12° |
0.978 |
0.52 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
14° |
0.9703 |
0.605 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13° |
0.9744 |
0.562 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2
m1, г |
m2, г |
L, см |
|
|
|
45±1 |
131±1 |
23.9±0.1 |
|
|
|
Обработка результатов:
Получим формулы погрешностей, подставив значения в формулы из таблицы:
θx=sinα0 θ α =sinα0 2.5
θy=(m m1m )2 θ ¿=( m m1m )2 sinα0 2.5
1 + 2 1+ 2
Найдем |
x=¯x±Δ ¯x для N=3 и P=95%: |
||||
Для ɑ0=20°: |
|
||||
¯x= |
Σ xi |
= |
0.9613+0.9455+0.9659 |
=0.95756 |
|
N |
3 |
||||
|
|
|
|||
Найдем среднеквадратичное отклонение:
|
√ |
Σ(x |
−x)2 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S¯x= |
|
i |
¯ |
= |
|
0.000228981 |
≈0.006178 |
|
N (N −1) |
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
||
При P=0.95 и числе наблюдений N=3:
x=tp ,N Sx=4.3 0.006178=0.02657
θ x=0.05 |
|
|
|
|
|
||||
x=√ |
|
|
=√ |
|
≈0.05662 |
||||
|
x2+θ x2 |
0.026572 +0.052 |
|||||||
Получим: |
|
|
|||||||
x=0.96±0.06 |
|
|
|||||||
Найдем |
¯ ¯ для N=3 и P=95%: |
||||||||
|
|
|
|
x=x±Δ x |
|
|
|||
Для ɑ0=60°: |
|
|
|||||||
¯x= |
Σ xi |
= |
0.978+0.9703+0.9744 |
=0.97423 |
|||||
N |
3 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
Найдем среднеквадратичное отклонение:
|
|
√ |
Σ(x |
−x)2 |
|
√ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
¯x= |
|
|
i |
¯ |
|
= |
|
|
0.0000296807 ≈0.002224 |
||
|
N (N −1) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||
|
x=tp ,N Sx=4.3 0.002224=0.0095632 |
|||||||||||
θ x=0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x=√ |
|
=√ |
|
≈0.0509 |
|||||||
|
x2+θ x2 |
0.00956322+0.052 |
||||||||||
Получим:
x=0.97±0.05
Построим зависимость y=y(x0) на плоскости XOY, нанеся на неё экспериментальные точки ¯x :
Проверим выполнение условия x¯i y :
Для ɑ0=20°:
x0=0.93969
y=0.996
¯x=0.05 x0≈ y
При угле ɑ0=20 y попадает в доверительный интервал x0
Для ɑ0=60°:
x0=0.5
y=0.8722
Т.е. y не попадает в доверительный интервал x0. Это вызвано большим отклонением от точки равновесия и малой массой шаров, из-за чего большая часть импульса уходит на потери во внешнюю среду.
Рассчитаем для максимального угла ɑ0=60° скорость v слипшихся шаров:
m1 g x'= |
(m1 +m2) v2 |
= > m1 g cos α= |
(m1 +m2) v2 |
=> |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
v =√ |
2 m1 g cosα |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|||
=√ |
2 45 9.8 0.97423 |
≈2.21[ |
] |
|
||||||||
m1 +m2 |
|
45+131 |
с |
|
||||||||
Рассчитаем скорость малого шара v1 перед столкновением с большим шаром:
По закону сохранения импульса:
(m1+m2 )v=m1 v1 => |
(m1+m2 )v |
= |
(131+45) 2.21 |
≈8.64[ |
м |
] |
|
45 |
с |
||||
|
m1 |
|
|
|||
Вывод: в ходе выполнения данной лабораторной работы мы экспериментально проверили закон сохранения импульса и энергии при абсолютно неупругом столкновении шаров, нашли начальную скорость движения шара малой массы (8.64 м/с) и скорость слипшися шаров (2.21 м/с)
Вопросы на защиту:
1) Понятие момента инерции и центра масс.
Физическая величина , равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси z, называется моментом инерции системы материальных точек относительно оси z. Отдельно взятое слагаемое m2iR2i представляет собой момент инерции i-й материальной точки относительно оси z. Момент инерции - величина аддитивная, т.е. момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.
Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.
Положение центра масс системы материальных точек определяется следующим образом:
r¯c= Σ mi ri
Σmi
2) ЗСЭ и ЗСИ. ЗСМИ подробно.
Закон сохранения импульса:
Записывается в виде:
dtd p=Σ Fi
Производная по времени от вектора импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы. В случае замкнутой системы правая часть уравнения становится равной нулю => p не зависит от времени. Это утверждение называется законом сохранения импульса и формулируется так:
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Закон сохранения энергии:
Закон сохранения механической энергии может быть выведен из из второго закона Ньютона, если учесть, что в консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде
, где U (r ) - потенциальная энергия точки. Тогда по второму закону Ньютона уравнение примет вид:
m |
d v |
=− U (r ) |
= > |
m v |
d v |
=− U (r ) |
d r |
= > |
d |
[ |
mv2 |
+U (r )]=0 |
dt |
dt |
dt |
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Это уравнение носит название закона сохранения энергии. Формулируется так: Механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.
Закон сохранения момента импульса:
Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы, действующие на точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку, обозначим символом M'i , результирующий момент внешних сил, действующих на эту же точку -
символом Mi. Тогда уравнение момента импульса ( |
dl |
=[rf ]=M |
) для i-й |
|||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
материальной точки будет иметь вид: |
|
|
|
|||||
|
d |
l |
=M |
'+M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt i |
i |
|
i |
|
|
|
|
Это выражение представляет собой совокупность N уравнений, отличающихся друг от друга значениями индекса i. Сложив эти уравнения, получим:
dtd Σli=Σ Mi '+Σ Mi
Величина l=Σli=Σ[ri , pi ] называется моментом импульса системы материальных точек.
Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил символом M, можно записать, что
dldt =Σ Mi=M
Для замкнутой системы материальных точек M=0, вследствие чего суммарный момент импульса l не зависит от времени. Таким образом, мы пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
3) Задача 22 IDZ 3:
Диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой 0,5 м. Найдите его скорость в конце наклонной плоскости.
По закону сохранения энергии:
E1=E2
E1=mgh |
|
|
|
|
|
|
|
|
E2= |
I ω2 |
mv2 |
, где |
I= |
mR2 |
ω = |
v |
|
|
+ |
|
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
R |
|||||
Получим:
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mR |
|
v |
mv |
=> |
mgh= |
4 m v2 |
= > |
v = 4 g h= |
4 |
|
|
м |
|
||||||
mgh=( |
|
)( |
) /2+ |
|
9.8 0.5=2.556[ |
] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
R |
2 |
|
|
|
3 |
|
√3 |
√3 |
|
|
с |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: 2.556 [м/с]