Коллоквиум по дифференциальным уравнениям.
ДУ -го порядка
1. Понятие решения дифференциального уравнения ′ = ( , ). Задача Коши. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши, их геометрический смысл.
*2. Понятия общего, частного и особого решений дифференциального уравнения′ = ( , ). Примеры. Простейшее дифференциальное уравнение, его общее решение.
3. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных уравнений и уравнений, приводящихся к однородным. Примеры.
*4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Методы вариаций и Бернулли. Дифференциальные уравнения Бернулли. Примеры.
5. Уравнения в полных дифференциалах. Общий интеграл. Интегрирующий множитель. Примеры.
6. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения вида: ( , ′) = 0. Примеры.
7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения вида: ( , ′) = 0. Примеры.
ДУ -го порядка
1. Понятие решения дифференциального уравнения -го порядка. Задача Коши. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Понятия общего и частного решений.
2. Дифференциальные уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка. Примеры.
*3. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. Линейный дифференциальный оператор. ЛОДУ -го порядка. Свойства решений ЛОДУ.
4. Линейная зависимость и независимость функций. Примеры. Определитель Вронского. Критерий линейной зависимости и независимости решений ЛОДУ -го порядка. ФСР и структура общего решения ЛОДУ -го порядка.
*5. ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение. Примеры. Уравнение Эйлера.
6. ЛНДУ -го порядка. Структура общего решения. Метод вариаций произвольных постоянных. Пример.
7. ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами и с правыми частями специального вида. Нахождение частного решения методом неопределенных коэффициентов. Примеры.
*) С доказательством утверждений.