Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Поверхностные интегралы - задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

217.24 Кб

Скачать

☆

Поверхностные интегралы

	I. Касательные и нормали к кривым и поверхностям
					Составить уравнения касательной прямой кас и нормальной плоскости
	к кривой в точке 0, соответствующей значению параметра 0 (№ 3.1 ÷ 3.6):
																														=			1	4
							=																							=		4		4
	3.1.			: { = 2,													= 2							3.2.		:				=			1	3,					= 1
	3.1.			: { = 2,													= 2							3.2.		:				=				3,					= 1
							= 3								0																	3				0
																																3
																											{			=			1		2
									=																					=		2
																																2
																															= 2
				: { = − ,																											= 2
	3.3.																	= 2						3.4.		: {															,		=
	3.3.																	= 2						3.4.		: {															,		=
							=				1			2		0												= ∙														0			4
											1																				=														4
											2																				=
											2
						= 2 + 2																				2 + 2 + 2 = 25
	3.5.					= 2 + 2																		3.6. : {		2 + 2 + 2 = 25														, 0(2; 2√3; 3)
	3.5.			: {					=								, 0(1; 1; 2)							3.6. : {				+ = 5												, 0(2; 2√3; 3)
									=																			+ = 5
	Найти косинус угла между касательными к кривой в точках, соответствующих
значениям параметров 1 и 2 (№ 3.7 ÷ 3.8):
								=				1		4
								=			4			4													=
											4																=
	3.7.			:				=					1	3,				= 1,				= 2		3.8.	: { = 2,										=		1	,		= 1
	3.7.			:				=						3,				= 1,				= 2		3.8.	: { = 2,										=			,		= 1
											3						1				2						= 3							1		3				2
											3																									3
					{			=				1			2
								=			2
											2
	Составить уравнения касательной плоскости и нормали нор																																						к поверхности
в точке 0					(№ 3.9 ÷ 3.16):
3.9.	:	= 2 + 2,												(1; −2; 5)										3.10.	:		=		1		2	− 2,					(2; −1; 1)
3.9.	:	= 2 + 2,												(1; −2; 5)										3.10.	:		=				2	− 2,					(2; −1; 1)
															0													2											0
																												2
3.11.	:		3 − 3 = 1,													(0; 1; −1)								3.12.	:		22 − 2							+ 4 = 8, (2; 4; 4)
																	0																									0
3.13.	:		2		+ 2				− 2 = 10, (2; 2; −1)															3.14.	:		42 − 2							+ 2 = 16,							(1; −2; 4)
																		0																								0
			2			2				2
3.15.	:		2		+	2			−	2				= 0,			(4; 3; 4)							3.16.	:		2	+ 2 + 2 = 2,															(		;		√3		; )
3.15.	:	16			+				−					= 0,			(4; 3; 4)							3.16.	:		2	+ 2 + 2 = 2,															(		;				; )
		16				9			8									0																								0	2			2
	Определить, под каким углом кривая пересекает поверхность (№ 3.17 ÷ 3.20):
							=																				=
							=														2		2				= 2
	3.17.				:	{	=									,	: =				2	+	2				= 2					, > 0,							: = √
	3.17.				:	{										,	: =					+		3.18. : {								, > 0,							: = √
									=																		= 3
							=																			= ∙									: = 2							− 2,
	3.19. : { = ,																: =							3.20. : { = ∙ ,											: = 2							− 2,						0 = 0
									=																		=
	Составить уравнения касательной кас и нормали нор																																к плоской кривой
в точке 0, соответствующей значению параметра 0 (№ 3.21 ÷ 3.26):
	3.21.				:		= 3,										0(0; 0)							3.22.			:	= ,								0 = ∩
	3.23.				:		5 + 5 = 2,												(1; 1)					3.24.			:	2 + 2 = 2, ( ,																		)
																			0																						0	0		0
								= ∙																						= ( − )
	3.25.				:	{ = ∙												, 0	=					3.26.			:	{ = (1 − ),														0 =
	3.25.				:	{ = ∙												, 0	=	2				3.26.			:	{ = (1 − ),														0 =			2

II. Площадь поверхности

Найти площадь поверхности, заданной уравнением (№ 3.27 ÷ 3.36):

3.27. 2 − 6 + 3 − 6 = 0, заключенной между координатными плоскостями. 3.28. + + = 1, заключенной между координатными плоскостями.

3.29.

= , заключенной внутри тела: {

2 + 2 = 1

≥ 0, ≥ 0

3.30.

= , заключенной внутри тела:

{

2 + 2 = 9

≥ 0

3.31.

= 2

+ 2, ограниченной плоскостью = 1.

3.32.

= √ 2 + 2,

ограниченной плоскостью =

, заключенной внутри цилиндра 2 + 2

3.33.

= √ 2

+ 2

= 4 .

+ 2 ≤ 2

3.34.

= √ 2

+ 2

, заключенной внутри тела 2

+ 2 = 9.

3.35.

= √25 − 2 − 2

, заключенной внутри цилиндра 2

2 + 2 =

3.36.

, заключенной внутри тела: {

4 .

≥ 0

III. Поверхностные интегралы 1 рода

Вычислить поверхностный интеграл 1 рода по указанной поверхности

(№ 3.37 ÷ 3.46):

+ + = 1

+ + = 2, ≥

3.37.

: { ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

3.38.

, :

{ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

3.39.

( + ) , : {

2 + 2+ 2 = 2

3.40.

2 + 2+ 2 = 1

( + ) , : {

≥ 0

≥ 0, ≥ 0

3.41.

( + + ) ,

: {

2 + 2+ 2 = 1

≥ 0

3.42.

( + + ) ,

: {

2 + 2+ 2 = 1

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

3.43.

( 2

+ 2) ,

: 2 + 2+ 2 = 2

( 2

+ 2) ,

3.44.

– граница тела:

√ 2 + 2

≤ ≤ 1

+ + = 1

3.45.

: { ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

( + + 1)2

+ + ≤ 1

3.46.

- граница тела: { ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

( + + 1)2

Приложения в механике

3.47. Найти массу поверхности куба :

0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1, если известна

поверхностная плотность = .

3.48. Найти массу параболической оболочки :

2 = 2 + 2, 0 ≤ ≤ 1, если известна

поверхностная плотность = .

3.49. Найти массу полусферы :

+ 2+ 2

= 2, ≥ 0, если поверхностная плотность

равна =

3.50. Найти статические моменты ,

однородной треугольной пластины

: + + = , ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

( > 0) относительно координатных плоскостей.

3.51. Определить координаты центра тяжести ( 0, 0, 0) однородной параболической оболочки : = 2 + 2, 0 ≤ ≤ 1.

3.52. Определить координаты центра тяжести (0, 0, 0) части однородной поверхности: = √2 + 2, вырезанной поверхностью 2 + 2 = 2.

3.53. Найти момент инерции части однородной боковой поверхности конуса

: = √2 + 2, 0 ≤ ≤ 2 относительно оси .

3.54. Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки

: 2 + 2+ 2 = 2, ≥ 0 относительно оси .

3.55. Найти моменты инерции , , однородной треугольной пластинки: + + = 1, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0 относительно координатных плоскостей.

3.56. Найти момент инерции 0 относительно начала координат однородной полной поверхности цилиндра : 2 + 2 ≤ 4, 0 ≤ ≤ 3.

IV. Поверхностные интегралы 2 рода

Вычислить поверхностные интегралы 2 рода по указанным поверхностям (а, б, в, г):

+ + =

а) по поверхности : { ≥ , ≥ , ≥ в направлении вектора ,

образующего острые углы с осями координат (№ 3.57 ÷ 3.60):

3.57. 7 + 8 + 9

3.58.

602

3.59.

802

3.60.

б)

по поверхностям в направлении вектора ,

образующего острый угол с осью (№ 3.61 ÷ 3.63):

3.61. : {

2 + 2 + 2

= 2

3.62.

: {

2 + 2

+ 2 = 2

3.63. : {

+ 2 + 2 = 2

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

≤ 0, ≤ 0, ≤ 0

≥ 0

в)

( − ) + ( − ) + ( − ) по поверхностям

в направлении вектора , образующего тупой угол с осью (№ 3.64 ÷ 3.66):

3.64. : {

= √2

+ 2

3.65.

: {

= √2 + 2

3.66. : {

= √2 + 2

≥ 0, ≥ 0, ≤ 1

≥ 0, ≤ 1

г) по внешней стороне замкнутых поверхностей (№ 3.67 ÷ 3.72):

3.67.

, :

2 + 2

+ 2 = 1

3.68.

, :

= 1

3.69.

+ + , : 2 + 2

+ 2 = 2

3.70. + + ,

- граница тела:

{

+ 2

+ 2 = 1

≥ 0

3.71.

- граница тела:

+ 2 + 2 = 1

{

≥ 0

3.72.

+ 2 + 2 ,

- граница тела: { 2

+ 2 + 2 = 2

≤ 0

Ответы

3.1. кас:

− 2

− 4

− 8

: + 4 + 12 − 114 = 0

3.2. кас:

−

= −

, : 12 + 12 + 12 − 13 = 0

3.3. кас:

− 2

+ 2

− 2

: − + 2 − 8 = 0

−1

−

3.4. кас:

−

= − √2,

√2 − = 0

3.5. кас:

= =

+ 2

: + + 4 − 10 = 0

3.6. кас:

− 2 = 2√3( − 2√3) = 3 − ,

2√3 + − 2√3 = 0

3.7. √7

3.8.

3.9.

: 2 − 4 − − 5 = 0,

нор:

− 1

+ 2

− 5

−1

−4

3.10. :

2 + 2 − − 1 = 0,

нор:

− 2

+ 1

− 1

−1

3.11. :

+ + 1 = 0,

нор:

− 1

= + 1

3.12. :

2 − 2 + = 0, нор:

− 2

− 4

−2

3.13. :

2 + 2 − − 9 = 0,

нор:

− 2

+ 1

−1

3.14. :

2 + + 2 − 8 = 0,

нор:

− 1

+ 2

− 4

3.15. :

3 + 4 − 6 = 0,

нор:

− 4

− 3

− 4

−6

3.16. :

+ √3 − 2 = 0,

нор:

−

= −

√3


3.17. (										√		10	)			3.18. (																√21			) 3.19. 0									3.20.								3.21. кас:								= 3 , нор:										= −			1
3.17. (													)			3.18. (																			) 3.19. 0									3.20.						4		3.21. кас:								= 3 , нор:										= −
											10																						14																	4																						3
3.22. кас:									= − 1,												нор:					= − + 1															3.23. кас: + − 2 = 0,																				нор: − = 0
3.24.			кас					:	∙			+ ∙								= 2,								нор					: ∙					− ∙						= 0
			кас						0								0											нор							0							0
3.25. кас: 2 + −																		2			= 0, нор: − 2 + = 0
3.25. кас: 2 + −																	2				= 0, нор: − 2 + = 0
																	2
3.26. кас:									− + (2 −															) = 0,										нор:				+ −									= 0
3.26. кас:									− + (2 −														2	) = 0,										нор:				+ −									= 0
																							2																					2
															1																																																						− 1)
3.27.	3,5								3.28.						1	√		2 2 + 2 2 + 2 2																						3.29.							(2√2 − 1)										3.30.					(10√10
3.27.	3,5								3.28.					2		√		2 2 + 2 2 + 2 2																						3.29.						6	(2√2 − 1)										3.30.				3	(10√10
														2																																6															3
																														∙ 2
3.31.						(5√5 − 1)												3.32. √2																	3.33. 4 √2											3.34. √2									3.35.					10			3.36. 2(2 − √3)
3.31.	6					(5√5 − 1)												3.32. √2																	3.33. 4 √2											3.34. √2									3.35.					10			3.36. 2(2 − √3)
	6

3.37.		√			3				3.38.					2√		3					3.39.										3				3.40.								3.41.										3.42.				3			3.43.				8				4
3.37.	6								3.38.					3							3.39.														3.40.				2				3.41.										3.42.				4			3.43.			3
	6													3																									2																		4						3

																																				1	)								3 − √			3																			3
3.44.						(1 + √2)										3.45.							√3 ( 2 −													1			3.46.						3 − √			3		+ (√3 − 1) 2											3.47.						3
3.44.	2					(1 + √2)										3.45.							√3 ( 2 −												2				3.46.							2				+ (√3 − 1) 2											3.47.				4
	2																																		2											2																			4

		2																									2															=							=					=			√3			3
3.48.		2					(6√3 + 1)										3.49.										2						3.50.																								√3			3
3.48.							(6√3 + 1)										3.49.																3.50.
	15																																																								6
	15																																																								6

																							25√5 + 1																																			32
3.51.							=				= 0,								=				25√5 + 1												3.52.							= 1,									= 0,					=		32			3.53. 8 √2


			0						0							0						10(5√5 − 1)																	0								0							0				9
																						10(5√5 − 1)																																				9

3.54.		4		4							3.55.										=							=								=		√3				3.56.				136							3.57. 1							3.58.			1		3.59.						2
3.54.				4							3.55.										=							=								=						3.56.				136							3.57. 1							3.58.					3.59.						2
	3																																					12																									6							9
	3																																					12																									6							9
3.60.		1							3.61.				3							3.62.					−				3								3.63. 6									3.64. 0								3.65.					4		3.66. −					4				3.67.		4
3.60.	10								3.61.											3.62.					−			2									3.63. 6									3.64. 0								3.65.					3		3.66. −				3					3.67.		3
	10													2														2																															3						3							3
3.68.	4										3.69.					4 3								3.70. 2											3.71.									3.72.							−		4
3.68.	3										3.69.					4 3								3.70. 2											3.71.						2			3.72.							−		4
	3																																								2									2

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб10Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб7Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб8Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб8Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб7Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб8Поверхностные интегралы - теория.pdf