ИЭ / 4 семестр / 3 лаба / Метода 3

ЦЕЛЬ И ПРАКТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ Цель работы

Данная лабораторная работа направлена на изучение методики расчета параметров схем активных фильтров (Саллена и Кея), режимов их работы путём моделирования с помощью программного пакета Simulink и закрепления теоретического материала по разделу «Активные фильтры».

Краткое содержание

Внастоящих указаниях приводятся описание активных фильтров (Саллена

иКея), принципов их работы и методики расчета параметров схем.

ЗАДАНИЕ 1. Исследовать активный фильтр нижних частот второго порядка

Рассчитать параметры элементов фильтра Саллена и Кея по прилагаемой ниже методике.

Построить схему активного фильтра нижних частот, установив расчётные параметры элементов.

Построить АЧХ смоделированного фильтра.

Из полученных результатов определить:

коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания (сравнить с расчётным);

частоту среза;

крутизну ската АЧХ.

Оценить чувствительность фильтра к погрешностям параметров каждого элемента фильтра.

ЗАДАНИЕ 2. Исследовать активный фильтр верхних частот второго порядка

Аналогично заданию 1

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Фильтры

Фильтры предназначены для изменения спектрального состава сигнала. Их называют также селективными (избирательными) устройствами.

Области применения фильтров:

уменьшение помех и шумов в аналоговых сигналах путем ограничения их спектров сверху и снизу, или вырезания узких полос,

2

ограничение спектров полезных сигналов с допустимой потерей информации для уменьшения объемов файлов при последующем преобразовании в цифровую форму,

уплотнение каналов передачи информации в радиосвязи,

обработка сигналов в аппаратуре записи и воспроизведения звука для улучшения верности воспроизведения.

Классификация фильтров

1. По использованию в структуре фильтра усилительных устройств и способу формирования частотной характеристики:

пассивные

активные

Сигнал на выходе пассивного фильтра можно усилить. Однако, в активных фильтрах используют не столько усиление, сколько свойства схем с обратными связями. Для этого частотно-зависимые цепи включаются как в цепь прямой передачи сигнала, так и в цепь обратной связи.

2. По виду частотной характеристики (см. рис.1): а) фильтр пропускания нижних частот (ФНЧ), б) фильтр пропускания верхних частот (ФВЧ), в) полосовой фильтр, г) режекторный (заграждающий) фильтр.

На рис.1. показаны амплитудно-частотные характеристики фильтров. Сплошными линиями показаны идеализированные характеристики, пунктирными – реальные.

Рис.1. Амплитудно-частотные характеристики фильтров.

3

Преимущества активных фильтров (в сравнении с пассивными)

из схемы исключаются индуктивности (катушки индуктивности имеют большие габариты и низкую температурную стабильность)

возможно получить большой коэффициент передачи в полосе пропускания

возможно минимизировать коэффициент передачи с выхода на вход фильтра (необходимо для обеспечения устойчивости системы, в которой установлен фильтр)

относительно простая настройка фильтра

для очень низких частот среза фильтры могут быть построены на сопротивлениях и ёмкостях, имеющих умеренные величины

имеют малые размеры и массу (могут иметь микроэлектронное исполнение)

Недостатки активных фильтров (в сравнении с пассивными)

требуют источник питания

имеют ограничение на амплитуды сигналов (из-за возможности насыщения усилителей)

верхняя граница рабочих частот фильтра ограничена частотными свойствами усилителя

требуется обеспечить устойчивость схемы

не могут использоваться в цепях питания

ФНЧ второго порядка

Существуют различные схемные реализации активных фильтров, например, в работе будем рассматривать схемы активных фильтров Саллена и Кея (см. рис.2,3).

Рис.2. Схема ФНЧ второго порядка

Т.к. в схему включены две частото-зависимые цепи:

1)в цепь обратной связи включены C1 R2

2)в цепь прямой передачи сигнала включены R1 R2 C2.

4

такая схема называется фильтром второго порядка.

Каждая из RC-цепей вносит в АЧХ на переходном участке наклон в –20 дБ/дек (–6 дБ/октава). В итоге ФНЧ имеет общую крутизну ската АЧХ величиной– 40 дБ/дек.

ФВЧ второго порядка

Рис.4. Схема ФВЧ второго порядка

Всхему включены две частото-зависимые цепи:

1)в цепь обратной связи включены R1 C2

2)в цепь прямой передачи сигнала включены R2 C1 С2.

Эти схемы популярны и имеют малую стоимость, и их легко настраивать. Сопротивления RА и RВ составляют делитель выходного напряжения для цепи обратной связи. Глубину обратной связи и частотные характеристики

фильтра (в том числе и в схемах фильтров Саллена и Кея) определяет аппроксимирующий полином. Аппроксимирующие полиномы (Баттерворта, Бесселя, Чебышева) отвечают за крутизну ската АЧХ, неравномерность в полосе пропускания фильтра. Параметром, который позволяет построить фильтр с нужной характеристикой, является коэффициент α, с помощью которого производится расчёт значений сопротивлений RА и RВ. Однако эти значения не влияют на коэффициент передачи фильтра (как показано в расчетах ниже).

В ФНЧ все RC-цепи– интегрирующие, а в ФВЧ – дифференцирующие. Если R1=R2 и C1=C2 параметры таких фильтров легко рассчитать.

Методика расчета параметров элементов схемы

1) В ФНЧ с равными элементами (R1=R2 иC1=C2) расчет начинают с выбора типа фильтра: ФНЧ или ФВЧ.

5

2) Затем необходимо определить желаемый вид аппроксимирующего полинома для частотной характеристики и граничную частоту, при которой начинается (для ФНЧ) или заканчивается (для ФВЧ) полоса пропускания фильтра –частота среза fСР. В некоторых фильтрах эта частота не совпадает с частотой, при которой уровень выходного сигнала изменяется на –3дБ. Но в этом

случаеfСР определяется из отношенияαε = 3дБ .

СР

3)Значения R1=R2=R и C1=C2=C рассчитываются из соотношения СР = 2 1 . Возможно, этот шаг придётся повторить несколько раз, чтобы найти разумное

значение для R (в интервале не меньше1 кОм и не больше 50 кОм).

4)

Зададим значения RА(в интервале не меньше1 кОм и не больше 10 кОм), которое, например, удобно выбрать из условия равенства всех сопротивлений RА=R1=R2=R и рассчитаем значение RВ из соотношения:

RВ = (2 – α) ∙ RА.

Параметры разных типов фильтров приведены в табл. ниже.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запустить программу

ЗАДАНИЕ 1. Исследовать активный ФНЧ второго порядка

2.Выбрать вид аппроксимирующего полинома для частотной характеристики

изадать частоту среза fСР(ок.1÷2 кГц), включить в отчет.

3.Рассчитать значения R и C (расчеты включить в отчет).

4.Задать значение RА, и рассчитать значение RВ (расчеты включить в отчет). 5.Рассчитать коэффициент передачи (расчеты включить в отчет).

6. Смоделировать в программе схему ФНЧ (скриншот включить в отчет).

6

7.Исследовать поведение фильтра – внутри и вне полосы пропускания.

8.Для оценки чувствительности фильтра к погрешности параметров компонентов схемы необходимо провести FFT-анализ с шумом и без него, результаты включить в отчет.

ЗАДАНИЕ 2. Исследовать активный ФВЧ второго порядка

Повторить шаги 2÷8.

ОТЧЕТ О РАБОТЕ

В отчет следует включить результаты выполненных заданий

1.скриншот собранной схемы

2.построенные для каждого задания временные диаграммы и АЧХ с нужными отметками

3.значения измеренных/рассчитанных параметров

4.выводы

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Что исследовалось в ЛР№3?

2.Что такое фильтры?

3.Назовите области применения фильтров.

4.Перечислите основные виды фильтров при классификации по использованию в структуре фильтра усилительных устройств и способу формирования частотной характеристики.

5.Назовите преимущества активных фильтров в сравнении с пассивными

6.Назовите недостатки активных фильтров в сравнении с пассивными

7.Перечислите основные виды фильтров при классификации по виду частотной характеристики.

8.Перечислите основные параметры ФНЧ и ФВЧ.

9.Как определить порядок фильтра по его принципиальной схеме?

10.Какова крутизна ската АЧХ фильтра и как её определить?

11.Что такое аппроксимирующий полином для частотной характеристики фильтра? Какой параметр определяет вид полинома?

12.Как рассчитывается коэффициент передачи фильтра второго порядка?

13.Как рассчитываются граничные частоты полосы пропускания для ФНЧ и ФВЧ?

14.Как влияют погрешности параметров компонентов схемы на полосу пропускания фильтра?

7

Дополнение

Аппроксимацией в математике называют представление сложной зависимости некоторой известной функцией. Обычно эта функция достаточно проста. В случае разработки фильтра важно, чтобы аппроксимирующая функция легко могла быть реализована схемотехнически. Для этого функции реализуются при помощи нулей и полюсов коэффициента передачи четырехполюсника, в данном случае фильтра. Они легко реализуются при помощи LC-контуров или активных RC-схем с обратными связями.

Наиболее распространенным видом аппроксимации АЧХ фильтра является аппроксимация по Баттерворту. Подобные фильтры получили название фильтры Баттерворта.

Фильтры Баттерворта

Отличительной особенностью амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта является отсутствие минимумов и максимумов в полосе пропускания и задерживания. Спад АЧХ на границе полосы пропускания этих фильтров равен 3 дБ. Если от фильтра требуется меньшее значение неравномерности в полосе пропускания, то верняя частота фильтра fв выбирается выше заданной верхней частоты полосы пропускания. Функция аппроксимации АЧХ для ФНЧ-прототипа фильтра Баттерворта выглядит следующим образом:

При этом реальную амплитудно-частотную характеристику разрабатываемого фильтра можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза фильтра. Для фильтра Баттерворта нижних частот функция аппроксимации АЧХ будет выглядеть следующим образом:

(2).

Сейчас обратим внимание, что при расчете фильтров широко используется понятие комплексной s-плоскости, на которой по оси ординат отложена круговая частота jω, а по оси абсцисс — величина, обратная добротности. Таким образом можно определить основные параметры LC-контуров, которые входят в состав схемы фильтра: частоту настройки (резонансную частоту) и добротность. Переход в s- плоскость осуществляется при помощи преобразования Лапласа.

Подробный вывод положения полюсов фильтра Баттерворта на комплексной s- плоскости приведен в [2]. Для нас главное, что полюса этого фильтра расположены

8

на единичной окружности на равном расстоянии друг от друга. Количество полюсов определяется порядком фильтра.

На рисунке 2 приведено расположение полюсов для фильтра Баттерворта первого порядка. Рядом показана АЧХ, соответствующая данному расположению полюсов на комплексной s-плоскости.

Рисунок 2. Расположение полюса и АЧХ фильтра Баттерворта первого порядка

На рисунке 2 видно, что для фильтра первого порядка полюс должен быть настроен на нулевую частоту и его добротность должна быть равна единице. На графике АЧХ видно, что частота настройки полюса действительно равна нулю, а добротность полюса такова, что на частоте среза нормированного фильтра Баттерворта, равной единице, его коэффициент передачи равен −3дБ.

Точно таким же образом определяются полюса для фильтра Баттерворта второго порядка. На этот раз частота настройки полюса выбирается на пересечении единичной окружности с прямой, проходящей через центр окружности под углом 45° Пример расположения полюсов на комплексной s-плоскости и АЧХ фильтра Баттерворта второго порядка приведен на рисунке 3.

Рисунок 3. Расположение полюсов и АЧХ фильтра Баттерворта второго порядка

9

В данном случае резонансная частота полюса расположена недалеко от частоты среза нормированного фильтра. Она равна 0,707. Добротность полюса по графику расположения полюсов в корень из двух раз выше добротности полюса фильтра Баттерворта первого порядка, поэтому крутизна спада амплитудно-частотной характеристики получается больше. (Обратите внимание на цифры в правой части графика. При отстройке по частоте, равной 2, подавление равно уже 13 дБ) Левая часть амплитудно-частотной характеристики полюса получается плоской. Это связано с влиянием полюса, расположенного в зоне отрицательных частот.

Расположение полюсов и амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта третьего порядка показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Расположение полюсов фильтра Баттерворта третьего порядка

Как видно из графиков, показанных на рисунках 2...5, при увеличении порядка фильтра Баттерворта увеличивается крутизна спада амплитудно-частотной характеристики и возрастает требующаяся добротность цепи второго порядка (контура), реализующего полюс характеристики передачи фильтра. Именно возрастанием требующейся добротности и ограничивается максимальный порядок фильтра, который удается реализовать. В настоящее время удается реализовать фильтры Баттерворта вплоть до восьмого — десятого порядка.

Фильтры Чебышева

В фильтрах Чебышева аппроксимация амплитудно-частотной характеристики производится следующим образом:

(3),

При этом амплитудно-частотную характеристику реального фильтра Чебышева точно также как и в фильтре Баттерворта можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза разрабатываемого фильтра. Для фильтра Чебышева нижних частот амплитудно-частотную характеристику можно определить следующим образом:

1

(4).

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева низких частот характеризуется более крутым спадом в области частот выше верхней частоты пропускания. Этот выигрыш достигается за счет появления неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Неравномерность функции аппроксимации АЧХ фильтра Чебышева вызывается большей добротностью полюсов.

Подробный вывод положения полюсов аппроксимирующей функции фильтра Чебышева на s-плоскости приведен в [3]. Для нас важно то, что полюса фильтра Чебышева расположены на эллипсе, большая ось которого совпадает с осью нормированных частот. На этой оси эллипс проходит через точку частоты среза фильтра нижних частот.

В нормированном варианте эта точка равна единице. Вторая ось определяется неравномерностью функции аппроксимации АЧХ в полосе пропускания. Чем больше допустимая неравномерность в полосе пропускания, тем меньше эта ось. Происходит как бы "сплющивание" единичной окружности фильтра Баттерворта. Полюса как бы приближаются к оси частот. Это соответствует возрастанию добротности полюсов фильтра. Чем больше неравномерность в полосе пропускания, тем больше добротность полюсов, тем больше скорость возрастания затухания в полосе непропускания фильтра Чебышева. Количество полюсов функции аппроксимации АЧХ определяется порядком фильтра Чебышева.

Следует заметить, что фильтра Чебышева первого порядка не существует. Расположение полюсов и АЧХ фильтра Чебышева второго порядка приведено на рисунке 5. Характеристика фильтра Чебышева интересна тем, что на ней отчетливо видны частоты полюсов. Они соответствуют максимумам АЧХ в полосе пропускания. У фильтра второго порядка частота полюса соответствует ξ=0.707.

Рисунок 5. Расположение полюсов фильтра Чебышева второго порядка

1