8

Магнитное поле постоянных токов Лекция 7

Из полной системы уравнений электромагнитного поля используем уравнения, относящиеся к магнитному полю:

.

Причиной возникновения магнитного поля является электрический ток. Линии индукции магнитного поля непрерывны, замкнуты сами на себя. Ввиду того, что правая часть первого уравнения не равна нулю, магнитное поле не является потенциальным ( ) и называется вихревым полем.

Мы рассматриваем в данном разделе магнитное поле постоянных токов. Токи смещения, плотность которых определяется производной от вектора смещения по времени , не может быть постоянным, так как это потребовало бы безграничного линейного возрастания величины вектора смещения. Плотность тока переноса также невозможно поддерживать постоянной, так как под действием сил электрического поля изменяется и скорость движения и объемная плотность заряда. Таким образом, постоянные токи могут существовать только внутри проводящей среды в виде токов проводимости .

В системе проводников с постоянными электрическими токами магнитное поле является вихревым только внутри этих проводников. Вне проводников плотность токов равна нулю ( ). Это означает, что вне проводников с постоянными токами магнитное поле является безвихревым, т.е. потенциальным

В этом случае, как и в электрическом поле, можно ввести вспомогательную скалярную функцию – скалярный магнитный потенциал U_m. Разность магнитных потенциалов между двумя точками определяется как линейный интеграл от вектора напряженности магнитного поля между этими точками и измеряется в амперах:

U_ma – U_mb =

В дифференциальной форме связь между скалярным магнитным потенциалом и напряженность магнитного поля имеет вид: = – grad U_m ;

; ; ; ;

Уравнение поверхности равного магнитного потенциала определяется из условия, что на ней в любой точке cos  = 0. Это означает, что линии напряженности магнитного поля перпендикулярны поверхности равного магнитного потенциала. Уравнение такой поверхности имеет вид U_m(x,y,z) = const.

Кроме рассмотренного выше ограничения о возможности применения скалярного магнитного потенциала только вне проводников с постоянными токами, существует и другое ограничение. Скалярный магнитный потенциал, в отличие от электрического потенциала, является многозначной функцией. Покажем это на примере расчета разности магнитных потенциалов между точками вблизи проводника с постоянным током (рис. 7–1).

p

a

q

 i

Рисунок 7–1

Рассмотрим совокупность двух путей интегрирования между точками a, b образующих замкнутый контур. Для различных вариантов замкнутых контуров можем записать:

1. ; ; ;

Разность магнитных скалярных потенциалов между точками не зависит от пути интегрирования, если замкнутый контур, образованный этими двумя путями, не охватывает ток.

2. ;

3. ;

Если же контур, образованный двумя различными путями, охватывает электрический ток, то разность магнитных потенциалов для двух различных путей интегрирования отличается на величину тока, охваченного контуром. В общем случае можно записать:

,

где m - любое целое положительное или отрицательное число.

Таким образом, разность скалярных магнитных потенциалов является многозначной функцией и определяется с точностью до некоторого постоянного слагаемого. Многозначность магнитного потенциала не влияет на величину напряженности магнитного поля, которая определяется через производную от скалярного магнитного потенциала: = – grad U_m ;

Однако первое рассмотренное ограничение для магнитного потенциала забывать нельзя – скалярный магнитный потенциал можно использовать лишь в областях без токов, а в областях, где плотность тока не равна нулю, понятие скалярного магнитного потенциала не существует.