455
.pdfна |
[-( ,t] |
|
• ЯКJ\0 |
BO |
'fa зa~'tha lid Інтерза.-1! |
[а, С] |
• |
І\бО у |
|
падках, |
коли |
,..юзвнненн.я |
в рf'д здІйснюєть~я тlльки за |
с;~иуса.мп, |
|||||
тlльки |
за |
косиr.Уеами. |
|
|
|
|
|
ви або
|
|
|
|
РО~Ш•Я~АННЯ |
|
|
І.JO. |
Заай,·:1 |
|
ryмv |
рядv |
|
Звu:аючи на |
т~. ще |
· |
||
|
загальний |
||||
йоl'о |
WOJ&Нa |
подати |
у !;ИГЛРдl с~и |
ТИl.ОШL'\ |
ЗАВДАНЬ |
[- |
_ |
__ _J |
_ _ |
|
'/9п~ 1- ·rп -п. |
||
Ч:~ен |
р.ч,цу є |
рацІона.п•нv.й |
|
прости:< дробlв. |
др16,
'19п |
|
1 |
|
"' |
::,. |
Un+I/) |
• |
'У ( |
__!_!__ |
+ |
А;: |
) |
||
2 |
+?п-Іt!. |
|
(ln-3) |
- |
.,. |
7п-3 |
-1п --Іі |
• |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗгІ,цно |
вІ.цоwих |
лравил |
з11rµодимо |
д, |
=і |
І |
Az. |
=-і |
|
|
Тодl - |
|
|
|
|
|
ІL[1,~-з |
|
1/.J |
|
||
[ |
-",з"2:1,, |
. |
,г. |
= |
~ |
|
|||||
п •ч |
|
|
|
|
|
|
fl:11 |
S |
|
|
|
За визначеннлм, |
nlд |
сумою |
ря,о._v |
|
розумІють |
||||||
|
|
|
|
|
S |
- |
т |
|
|
|
|
частинно! |
суми |
|
|
L' |
|
1- |
_ |
|
|||
|
|
|
|
|
т |
- |
",, |
'i9;iZ+1п -Іг., |
• |
||
Розпишемо |
цю суму |
та:< |
|
|
|
|
|
|
границю
т
-і
то
5"'
"[(1 -2-)+(J... |
-..:LJ +;(.L |
__L) |
+ |
|
+ |
|
|||||
= т |
V |
.tf |
tt |
f& |
|
ІS |
lf |
|
''. |
|
|
|
r1~1 |
|
|
n•Z. |
|
п-~ |
|
|
|
1_)+ |
|
|
_1_ |
_ |
_J_)+(-1 |
_ _j__)"*"(_J__ |
|||||||
+( |
|
1"1-1~ |
|
:+т-//. |
|
'im-fO |
|
'іт-/0 |
· ;,,, ·_3 |
||
|
~m-lY |
|
|
|
|
||||||
|
t'lstY\-) |
|
n~11t |
- Z. |
|
|
·":J>lt'f-f |
||||
... |
(-1 |
.- |
_.1__) |
: і |
( ..L - |
- |
' - ) |
; |
|
||
|
~"'-~ |
|
=lm + Ч |
|
lf |
1т-+- 'І |
|
||||
|
n=m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+-
:;~~ч)
=
l
ПодІ
61-!о
до
чІ
вІ
за_
цаі.;І
ро::>
в'
язую'>'~.ся
зад11чІ,
де
загальний
член
мас
ви
г
;
1яд
раr!lонал~.ного
дробу,
в
знаменмику
якого
простl
спІР.множникк.
При
цьuwу |
важ..1иво 3аписати декІлька |
дро:5у) |
І виявити законом!рнІст1> |
перцих членІв
Іх взgЄмного
ряд._v (nІсля
::~нищення, а
розкладання потІм випи
сати
декІл~.ка
член!в
з
кlнця
рядV,.
;цоб
було
ясно,
шо
ж
залишаєт•ся
nІс
л-я
перєтво
r
ення.
2.30.
Дослlдити
збlжнlсть
рядІв:
ІІ
а) |
І |
"" 3 |
|
б) |
- sіп2 п(ri |
в) [-_~n•Z_. |
|
|
гn-5' |
|
|
[_ |
nVtї |
n'-'5'n+f3' |
|
|
FІ•І |
|
|
|
,,~, |
|
n~' |
|
|
|
|
|
|
||
д) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
9 fn9 |
+ |
tO fn/O |
+- ff (f/tf + "" . |
|
а) У ЦІоомувипадку зага.п1оний член ря,цу wаЄ вигляд
Перевlримо, чи виконуєr1ося .необхlдна ознака ~дїж:жхті.
- ·t;
г>І 11! n
"~' J"+2
n+3
о"~~
fim о" |
·" |
n-+3 _j_ |
|
firn fn-1'~. |
2.,. |
||
,.. .... |
|
"-~.о |
|
Границя суми не дор!вНІІЄ ну.ІШ, o'1'11te згlдно необхlдноl ознаки збlжнос• тl. ряд розGІжния.
• |
Маємо ряд . а"" |
5i.n 2 п '{і |
, члени якого у своЄму с1гадl иают1t |
J) |
п tГri |
тригонометричнl функцІІ. Отже зас•rосовусuо ДJІJІ дослlдження збlжнvстl
ц~.ого ряду ознаку порlвияння. Пор:tвнаКмо да.нwя ряд з рядом, загал~.ний
член якого ~" |
1 |
• Це |
ряд ДІр!ХJІе |
- |
1 |
• дпл якого |
|
" -;;v;-" |
~ |
- · |
|||||
|
|
|
|
|
L |
п~ |
|
|
, тому цей ряд збІ.ния. |
".. |
|
|
|||
Оп |
si.n7. nfii |
.!: |
І |
.І |
|
|
|
:: |
..~п |
.r=- |
= 0 11 • |
|
|
||
|
11 |
|
n vn |
|
|
|
Отае, згlдно ознаки пор!вняиия, заданий ряд теж збlжний.
в) Загал1ониЯ член ряд,,v - рацІон8J!JtНИй правил1ониЯ дрlб, тому
firn G4 ,..о |
• Застосовуємо достатню...ознаку порlвняння |
в граничнІй |
||||||
Фoi:aif:" Порlвняємо з |
рядом Дlрlхле |
[_ |
~ . |
• Обчислюсо |
|
|||
|
|
|
• |
11•1 |
f/ |
|
|
|
-li.m |
~ |
= fi.,,, |
(3tt+2) п"-" |
{L·rn |
3п',.., |
=.3:tO |
пп.и |
сІ.."!. |
11~- |
~" |
|
n1 .+~•1"І3 |
"........ |
11 2 |
|
,- |
|
Зваааючи |
на те, що |
ряд ! ~ |
(J." і |
., гаr.uонlчний |
ряд) роз |
бІжний, то, згlдно ознакІі ·nорІвняння І заданиІt ряд розбlжний.
г) Для досл!Дt[tШКЯ збІ~r.ностІ ЦІоого ряд.у найкраще скористатися оз
накою Дала14бера (чоцу?) • Мш:мо
а"= |
" ! Vii |
І |
-- |
||
|
3"+ l |
|
ОбчисJІЮІо |
|
|
о""'
\--to- а"
1?
( |
f + |
г.\./1. |
|
|
3"~ . |
=- |
|
|
--·--. ftm (n+t) |
||
( 3 + |
:,.f3h ІН~ |
|
отж~ ряд розбlжний.
д) Виявляючи закономІрнІсть утворення член!в ряд.v !!. залеJІtностІ
вlд Іх порядкового |
ноизру в рндv, |
можемо |
скласти ряд [_а,,_ |
, де |
|
f |
. |
|
|
.." |
|
Q" ; (rнg) {п (п+g) |
• В даному випадку доц!льно використати |
||||
Інтегральну ознаку КошІ. |
Дослlдимо |
ряд на |
збlжн!ст~ |
|
Одержаний Інтеграл розбlиний, згlдно ознаки Ко111І, тому І заданий ряд
розбlасний.
00
З.ЗО. Дослlдити ряд L
".,
ряд зкакопоче~JІtНий. Утворимо
5"- І/п + 5"
Lr, 2..
,,,, t2n + І)
(-t)"(Уп ~5)
на збlжн!сть. Даний
(2п+ і)~
ряд Із абсоmтних величин даного ря.ц,у:
Цей ряд р~збfиний зг!дно пор!вняння (пор!вняемо його з га~онlйним
рядом |
l |
п |
|
). Заданий ряд абсолютно розб!JІtНИй, але збlжний за |
||||||
ознакою л;Йбнlца, |
тому що |
|
|
|
|
|
||||
!) |
члени |
заданого |
ряду монотонно спадають; |
|
||||||
|
· |
'/n + 5 |
|
. |
'Іп |
|
|
, |
|
|
2) |
ti1>1 -- . |
= -{\t"n |
-- l |
:: І) |
|
тобто загальний член |
||||
|
"_,_ |
(г п+ 1),_ |
"'"" |
'-tn |
|
|
|
|
||
|
наближаєrься до нуля. |
|
|
|
|
|||||
Отже, висновок - ряд |
збlжний _імовно. |
|
|
|||||||
4.30. Обчислити суму ряду |
L |
(-І}~ |
з |
заданою точн!стю |
||||||
~··О,01 |
• |
|
. |
|
"·о |
t+n |
|
|
||
Даний |
ряд збІжний |
І притому абсолютно |
(необх!дно довести!). Oт'ffe, |
його суму можна подати у вигляд!:
|
s= s" • r.: |
, |
~ S" |
|
|
|
де |
- залишок ряд.v. Можна |
записати 5 |
з |
деякою |
точ- |
|
нlстю |
.J.. • Залишок ряд.У буде |
знакопочережний ряд, |
тому, |
зг!дно |
на- |
1:3
слІДІСУ з теорємк ЛеЯбиІца, Іtoro сума R |
не nаревищує /ам1/ |
':'обто модv.11ь йоrо щч:111оrо чnека. За цІєІ умови мокка каб.rІаено зкаятм
кІ11~.кІст• nер;3ю.: ЧJІен!в ряд.у, JІJtИX бУдс .цоста'.і'НІаО д.пА обчисJІения су
ми р.яд.v з зaдti.iiOll, точнІст,1:1. Пред.с·r.а&Ю~Іu а:1моrу, щоб
R. < Wo <. п;"f
3,r.;., |
• Беремо п " '{ |
• Тuд1 |
ЗвІ.цси п < 'І':19 |
5.зо. ~аи.·и облас'І'ь |
збІжн~стІ |
ряд.V |
- |
11 |
п |
|||||
а) |
~ |
/1 'l. (х-3)" |
|
|
|
|||||
|
|
|
6) |
L. (-1) |
( х . l) |
|||||
L |
111'' |
-~ І)L |
і |
|
|
|
n•I |
{,,., |
. s |
|
lt•I |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
||
а} д,п" ц•оrо |
рядУ застосуG.:&u |
оз!іаку ДuІU'6ерв |
||||||||
|
·. |
r а"•• J |
- |
о. І (11•1)t(-:r-3)"' (11 41 |
+1)l.I |
|||||
|
.(н~t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
І = Іх-з/. |
|
|
-- - {с'" |
|
|
|
|
||||
"""'"" |
|
й" |
|
"-+""1[(r1н}''.,.І]:.пl(х-3)" |
|
|||||
ПоставЮІо |
вимоr"/. щоб |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/.r-31<1.. |
|
|
|
|
|
||
Тод1 |
|
-1. |
(. ~ - .; ( |
l |
t |
l |
<r <. |
Ч . |
|
fіроDедемо дослl,w~tенКА збІхкостІ ка кlиця:х інтерв.tЛу. CnoчaтJty доСJІ!дм мо лразиU хІнець nри :.r" 'f , '!'ому що на .itlвotly кІнцІ nри х ~ Z. o.ц~pzinto ~наколочерехниR РRд• дпя якого рл.ц, сма.цений з абсошn'НКХ
ве.1шчиtt членІв, зб!!'t;.Є"ЬСЯ з |
ря.доа.t |
при |
.х • Ч • |
Отже, npi1 |
:t • ~ |
|||||
будеІІІО 118.':'И |
:;>Р.Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І"-., |
(i't''lt~+,у . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ппрlв~~о no~o із з61~ним рядо~ Дlplx.ne |
|
|
|
|||||||
J\OilCІ~vГokl .~;·аrІИЧ!іОІ С8маУ.м r.орІвкяr:ня. Мг.~:ІІІQ |
|
|
|
|||||||
((ni, |
[--~L-·-: .J...j:: |
{і,1 |
- .... !~~---: (('111 ~~-:і t0 |
|
||||||
·•-!>...., |
\n"+І)~ |
rt'· |
•-;~ |
.1•+ |
:!11' •1 "'" r1" |
· |
|
|||
Знв.·~к-.·1.. |
n л~:>'\В<'~ІV |
кJкцІ |
Ік·:·~рвму |
prtд |
С\Х'r>,'\11'1'ЬС.Р.. |
Є !J!riou'' |
кІ1щ.І :-,кз |
|||
КО;"Іv1:ере:ос;.н~І'! ряА -:-е. :.tбlжниР., |
ЛрfЧОL!'·' |
аСісмин~·. |
tіР.;)Є!ІІтІ |
мо11~1110 06- |
||||||
:111ст• ~i:il iu:o~т!: |
І. ~ .І |
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
!: t\ - |
~ |
~:~.. |
) ..., |
)'" |
І t· ' ( ~ |
. |
|||
\·І~~_( |
~::._l/ |
|
~ ~ - -~:_: |
|
|
|
|
: ·l |
|
·'·• ".,
:-11 ,J' .! )
·-·-- ~-----
." l..
tJ |
У•} |
1а~·•І |
fl· |
'1,( |
---1 "' |
'{.( /?7 |
|
"".~ |
а" |
"~.... |
f (.r-гт"" /6п-g)/ |
.:: |
. |
|||
--.-!---- |
:---;--- |
,; |
І |
І. х - L І . |
|
(611-l} |
(.r- 2.) |
|
|
|
Поиз.вимо зимоrу, щоб /x-l.l<L |
, тодІ -І~.х-1<.f u І<х.<5. |
Нроt1едемо д.ос11І.J1;1tеннл збlжностІ на кІнцях Інтервалу. Спочатку в тому
кІн.11, де одержали числе.вий знакопостІйниА ряд, то6rо при |
х ~1 |
||||||
ТодІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)" {-Іі" |
(-t/" |
|
|
|
||
|
а"= (;п - & |
611 - & |
|
|
|
||
І масмо |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
l |
іп~! |
· |
|
|
|
|
|
•-=-· |
|
|
|
|
|
|
Цей ряд розбІжний (пор!вняй з rа{Nонlй;щм). |
|
|
|||||
Нехай тепер |
з:•3 |
• Має~о ряд |
L (-/)"11 |
|
|
||
|
|
|
|
|
"" 6п- о |
|
при Х• f.. |
Ряд, СКJlадений Із абсодЮТКІ1Х |
величин, |
б,-де такий же, як І |
|||||
(тому І |
дос.пlд11ува.шr спочатку |
саме при |
х" L |
) І, отже, |
абсолютно |
збІ.ний. Але вlн умовно збlж.чий, тому що виконуються умови теореми
Лейбнlца:
І) члени ряду монотонно спадають
2){~ 6nf-& "О
Hapemтl одержимо |
f < х ~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б.ЗО. Розвинути функцlю |
в ряд Тейлора: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ) |
и :. ,r;::::::::::::; |
|
|
|
за стmенями х; |
|||||||
|
|
"V1+3:r 2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6) |
|
1 |
|
|
|
|
за с~пенями |
(х+2) ; |
||||
|
|
|
Зх + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
3Х + & |
|
|
|
|
за |
степенями х; |
||||
|
|
(2х-3) (xi+4) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) |
~,.. |
(n (Ч+3:х -xz.) |
|
|
в околІ т. Х'о:?. |
|||||||
|
д) |
tІ = Q zc іо. |
:_~; |
|
|
в ряд |
Маклорена. |
||||||
а) |
|
J |
~ |
.... ..,, |
|
::х 2 |
~ xz ( 1+ 3х• |
)-1. |
, запишемо спо- |
||||
Зважаючи |
на те, |
що |
|
JV----+""-x_z_ |
|
з |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
чат1tу |
розвинення |
функцІІ . (І+ 3х, ,- 'ІJ |
в |
ряд за |
степентm х, ско- |
||||||||
риставmись основним рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1•.х)'"= f+[m(m-ІJ(m-;~·"(m-n+J) |
.х", |
/xlfl' |
||||||||||
ДаJІІ, вважаючи, |
що"", tr\ " - |
} |
|
І замlнюючи |
х |
|
на |
3 х ~ |
|||||
(1... 3х2)-}= 1-t.зхz. +- f |
f;, -f) (зх1z._-ftf ~1:tt-2){3xlf~." = |
ІБ
_ f |
- х |
l |
f. ''" |
- |
f-''I· 7· .·. |
, |
"." " |
І |
|
f (Іft·•/. 1 ..• |
І ~п-_~} ;i-t• |
|
||||||
- |
+ |
-z, :х |
|
---:;:-,- |
х |
|
|
+-L - ---п;~. |
- |
|
||||||||
|
|
|
• |
|
|
J . |
|
|
|
|
|
|
-.ч |
|
|
|
|
|
Оскі.'Іьки основниІt ряд має |
місце |
для |
fx/, L |
|
• т::~ одержане розьи- |
|||||||||||||
нення виконується, Р.кщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ДомноЖІ-шо обидві частини останьої ІJівнос'l·і |
на |
• одержюю |
|||||||||||||||
ряд: |
|
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,rl. |
|
|
1_.1,1п |
|
f. I./. ?-". |
|
(3п-2.) |
|
|
|
|
|
|||||
|
l |
+} |
|
|
tn1z. |
, |
|
|||||||||||
3 .г-----~ |
:: ~ |
|
L " І |
|
|
. |
п. |
' |
х |
|
|
|
||||||
J |
f .J..3X~ |
· |
|
1121 |
|
|
*] |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
||
як~й |
існує |
при |
:r є |
[-{3' |
, |
|
.тому що |
дсмноження |
степеневuгс |
ряду на многочлен не змінює об.~rасті його збіжності.
6/ Запй'~емо задану функцію у вигляді
|
3 х+ І |
|
3 Х +' -ь + 1 :: - 5" + 3 ( х 1-l) :: |
5" |
|
/ - j ;~ |
|||||||
|
_4_"' |
|
1 |
|
|
|
|
І |
_.!.., |
|
1 |
- |
|
Далі |
скористаємося |
співвідношенням |
|
|
|
|
|
||||||
_1__ " |
[ и"':: { +ц +цi!.+ui+." |
ц Е {-1, L) |
(lf-) |
||||||||||
|
І- U |
rta.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставимо |
ц "' ~ ('Х +l) |
:і: |
одержmАо |
розвинення: функц:і:'f в |
рfід Те~- |
||||||||
лора |
за степенями |
(;Х + 2) |
|
z2} |
|
/__ |
(#} |
|
(x+z( |
|
|||
|
|
|
; |
l |
( |
|
|
|
|
||||
|
_-1_::. |
|
|
3 ( ; |
+ |
|
rt :: |
- j_ - |
|
IL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5' |
|
|
|
|
11." |
ІІ.0 |
|
Воно має місце при
13 <;+г)\(_1
в/ Розкладемо раціональниА дріб на С''МV елементарних дробів
|
Зх + & |
А_,_ + |
Alx ~ |
|
(2х-">)(;r2 +Ч) = Jx-3 |
.х1+ч |
|
Звідси |
3х+~ |
= А,(:х2 м) 1-(А,х-1-А)) (гх---3). |
Пuрівнюю'.rи ~оеф±цієнт~ nри однакових пок&зниках степеня х, одержимо
" |
A,"z, А~= -1, А.1 -=0 |
• Тоді |
|
|||
г. |
.r |
:: - ~ __!__ |
х _1_.. |
|||
|
||||||
|
~ =~ |
- xz+4 |
J |
1- fx |
т 1 +(f)l |
|
|
З11..:тсс~<Взвm110до |
;~робів форv.улу |
(*) • одерж;:мо |
1
І - j:r
Тоді
збо |
_... |
l . ) |
|
ln |
|
~ { |
( |
-ІІ |
|
z )l'•'l) |
|
z" І І |
||
J ~ |
. ·,"11 |
|
|
|
~ |
,.", |
|
( -;· |
|
|
|
|||
- [ |
( ) . |
7: |
|
|
+ !.~ |
---;;;; |
- |
|
~· |
|
||||
· |
1t:o |
|
|
" |
• |
|
... =-• |
'1 |
|
|
|
|
|
|
з р'Щіусом :Иіююсті |
z |
|
/перевіртеt/~ |
|
|
|
|
|
||||||
r/ ОскіJtью1 |
|
'І... |
3::r |
.;;" " ('І-;о:J(:х, t} |
, |
підставимо |
;r - z " t |
|||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
(І - t) + f,, ( f +і). |
||
:f (~) " ~{І) а -fn |
(z - t) (3 + f) = (11 6 + f1, |
Викоrжстоnу:очи фtі~rли
.fп (н~}=-Ї_ (-1):':r11
"., |
|
|
знаходимо |
|
|
. ... |
" |
|
9(-і) = (п 6 |
-'j__ |
+ |
|
,," |
г п |
Звіцки одеркуемо
+f(-1)~.-·t"
L
.,. 3" 11
/<~) "° (" (, + Ї_<;;-[(-1)".'-(3Г" - 2-n] (x-z)" tj fi,s = 2·
''.'= |
f |
(· _j__) |
3 |
1 ,_J__ |
|
q |
, + (~)t.· . |
- (х-~у. |
" - :хч9 |
=- 3 |
1 " z! |
то із (-*) витікає·, що |
х - ~ |
|
· |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
І= l- (-І)'"' |
;rl" • |
~ |
. "." |
зz"+• |
1нтеrругщ |
с.цс::-жаний ряд, :знаходимо. |
S |
|
. |
|
3 |
|
~ ij'Щcll : |
~(~) - ~(о)=f |
|
(-І:::.' |
||
о |
- ( )"н |
"'0 |
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
11 = ~(<>) + |
2 |
" •• |
' |
||
__, _ . |
х - |
|
|||
<f |
lІ'ра) j.z"." |
~п< І |
|
'.( 2
jt "Jt ,
/1
де |
ylo)" tІ·'lcfз. (-І)"' - JL. |
U'>'же, |
раді~rс ЗбіJІtНості до~івнює З /перевірте!І. |
|
І? |
"'W'\.··.";.·«· .
·.-·.;s~ ~ ,,.., ,.".~:
7.ЗО. ОбЩ!СJІМТИ |
|
|
|
|
|
|
|
||
в.І |
'tv9o' |
|
з |
'l"O\:li:cтio до 1Q _" ; |
|
|
|
||
б/ |
caJ но· |
|
з точністю до |
ю ' |
|
|
|
||
в/ |
-fп 2. |
З |
TІJЧliiC't';l'J ДО |
І()"~ |
• |
|
|
|
|
а/ При |
зкахuд.'І.енні |
|
кореня Іf'r"огостепєн.я |
і~ ч1~сла |
д >О |
::.ал;.~с~.-~1'Ь |
|||
ц~ число у |
виrлРді |
А : |
а/(• ~: |
так. |
щ·)О |
J l /о•/ <і |
, . |
т":~,і |
|
|
|
|
|
|
|
|
·О{І-1f)~· |
|
|
Д!t.пі застvсоо~r~~ь |
рлд |
|
|
|
|
|
|
|
(t +х)'"-= |
f + J.'X |
|
|
||
!! ЯКfІМУ бер~-ть |
~ '~ |
! |
|
||
Д.'Jя ДllnOГC |
В11ПадКУ |
|
|
||
t ---· |
~1----. |
.::: 3 |
( І ~· |
||
J УО |
" |
V |
S# +9 |
||
|
|
|
- |
І• |
) |
|
|
|
---- |
||
|
|
|
|
.!І •z'-. qt |
·~f ,і.І)( .;_ ·l) ,А) І•..
~!
|
J_ |
-~ }( :р - і І ~ _: f: ~ ,/- • |
|||
_r_} +' |
|||||
|
|
|
|||
<J І |
|
|
|
|
|
|
., . _:;. '/. |
- |
f. j' ;. ' , , |
||
-+ |
5! .,. 9~ |
---··- |
|||
|
|
'І! .,~. 9" |
|
~; • о,о&Н - о,ои;•11. • о,ооп.z~ |
~-1,0&Q09 .... 3,Qя,сн. |
|
|
||||||||||||
Одержана |
|
48.С';'ИІ~:\ |
с.:1.1а |
s" |
з~6езпечу~ |
зздану |
't'ОЧ:Ність, 'l'Ot1y;цо |
|
||||||||
|
|
|
І |
|
|
|
1# |
< І() |
-" |
|
|
|
||||
|
а,- ~ Qv. ~ |
~ qocioг.s ·,7jij |
|
" |
|
|
|
|||||||||
;:,тже. |
І fч/..: а•. <10 .v |
|
у |
ВЇДПОВЇ.ЦНОСТі з |
ОЦЇНКС!О зна::опочсре1t1к·го |
|||||||||||
р.я,с.у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6/ ОСіч-:~сленкя |
мuJІt1a. упрос1·итv., |
1.:ко1щс·rа.11f;~11сь там, iqo |
|
|
||||||||||||
|
|
СО\ НО" = <:.S3. |
( 90° t-го") = - S~h 2Q0 , |
|
U" |
. |
||||||||||
Грв.д:rси |
обоn• яз~ом 1'ро!ба |
заnиса't'и |
в |
радіанах |
:>а формулоо |
|||||||||||
O<J~ fо.9,пи. |
||||||||||||||||
В дано:.:у |
в~«падr.у |
2()0 ~ |
f |
pOJi:a,., |
• |
Да:~і |
підстQD.'if!ЄMCI в |
рн:t дr.11 |
/)('n'X |
|||||||
зна.чення |
.r-. f |
і одер:!ІіЮ.СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SC.11 |
:r ";r - |
|
• |
..r i.- |
+ ." |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З! |
|
S! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
eo1ff()0 =. :){r1lO": - |
( |
Е |
"(JJ |
•(~<;" |
- (Д" + . ")" |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
3~ |
|
|
S'! |
|
|
~! |
|
|
|
~ - {о,!~'ІSі>Є5'Ь • (',(!() |
~08'!.L • 01 0000\'Sl.}'" |
-0,,\flOJ.Ol."' |
о,3ч1;и20. |
18
в/ У щ,n:..у вмг-лдку мOJІUt&. скористува·:rи:с~ po3Y.J'aдeIOiF.M D ряд
{11 (І |
L |
\ |
(-1) |
lt . •·•І |
|
• u): U - !!_ _. |
~ |
- ". |
~-, ~ ". |
||
|
~ |
3 |
|
|
~· |
Збіжкість ,_;ь::~1·11 ря. у д::І"Же П-'Еsільна. Тому к~е скорv.<.:та1'ися іІіІПМм
рtдом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fп |
11~~ |
" |
l ( |
и ... }-! |
" |
~>'.. · ·· } |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Запио~емо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І~ |
= |
п~ І |
|
|
|
|
|
або |
U= |
z".,. t |
• |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1-н |
|
І'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
-:-оді ОД(.)'ІС;<МО |
|
|
'L ( |
-1...- |
|
|
---. |
.,. |
|
|
|
|
|
) |
||||
|
|
tJ f't |
~ |
1· |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
·( |
|
|
|||
|
l11 |
-- |
|
|
\ |
:І.п+ f |
|
|
3(1."п)" |
|
S"(zn" t)> "." |
|
||||||
|
ft |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При |
п~ 1 |
, |
"дер.~имо |
|
|
І |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
||||
fп г. "' г.. ( f " |
І |
|
|
f- |
\ |
|
|
|
|
|
||||||||
3 . ' ~ |
|
|
s-. |
з~· |
"·І |
- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
:; |
2(<.р~;~ |
• 0,012) "<J,<1.:J1.;S) :: |
O,jlfЄl/ <:rO, 3V6. |
|
|||||||||||||
e.:.JO. Об•;11СJ:И'fІ4. ім-:-егр~;1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а/ |
|
|
1 |
к,г |
|
|
|
3 'і'СЧНіСТЮ ДО |
|
io ·!> |
|
|
|
||||
|
J" і |
€- |
d~: |
|
|
|
• |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а/ Скnрнс-:аt·ь.tс\~.я |
стандартниt.: рОЗі!f.ІЩ~~НJІW в рн,ц |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~ |
и" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{.._ |
;;; . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"~ . |
|
|
|
|
|
|
|
Заідки |
зне.х()ду.ью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- j" |
(l |
(-1)" rl"}ar = f |
|
(:Q_" |
(i J...2ndx ~ f |
J.-tl" |
•І) |
. |
||||||||||
1- |
"," |
hr |
|
~о |
11! |
~ |
|
|
~ |
11!{:!.n |
|
о
ОлеrОІІаннR РМ зе.довоJІЬНRЄ уwо3ам ·rеореми ЛеRбніца, тому .ц.~rя М"о
''І· tO З<lЛЮіІІ\~' -
r."' \ .L:.!l':_
тL п! (l11•1J
8'::mt•
ЬІ!І<О~~'rЬСR·~·~Різнj С'J'Ь 1r"'~<
J.9
Заува:!tення. Якщо r:.і:ді:нте:"ра.'ІЬНа -t:vющія ~-•о.щлаr,t1·~·гьс· tJ анакос-:алий
ряд, тu теорt•ма Лейбніц1~ нs може зчсто~ІІJБ.\'ЕJ'ІТ!'сь. Алtо,
якщс одержан~.t\ ряд з6і::tний в ін·:·ерш1лЇ ін·rеr;J\'131.іННЯ, Те'
|
для доснгнеш-:ІІ зманої точност! |
/() .... |
|
всі члени 0Gч11<: |
||||||||
|
тсють |
з |
точніетІU |
to·(nнJ |
Ї .~ідющають |
вс1 /СІ"j<ІО-~""' |
||||||
|
Т!І потім |
охругJІr.юта. результа~· |
до |
:задахоЇ тuчно::ті. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
РНДИ ФУР•t: |
f ('Х) |
|
|
|
|
||
І. Основ~з. теорема розв~0нення функці:':" |
в |
µ;щ Фур'є допускає, |
||||||||||
що зrщз.:·ш функція |
/rx) |
оз~щ~;ена ДJІЯ |
Xf R. |
і |
має |
період 2.'Jf |
|
|||||
?..1".Qo f(x) |
періодична, е.JІе за.цана тіJІьки в |
інтервалі [· 'lt; '!і1 |
, |
|||||||||
то вводя'l'Ь |
нову функціn |
{"1х) слі.ц..vючим |
образом. |
В інтервзлj |
Г-Уt;.ІІJ |
|||||||
вважаємо |
-Лr) =/fx) |
• поrім |
nриІЬІ~"є"о {{-·17) ~ |
1 |
|
, |
і нз |
всі |
||||
-Jl ('/1) |
||||||||||||
діАсні знзченю; |
х поширю-::h'а |
функці'ю |
I''Cc.t:) |
, |
дотр:1муючись |
заксну |
г.еріодичності її.
|
2. |
Нкщо |
функці.я |
fl?.:) |
задана в інтервалі [- l. t 1 |
|
довжиною 2 l , |
||||
то |
nicл.f' пі.~становки |
:r, |
"~!:..і, |
(-'h·~«i |
6.'11) одержуемо |
фующію ./(f.<L) |
|||||
|
|
|
|
|
• |
• Др цієЇ функціf |
|
. |
2Г |
||
в~д |
~ |
в |
інтервалі |
[~Уі, •л] |
можна |
зас·!·осувати |
|||||
основні |
формули Фур•е. з Вf)аХУВЗ.НКЯМ п.І. |
|
|
|
|
||||||
|
З. Якщо |
функція. за.цанг. в |
інтервалі [о, t/] |
, |
то |
ЇЇ |
доловнюю·~·ь |
||||
для |
значень |
х в інтерва.'Іі [-11,0] |
довільно, |
а |
потім |
застосовують |
оснозні формули. Таке до~іJІьне доповнення мо:чtНа Еи1юристати при роз
виненні в |
ряд фующЇЇ {l-x) тільки по син~rсам або тільки по косину |
сам /ди". |
мал.а/ і 6//. |
о |
о |
|
|
а/ |
|
|
|
|
|
6/ |
|
|
4. |
Будь-яки!-! іт•ервал |
[а,С1 |
|
мо:r.на '1еретвсрити |
в [-fi,'fil |
а- |
||||
міноrJ |
~.., :J(. ~~~ tt. 'J/ |
, а |
в |
інтерЕал [о,'111 |
замінею ~/' |
~~;- ff |
||||
При розв:тенні функці':: в рr.д Фу-р•є |
на {a.,Cl |
заміниJ |
змінноЇ |
перехо |
||||||
дять до |
інтер1и..лу[.·1/,'Л], |
або [О,'І/] |
і за<;"·ссоРvють л. І-3. |
|
|
|||||
t>. |
Вва;1(апчи, |
:.!{'J.;.~'.!V ф~rнкцЕ |
f (l-l) , яка |
мзє |
леріод |
2'11~ |
, ве- |
|||
личиІ-Jа |
і;пегра11а |
J f{tt)dЦ |
не |
за.ле1!ш·rь |
від |
j" |
в |
фо~м:•rлах |
,/-..
2И