Лекции / Т2_ДГМ

средний квадрат ошибки системы. Если ввести в рассмотрение систему управления, построенную по принципу систем с обратной связью как показано на рисунке 2.4, где Fη –некоторое случайное возмущающее

воздействие, то ошибка управления может быть представлена как G B H

	fη (t)
u(t)	y(t)
	W(p)
	-1

Рисунок 2.4

Так какFη – случайный процесс, то выходная переменная y(t), а следовательно и ошибка δ(t), будут также случайными процессами. Поэтому ошибку δ(t) характеризуют в статистическом плане. Наиболее простой статистической характеристикой является средний квадрат ошибки, который связан с дисперсией Iδ и мат. ожиданием Jδ следующим соотношением:

KL6B H 8 M I N JN

Таким образом, средний квадрат ошибки учитывает, как случайную составляющую ошибки ( Iδ ), так и систематическую (среднюю - Jδ ).

Действительно несложно показать, что

Iδ МL6δ Jδ8 M МOδ 2δJδ Jδ P МOδ P 2МLδMJδ

Jδ МOδ P Jδ , откуда	М{δ }=Iδ Jδ .
Положительный корень	квадратный из среднего квадрата ошибки

называется средней квадратичной ошибкой. Средняя квадратичная ошибка 16

имеет размерность выходного сигнала системы и поэтому при практических расчётах является более удобной характеристикой, чем средний квадрат ошибки. Критерий минимума средней квадратичной ошибки получил широкое распространение в практике проектирования систем управления электромеханическими объектами благодаря тому, что он прост в математическом отношении и для многих практических задач является удовлетворительной мерой успешности решения поставленной задачи управления:

η QIδ Jδ

Для астатических систем управления постоянная составляющая

ошибки управления равна нулю Jδ 0 . В этом случае

критерий минимума средней квадратичной ошибки получит вид:

η bIδ

Практика проектирования электромеханических систем управления показывает, что стремление минимизировать значение функционала η часто приводит к решению, которое не обеспечивает системе требуемого запаса устойчивости. Чтобы ограничить колебательность систем в этом случае, при решении задач на параметрическую оптимизацию, в качестве критерия качества целесообразно рассматривать составной критерий вида:

c c η,

(2-15)

в котором c и c -весовые коэффициенты, регулирующие вклад каждой составляющей функционала качества в его значение.

2.2 Организация вычисления составного критерия качества в процессе

параметрической оптимизации систем управления.

17

Ранее уже отмечалось, что критерий оптимальности должен быть сформирован таким образом, чтобы с одной стороны служить мерой качества управления, а с другой стороны его значение можно было сравнительно просто вычислить.

Применительно к виду критерия (2-15) рассмотрим возможную организацию его вычисления. С этой целью введём в рассмотрение структурную схему рисунок 2.5, где обозначено:

−W0 (p),Wр ( p) − передаточные функции неизменяемой части системы

(объекта управления) и регулятора, за счёт варьирования параметров

которого должен быть обеспечен экстремум критерия качества;

−Wф (p) − передаточная функция фильтра, который формирует из случайного процесса ψ (t) типа «белого шума» возмущающее воздействие Mη (t) с заданной спектральной характеристикой;

−	t Т	−	текущее время с начала процесса моделирования;
−	t1	−	время окончания отработки системой ступенчатого управления
	u(t) = uо и			подачи	на её вход	синусоидального управляющего
	воздействия uв (t) = Um sin(ωэt) , а на объект управления возмущающего
	воздействия Mη (t);
−	t2	−	момент	начала	вычисления	части Jη составного критерия

качества;

−T0 − период дискретизации изучаемого процесса δ(t) , где δ(t) - текущее значение ошибки слежения за изменением управляющего воздействия.

18

f2

t1

f	1
tT

u B (t)

u 0 (t)

t2
t	T	f3

z	2						F		J 2
	U (t)			U (t)
		WФ	( p)
z
	1
	δ (t) W		( p)		W	( p )	y(t)
		Р			Н
				1
z3			δ (nTД		)	Sδ2	J	1	J
			TД
		Рисунок 2.5

Введенные в структурную схему функции f1 , f2 , f3 следующим образом определяют текущие значения переменных zi :

z1 =	f1 (t1	,tT ) =			tT	≤ t1;
				0,
				1,	tT	> t1 .
z2 =	f2 (t1	,tT ) =			tT	≤ t1;
				1,
				0,	tT	> t1 .
z3 =	f3 (t2	,tT ) =			tT	≤ t2 ;
				0,
				1,	tT	> t2 .

Организация процесса моделирования проектируемой системы для вычисления функционала качества J на i-ом шаге движения к экстремуму (минимуму) поясняет рисунок 2.6, на котором обозначено: yM , yУ - максимальное и установившееся значения выходной переменной на интервале 0 ≤ tT < t1 . Весь процесс моделирования условно может быть разделен на 2 этапа.

На первом этапе ( 0 ≤ tT < t1 ) на вход системы подается ступенчатое управляющее воздействие u0 (t) и определяется значение

	J2	= F(y,α,m) =		α ≤ 45%	& m ≤ 5;
			0,
			1000,	α > 45%	|| m > 5,

19

где α = yM − yУ 100% - величина перерегулирования, а m – число переходов
yУ
кривой переходного процесса выходной переменной y через установившееся
значение при отработке системой ступенчатого управления.
					y(t)
	m = 1	2	3	4
yM	u0 (t)
	y		δ(t)		uB (t)
		У			U (t)
						tT
	0				t1 t2	tK
		1 этап			2 этап

Рисунок 2.6

На втором этапе (t1 < tT ≤ tK ) на вход системы подается эквивалентное гармоническое воздействие, а на объект управления – возмущение Uµ (t) с заданной спектральной характеристикой. Начиная с момента t2 , вычисляется оценка средней квадратической ошибки наведения Sδ2 .

Время tB = tK − t2 , необходимое для вычисления оценки дисперсии ошибки наведения Sδ2 , может быть определено из следующих соображений.

Известно, что дисперсия оценки дисперсии может быть представлена в виде [1]:

Var[Sδ2 ] = 2σδ4 ,

n −1

где σδ2 - истинное значение дисперсии ошибки, а n – число наблюдений. Зададимся вероятностью того, что интервальная оценка дисперсии должна накрывать ее истинное значение величиной равной Р=0.95, что соответствует 2σ -пределу. Тогда можно записать

22σδ4 = ∆n , n −1

20

где ∆n - ширина интервала, который с вероятностью Р=0.95 будет накрывать истинное значение дисперсии.

Если ∆n принять равной, например, 10% от истинного значения, то

∆n

=

∆n

есть положить

= 0.1 , тогда

2 2

= 0.1 ,

откуда

требуемое

σ 2

n −1

σ 2

количество наблюдений

2

2 2

n =

+1 ≈ 800.

0.1

Теперь для

определения значения tB

необходимо

оценить

величину

периода дискретизации TД изучаемого процесса. Обычно это может быть сделано на основании анализа характеристик внешних воздействий, приложенных к системе. Например, если в результате такого анализа принято

решение, что детализация наблюдений с частотами выше									f =10Гц не будет
приводить к повышению информативности изучаемого									процесса, тогда
T			1	= 0.05c , а, следовательно, t		=T		n = 0.05 800 = 40c.
	Д				B		Д
			2 f

21