Лекции / Т3_ДГМ

3.1 Выборочные распределения оцениваемых параметров

Оценки параметров распределений случайных величин являются сами случайными величинами, имеющими свои собственные распределения. Для того, чтобы делать заключения о точности и достоверности оценок, необходимо знать их выборочные распределения.

3.1.1 Выборочное распределение среднего значения при известной генеральной дисперсии

Если генеральная совокупность случайных величин имеет нормальное распределение, то среднее выборки из этой совокупности распределено также по нормальному закону, имеющему функцию плотности распределения вида:

Параметры функции плотности распределения среднего:

– центр распределения; ⁄√ – среднее квадратичное отклонение (СКО),

следовательно можно записать:

$ , √ $ , √" – нормальный закон распределения;

Рассеяние среднего относительно myв «n» раз меньше рассеяния самой случайной величины y т.е:

В том случае, когда известна генеральная дисперсия, для оценки среднего по выборке м.б. использовано нормальное стандартное распределение, к

которому приходят путем подстановки:

& √

(U-статистика)

22

3.1.2 Выборочное распределение среднего в случае неизвестной генеральной дисперсии.

При практических исследованиях дисперсия общей совокупности

почти всегда оказывается неизвестной, и ,следовательно, мы не можем произвести нормирование.

Имея частичную совокупность, можем только найти оценку S2 дисперсии :

11

Отклонение среднего значения частичной совокупности от среднего значения общей совокупности, нормированное при помощи этой оценки обозначается буквой «t»:

' √

( (t-статистика)

При больших значениях n, распределениевеличины «t»(t-статистики) практически не отличается от нормального. При малых nраспределения «U»и «t» резко отличается от нормального. Поэтому в этом случае для оценки среднего используется t-распределение (распределение Стьюдента).

Для практического использования t-распределения созданы таблицы значений t-статистики для различных значений вероятности и степеней свободы. Эти таблицы имеют следующий вид.

23

3.1.3 Выборочное распределение дисперсии выборки.

Распределение величины S2 задается так называемым χ2–

распределением (распределение Пирсона). Статистика χ2 задается следующим выражением:

∑ оценка

Графически распределение χ2-статистикиимеет вид:

f(χ 2 )

ν=4 ν=10

ν=2

χ2

Вид функции плотности распределения в значительной степени зависит

от числа степеней свободы(т.е от объема выборки).

Распределение χ2 задается таблицами вероятности получить расчетное значение χ2 больще табличного).

Например, при числе степеней свободы ν=10 вероятность получить при наблюдении значение χ2 больше 18,3 равна 0.05.

24

3.2Применение выборочных распределений для интервального

оценивания параметров систем управления

0

Если β представляет собой оценку истинного значения параметра β, то

0

зная выборочное распределение β, можно найти такие два числа δ1, δ2 для

которых выполняется условие:

12β0 δ1 5 β 5 β0 δ26 1 7,

которое читается как вероятность того, что интервал β0 δ1;β0 δ2 накрывает истинное значение β, равна 1 7, где – уровень значимости.

Наиболее употребительные значения доверительной вероятности, применяемые на практике: Р=0.9; 0.95; 0.999, тогда = 0.1;0.05;0.001.

3.2.1Доверительный интервал генерального среднего(мат.ожидание)

Для построения доверительного интервала используют t – статистику,

25

Таким образом, доверительный интервал: (52-2,262·3,1; 52+2,262·3,1). Следовательно с вероятностью Р=0,95, истинное среднее значение

рассматриваемой случайной величины будет находиться в пределах:

1245 5 5 596 0,95.

3.2.2 Доверительный интервал для генеральной дисперсии.

Для определения доверительного интервала генеральной дисперсии

используют χ 2 - статистику имеющую распределение Пирсона: χ 2 =ν s2

σ 2

Так как таблица распределения χ 2 -статистики задаёт вероятность того,

что значение χ 2 -статистики расчетное будет больше чем табличное т.е.

χрасч2 . ≥ χтабл2 .можно записать:

27

Пример: для рассмотренного ранее примера определить интегральную

Следовательно доверительный интервал для генеральной дисперсии:

P{9× 96 ≤ σ 2 ≤ 9× 96} = 0.98

21.72.1

P{40 ≤σ 2 ≤ 412} = 0.98

На практике часто приходится решать обратную задачу: по истинному значению ср. величины и требуемой точности найти требуемое число экспериментов для обеспечения этой точности.В этом случае надо знать рассеяние за ранее.

Пример:

Пусть задано рассеяние σ2Х=0,01 (σ=0,1) Требуется найти число экспериментов «n» которое позволило бы оценить среднее значение x с точностью ± 0,02 и с вероятностью Р=0,95.

28

Известно, что генеральная совокупность изучаемой случайной величины распределена нормально.

Для решения такой задачи можно использовать выборочное распределение для среднего значения при известной дисперсии т.е. u- статистику.

Величина «U» определяется по таблицам Лапласа Ф(U) при вероятности Р=0.475. Для рассматриваемого примера U=1.96, следовательно

29

Пример. Требуется определить объем выборки, который позволит с вероятностью Р=0,95 накрыть истинное значение дисперсии доверительным интервалом шириною 0,1σ2.

Требуется определить объем выборки, для которой доверительный интервал шириной 0,1σ2 будет накрывать истинное значение дисперсии с

вероятностьюР=0,95.

ST U S ? ), B )R T, U )R2) 2)R

ST, U 2)

ST U 2)R 2 1R

После не сложных преобразований получим:

Если сузить доверительный интервал до 0.05σ2, то n≈4000 наблюдений

30