Лекции 2,3
Лекция 2
Глава 2
Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Определения, свойства, выражения в координатной форме |
2.1. Скалярное произведение двух векторов и
его свойства
Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется число
. (2.1)
Заметим, что в формуле (2.1)
и ,
поэтому можно дать определение скалярного произведения и в иной, равносильной форме, иногда более удобной.
Определение . Скалярным произведением векторов и называется число
. (2.2)
Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.
Теорема 1. Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Доказательство.
Необходимость. Пусть .
Достаточность. Пусть .
Случай 1. (либо , либо ). Так как направление не определено, считаем в этом случае, что .
Случай 2. , . В равенстве (2.1), определяющем , , , а .
Теорема 2. Для любых двух векторов и , если , , угол является острым тогда и только тогда, когда , и тупым – тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Отметим, что, так как и , знак скалярного произведения совпадает со знаком .
Следовательно, .
Обратно, .
Аналогично, .
Обратно, .
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. , если ; , если .
Доказательство свойства 1.
Так как и , то из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, непосредственно следует, что .
Доказательство свойства 2. Применяем определение (и формулу (2.2)):
.
Доказательство свойства 3. Опять привлекаем определение и формулу (2.2):
.
Доказательство свойства 4. Заметим, что , поэтому
.
Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
) ;
) .
Действительно, например, для имеем:
.
Аналогично обосновывается ).
Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.
Пример. Пусть , , – декартов базис, , . Найти .
Имеем
.
Теорема 3. Пусть , , – декартов базис, , . Тогда .
Доказательство. Имеем
.
Следствие. Пусть , , – декартов базис, , , , . Тогда
. (2.3)
В самом деле, из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, находим
,
и соотношение (2.3) доказано.
В частности, .
2.2. Векторное произведение двух векторов и его свойства
Определение 2. Векторы , , называются упорядоченной тройкой или просто тройкой, если указано, какой из них является первым, какой – вторым, какой – третьим.
Запись , , будем понимать так, что – первый, – второй, – третий вектор.
Определение 3. Пусть , , не компланарны. Тройка , , называется правой (левой), если после приведения векторов , и к одному началу, вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой и , откуда кратчайший поворот от к (от первого вектора ко второму) кажется совершающимся против часовой стрелки (для левой – по часовой стрелке) (рис.2.1).
Если две тройки обе правые или обе левые, они называются тройками одной ориентации, в противном случае – противоположной ориентации.
Из векторов , и можно составить шесть троек:
, , ; , , ; , , ; (2.4)
, , ; , , ; , , . (2.5)
Все тройки (2.4) – одной ориентации, и все тройки (2.5) – тоже одной ориентации, но каждая из троек (2.4) с любой тройкой (2.5) имеет противоположную ориентацию.
Упражнение. Показать, что тройки , , и , , имеют противоположную ориентацию.
Определение 4. Декартова система координат называется правой (левой), если базисные векторы , , составляют правую (левую) тройку.
Для определенности будем далее считать, что декартова система координат – правая (рис.2.2).
Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) ;
2) , ;
3) тройка , , правая.
Векторное произведение будем далее обозначать .
Замечание 1. Длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одному началу (рис.2.3).
Определение 6. Ортом вектора , , называется вектор , имеющий с одинаковое направление и такой, что .
Замечание 2. Из определения орта следует равенство .
(В самом деле, и векторы и имеют одинаковое направление.)
Замечание 3. Если – орт векторного произведения , а – площадь параллелограмма, построенного на и , приведенных к одному началу, то .
(Доказательство следует из определения 6.)
Теорема 4. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны. Тогда
.
Достаточность. Пусть .
Случай 1. (либо , либо ). Так как направление нулевого вектора не определено, можем считать, что коллинеарен .
Случай 2. , . Так как , а и , то и коллинеарен (угол , либо ).
Алгебраические свойства векторного произведения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. Для любого .
Доказательство свойства 1.
Обозначим , . Нам нужно доказать, что справедливо равенство между векторами:
В соответствии с определением, данным в лекции 1, нужно убедиться, что и направления и совпадают.
Из определения 5 получаем
.
По определению 5 , и , , следовательно, и оба перпендикулярны плоскости , определяемой векторами и , следовательно, и коллинеарны.
Пусть , и приведены к одному началу. Так как они составляют правую тройку, в соответствии с определением 3 с конца вектора кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки. Тогда для любого вектора, расположенного по ту же сторону от , что и вектор , кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, вектор расположен по другую сторону от плоскости . Учитывая уже установленную коллинеарность и , получаем .
Свойство 2 примем без доказательства.
Доказательство свойства 3. Обозначим , .
Случай 1. . Тогда (так как ), при этом , следовательно, .
Случай 2. .
а) Векторы и коллинеарны. Тогда по теореме 4 и ; коллинеарен (как произведение вектора на число), следовательно, коллинеарен , и по теореме 4 , значит, .
б) Векторы и не коллинеарны. Пусть . Тогда
.
Имеем , следовательно, коллинеарен . С другой стороны, , поэтому коллинеарен . Таким образом, и коллинеарны.
Так как , а , то направление совпадает с направлением вектора .
Направление совпадает с направлением , а , следовательно, направление совпадает с направлением .
Итак, и коллинеарны и направления их совпадают, т.е. и свойство 3 в этом случае справедливо.
Пусть . Тогда
.
И меем и коллинеарен . С другой стороны и коллинеарен вектору . Таким образом, и коллинеарны (и коллинеарны вектору ).
Вектор в соответствии с определениями 5 и 3 направлен таким образом, что с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся против хода часовой стрелки, тогда ( ), с конца кратчайший поворот от к кажется совершающимся по ходу часовой стрелки, следовательно, векторы и имеют противоположное направление.
Вектор , равный , тоже имеет направление, противоположное направлению , таким образом, и направлены одинаково.
Учитывая доказанное ранее равенство и коллинеарность и , заключаем, что , – свойство 3 справедливо и в этом случае.
Доказательство свойства 4.
Так как любой вектор коллинеарен сам себе, то свойство 4, т.е. равенство , следует из теоремы 4.
Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
). ;
). .
В самом деле, докажем, например, :
.
Аналогично обосновывается .
Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая векторно линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.