lect11_m2_vm1_vt_aig_230100.62_niy06
.docЛекция 11
Глава 9
Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений
Правило Крамера. Исследование произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений |
9.1. Правило Крамера
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными:
(9.1)
Обозначим , . будем называть определителем системы (9.1).
Обозначим , . Система (9.1) равносильна матричному уравнению
. (9.2)
Теорема 1. Если , то система (9.1) имеет, притом единственное, решение.
Доказательство. Так как , то . Умножим обе части (9.2) на слева:
.
Итак, решением матричного уравнения (9.2) является матрица - матричное уравнение (9.2) имеет решение, следовательно, система (9.1) совместна.
(9.3)
Решение системы (9.1) дается формулами (9.3), и так как , , вполне определенные числа, единственно.
Теорема доказана.
Правило Крамера: если , то решение системы (9.1) может быть найдено по формулам , , где - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при заменить столбцом свободных членов.
Пример 1. По правилу Крамера, если оно применимо, решить систему
Решение. Имеем
,
следовательно, правило Крамера применимо.
,
,
.
По формулам (9.3) находим
, , .
9.2. Исследование произвольной системы
линейных уравнений
Пусть дана система уравнений с неизвестными:
(9.4)
Обозначим матрицу из коэффициентов
.
Матрица содержит матрицу и еще столбец свободных членов, она называется расширенной матрицей по отношению к :
.
Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Необходимость. Пусть система (9.4) совместна и - решение (9.4), следовательно, справедливы тождества
(9.5)
В матрице к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на ,…, -й, умноженный на Получим, учитывая (9.5),
~ .
Поскольку выполнялись элементарные преобразования, то , но (добавление столбца из нулей не может изменить ранга), отсюда
.
Достаточность. Пусть . Это означает, что существует минор порядка , а все миноры порядка , окаймляющие , равны нулю.
Пусть расположен в левом верхнем углу матрицы (это предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что будет расположен в первых строках и первых столбцах матрицы ):
.
Тогда первые строк матрицы линейно независимы, а остальные строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые уравнений линейно выражаются остальные уравнений. Таким образом, вся система (9.4) эквивалентна первым уравнениям:
(9.6)
Случай 1: . Система (9.6) имеет единственное решение (определитель системы (9.6) , - применяем теорему 1). Его можно найти, например, по правилу Крамера.
Случай 2: . Перепишем (9.6) в виде
(9.7)
Неизвестные назовем главными, - свободными.
Присвоим свободным неизвестным произвольные числовые значения, положим . Тогда согласно теореме 1 из системы (9.7) определится единственный набор главных неизвестных. Таким образом, набор чисел , является решением системы (9.4).
Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система (9.4) имеет бесчисленное множество решений.
И в случае 1, и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана.
Определение 1. Формула, выражающая решение системы (9.4) в виде вектор-функции свободных неизвестных, называется общим решением системы (9.4):
.
Пример 2. Исследовать совместность системы и, если система совместна, найти общее решение и одно частное:
Решение. Найдем ранг матриц и :
~ ~
~ .
Итак, (минор второго порядка , все миноры, его окаймляющие, равны нулю и в , и в ). Следовательно, согласно теореме 2 система совместна.
Так как , система имеет бесчисленное множество решений.
Вся система эквивалентна системе первых двух уравнений:
В качестве главных неизвестных возьмем и ( ), свободных - и и перепишем систему в виде
-
"укороченная" система.
Отсюда
и .
Общее решение
.
Частное решение получим, присвоив конкретные числовые значения свободным неизвестным, например, , тогда
.
9.3. Системы линейных однородных
алгебраических уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
(9.8)
Система (9.8) всегда совместна (решение всегда присутствует среди решений).
Если , то это решение - единственное, если , система (9.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от ).
Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).
Доказательство. Пусть и - произвольные решения системы (9.8).
Пусть - некоторое число, . Подставим
в -е уравнение системы (9.8):
удовлетворяет -му уравнению системы (9.8) при произвольном , , т.е. является решением (9.8).
Пусть - произвольное вещественное число, .
Подставим в -е уравнение системы (9.8), :
- решение (9.8).
Итак, сумма любых двух решений системы (9.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (9.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (9.8) является решением.
Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.
Обозначим через , , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному присвоить значение , а остальным свободным неизвестным - значение .
Система решений называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений.
Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .
Пример 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
(9.9)
Решение. Первое уравнение, умноженное на , прибавим ко второму:
Отсюда .
Общее решение
,
свободными являются неизвестные и , главными - и .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы и составляют фундаментальную систему решений системы (9.9)
.
Последнее равенство можно проверить непосредственно.