Добавил:

KiberSamuray Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Лекции в презентациях. 2 курс / Осесимметричный изгиб цилиндр оболочек. Лекция

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.06.2021

Размер:

519.68 Кб

Скачать

☆

3.ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку толщиной h, радиусом срединной поверхности R, нагруженную нормальным давлением p и растягивающими продольными усилиями Nx.

p	Nx
p
Nx

Положение точек оболочки на срединной поверхности будем определять координатой x вдоль образующей и криволинейной координатой y = R в окружном

направлении. Координата z направлена по нормали к срединной поверхности.

При осесимметричном нагружении оболочки и закреплении краев все внутренние силовые факторы зависят только от координаты x. Задача определения напряженнодеформированного состояния является одномерной.

Нормальные перемещения в цилиндрических оболочках.

					w — перемещение
					точек срединной
					поверхности оболочки
	φ				поверхности оболочки
	φ	dφ			по нормали — вдоль
					по нормали — вдоль
					оси Oz (нормальный


					прогиб)
					u — перемещение точек
					срединной поверхности
		R			оболочки в продольном
					направлении — вдоль
O			O		направлении — вдоль
O				1	оси Ox.
				1	оси Ox.

= dwdx

— угол поворота поперечного сечения оболочки.

Относительная продольная деформация произвольного волокна, отстоящего на расстоянии z от срединной поверхности оболочки

x =		du − zd			=	du	− z		d	=
						dx			dx
			dx
=	du	− z		d 2w	= 0 − z			d 2w
	dx			dx2				dx2

Здесь du — удлинение элемента оболочки dx;

dφ — угол поворота правого поперечного сечения элемента;

0 = dudx — относительная продольная деформация срединной поверхности оболочки.

R dθ

x =	E			x + y =
x =	(1 −	2	)	x + y =
		2

y =	E			y + x =
y =	(1 −	2	)	y + x =
		2

Относительная деформация в
окружном направлении
y = =	(R + w)d − Rd	=	w
	Rd		R

Нормальные напряжения в поперечном сечении оболочки на расстоянии z от срединной поверхности оболочки определяем согласно закону Гука.

d w

− z

(1 −

)

d 2w

− z

(1 − 2 ) R

dx2

Внутренние силовые факторы при осесимметричной деформации оболочки.

Продольное усилие

h 2

N x =

xdz =

− z

dz =

(1 −

)

−h 2

(1 −

)

Окружное усилие

h 2

d 2 w

N y =

y dz =

)

− z

dz =

−h 2

(1 −

−h 2

+ 0

−

) R

Исключая 0 в соотношениях для Nx, Ny получим

N y = Nx + EhR w(x)

Изгибающий момент в продольном направлении

h 2

Eh3

d 2w

M x =

zdz =

= D

12(1− 2 ) dx2

dx2

−h 2

Изгибающий момент в окружном направлении

h 2

M y =

y zdz = D

= M x

dx2

−h 2

Здесь D =

Eh3

— цилиндрическая жесткость оболочки

12(1− 2 )

при ее изгибе

Уравнения равновесия для элемента цилиндрической оболочки в усилиях.

Mxdy

Рассмотрим равновесие элемента оболочки размерами dx, dy = Rd , нагруженного нормальным давлением p,

безмоментными погонными продольными Nx и окружными Ny усилиями и погонными изгибающими моментами Mx — в направлении оси x (продольный изгибающий момент), и My

— в направлении оси y (окружной изгибающий момент). Все внутренние силовые факторы являются погонными, т.е.

отнесенными к единице длины.

Спроектируем все силы на ось Ox

−Nxdy + (Nx + dNx )dy = 0 →	dN	x	= 0
		x

Спроектируем все силы на направлении нормали Oz

pdxdy+ Qdy − (Q + dQ)dy − 2Nydxsin(d 2)= 0
pdxdy+ Qdy − (Q + dQ)dy − 2Nydxsin(d 2)= 0		dQ		N y
Учитывая, что sin( d 2) = d	2 = dy 2R →	dQ	+	N y	= p

		dx		R
		dx		R

Третьим уравнением равновесия будет равенство нулю моментов всех сил, действующих на элемент, относительно правого края кк

M xdy − (M x + dM x )dy + Qdxdy + pdxdy dx 2 −
− 2N y dx dx 2 sin (dx 2)= 0
Пренебрегая слагаемыми 2-го и более		dМ x = Q
высокого порядка малости получим		dx
		dx

Уравнение равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях, его интегрирование.

d 2M x

= −

N y

+ p ;

d 2M x

N y

= p ;

dx2

d 2w

Nx +

= p

dx2

d 4w

w = p −

dx4

Решение неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка относительно нормального прогиба оболочки w(x) складывается из общего решения однородного уравнения

w0 (x) и частного решения w (x) неоднородного уравнения

w(x) = e−kx (C cos kx+ C sin kx)

+ ekx (C cos kx+ C sin kx)+ w ,

где

w (x) =

−

— частное решение, зависит от

внешних нагрузок, действующих на оболочку

3(1− 2 )

k = 4

— волновое число

4DR2

R2h2

С1 С4 — постоянные интегрирования, определяемые из

граничных условий на краях оболочки. На каждом краю

оболочки при x = 0 и при x = l

формулируют по два краевых

условия.

Жестко-закрепленный край

Шарнирно-опертый край

w = 0

d 2w

= 0

M x = D

= 0

Свободный край

Нагруженный край

M x = D

d 2w

= 0

M x = D

d 2w

= m

dx2

Q = D

d 3w

= 0

Q = D

d 3w

= q

Краевой эффект в круговых цилиндрических оболочках.

Общее решение для нормального прогиба оболочки содержит слагаемые, описывающие изгибные деформации оболочки

( е(•) ,sin( ), cos( ) ) и безмоментные деформации оболочки (частное решение).

Местный изгиб оболочки, возникающий в результате закрепления ее краев, резкого изменения размеров и формы оболочки, а также в местах приложения сосредоточенных нагрузок, называется краевым эффектом.

Для тонкостенных оболочек, у которых h R 1 в связи с

быстрым изменением функции e kx слагаемые, соответствующие изгибным деформациям дают существенный вклад в решение для w(x) только в зоне краевого эффекта, протяженность которой оценивается величиной = k , называемой длиной полуволны краевого

эффекта.

Длина полуволны краевого эффекта для металлических оболочек, имеющих коэффициент Пуассона 0,3 равна

		R2h2
= k =	4	R2h2	2,5 Rh
= k =		3(1− 2 )	2,5 Rh

При изменении продольной координаты x от 0 до λ функция

е−kx уменьшается в е 23 раза. Таким образом, если длина цилиндрической оболочки удовлетворяет условию l>2λ, то оболочку вблизи края x=0 можно рассматривать как полубесконечную, а в решении для w(x) из условия ограниченности решения при x → положить С3=С4=0.

Решение, основанное на концепции краевого эффекта вблизи края x=0 для 0<x≤λ имеет вид

w(x) = e−kx (C cos kx + C					2	sin kx) + w
		1
	dw	dw	−kx
=		=	− ke	((C1 − C2 ) cos kx + (C1			+ C2 ) sin kx)
	dx
		dx

	d 2w	d 2w
M x = D		= D		+ 2k 2e−kx (C1 sin kx − C2 cos kx)
M x = D	dx2	= D	dx2	+ 2k 2e−kx (C1 sin kx − C2 cos kx)
	dx2		dx2

	d 3w	d 3w			+ 2k 3e−kx ((C1 + C2 ) cos kx − (C1
Q = D		= D						− C2 ) sin kx)
Q = D	dx3	= D	dx3					− C2 ) sin kx)
	dx3		dx3

				h 2		d 2w
		M y =			y zdz = D	d 2w	= M x
		M y =			y zdz = D	dx2	= M x
						dx2
				−h 2

Постоянные интегрирования С1, С2 определяются из граничных условий, сформулированных на краю x=0.

Соседние файлы в папке Лекции в презентациях. 2 курс

#
29.06.2021234.72 Кб13Лекция Осесимметричный изгиб пластин.pdf
#
29.06.2021519.68 Кб7Осесимметричный изгиб цилиндр оболочек. Лекция.pdf
#
29.06.2021810.68 Кб4Теория колебаний 1.pdf
#
29.06.20211.1 Mб5Теория колебаний 2.pdf