лекция 13 физика

Рис. 10.3.

При более высоких ускоряющих электрических напряжениях порядка десятков киловольт электроны приобретают достаточную кинетическую энергию, чтобы проникать сквозь тонкие пленки вещества толщиной порядка 10-7м, или тысячи ангстрем. Тогда возникает так называемая дифракция быстрых электронов на прохождение, которую на поликристаллических пленках алюминия и золота впервые наблюдали английский ученый Томсон и советский физик Тартаковский. На рис.10.3 представлена схема эксперимента Томсона

(1927г.) по дифракции электронов. Видно, что после		прохождения че-
рез кристалл электроны	в разных направлениях	распространяются
с различной плотностью	потока.

Установлено, что положения максимумов при дифракции микро-

частиц	можно	рассчитать	по	формуле	Вульфа-Брэгга
2dsin( k)	= k для дифракции рентгеновских лучей на трехмерной
кристаллической		решетке.

Позже наблюдалась дифракция протонов, а также дифракция нейтронов, получившая распространение широкое распространение как один из методов исследования структуры вещества.

Так было доказано экспериментально, что волновые свойства присущи всем без исключения микрочастицам.

В дальнейшем была доказана применимость формулы де Бройля к пучкам атомов и молекул. Если считать скорость частицы в пучке равной наиболее вероятной скорости молекулы при температуре Т, то

При температуре Т=360К для водорода с молярной массой 2*10- 3кг/моль λ=1,3А .

Согласно двойственной корпускулярно – волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства волн и все свойства частиц нельзя.

Еще раз подчеркнем, что волны де Бройля имеют квантовую

природу, связаны	со статистической природой движения микрочастиц
и имеют вероятностный смысл.
Тема 11.	Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Если частицы обладают двойственной природой, то встает вопрос правомерности применения к ним понятий классической механики. Для частиц нельзя одновременно точно определить координату и импульс, время и энергию. Немецкий ученый Гейзенберг в 1927г. установил, что неопределенности или погрешности измерения координаты ∆х, ∆y, ∆z и импульса ∆рх, ∆рy, ∆рz удовлетворяют соотношениям:

∆х ∆рх ≥ ,

∆y ∆рy ≥

,

∆z ∆рz ≥ .

Здесь ∆х, ∆y, ∆z	-	интервалы	проекции вектора перемещения на
оси х, y, z и	∆рх, ∆рy, ∆рz		- интервалы возможных значений
проекций импульса	на	оси х, y,	z.

Подобное соотношение имеется и для неопределенности интервала

времени нахождения		микросистемы в данном состоянии		∆t	и
диапазона	энергии ∆Е	состояния.	∆t ∆Е≥ .
Все эти	формулы	называются	соотношениями неопределенностей
Гейзенберга.

Наличие этих соотношений объяснятся тем, что при измерении одного параметра микрочастицы, второй соответствующий параметр искажается измерительным прибором, и чем точнее измеряется один, тем больше искажается второй. Это происходит и для макрообъектов, но вследствие их больших масс воздействие приборов оказывается несущественным.

Соотношения неопределенностей позволяют определить границы применимости понятий и законов классической механики к различным объектам, т.е. возможности одновременного использования понятий координаты и скорости при описании движения. Учитывая,

что рх = mvx, можно получить ∆х ∆vх ≥ /m, откуда следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенность ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице такие понятия, как например, понятие траектории.

Пример 1.

Рассмотрим электрон, движущийся в атоме водорода. Неопределенность его координаты имеет порядок размера самого атома, т.е. ∆x

= 10-10м.

Тогда диапазон скорости электрона:

∆vх = h/(2πm∆x) = 6,62∙10-34/(6,28 ∙9, 1∙10-31∙10-10) = 1,1∙106м/с.

Если рассчитать скорость электрона в атоме в рамах классической механики, то, учитывая, что роль центростремительной силы играет сила Кулона, для скорости можно получить величину порядка

2∙106м/с и в данном случае неопределенность измерения скорости оказывается порядка самой скорости. Поэтому нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории.

Пример	2.
Спектры		излучения атомов	не являются бесконечно	узкими,
так как	это	соответствовало бы	неопределенности энергии	Е	.

Спектральные линии имеют конечную ширину линии, которая представляет собой разброс энергии фотонов относительно среднего значения.

По ширине спектра можно оценить время существования атомов в возбужденном состоянии.

Рис.11.1.

Тема 12. Постулаты квантовой механики. Вероятностный характер движения частиц. Волновая функция, её статистический смысл.

Задание состояния микрочастицы.

Объяснить одновременное наличие корпускулярных и				волновых
свойств у	микрочастиц	удалось на	основе идей Бора и Луи-де-Бройля
в рамках	новой теории,	называемой	волновой или квантовой	механи-

кой, созданной Гейзенбергом, Шредингером, Борном и многими другими учеными начала ХХ века.

Квантовая механика базируется на ряде постулатов.

Основные постулаты можно упрощенно представить в следующем виде.

1. Движение микрочастиц в пространстве имеет вероятностный (стохастический) характер. Это относится не только к совокупности частиц, но и к каждой отдельной частице.

2. Стохастический характер движения микрочастиц требует применения понятий теории вероятности и движение таких частиц должно описываться с помощью некоторой «особой» волновой функции, которая должна характеризовать вероятностные особенности микрочастиц.

В 1926г. немецкий физик Макс Борн представил волновую функ-

цию как некоторую пси-функции Ψ(x,y,z,t) так: квадрат модуля пси-функции Ψ(x,y,z,t) в данной точке пространства определяет вероятность того, что частица находится в этой точке в данный

момент	времени	или:
		Ψ				(12.1)
3. Для	совокупности		частиц под			вероятностью	понимают от-
ношение	числа	частиц	в малом объеме к общему				числу частиц, а

для одной частицы – отношение времени пребывания частицы в малом объеме к общему времени рассмотрения движения частицы.

Волновая функция является основной характеристикой состояния частицы, с помощью волновой функции можно рассчитать вероятность пребывания частицы в различных точках пространства в

различные моменты времени,					а также средние значения различных
ее параметров. Найдем некоторые средние характеристики.
	Среднее значение функции			координат частицы:
									, здесь
символ « * » указывает на комплексно сопряженную функцию.
	Среднее значение функции			импульса:
								,

Эти формулы принимают одинаковый вид, если проекции импульса представить операторами

,

4. Вид волновой функции зависит от типа частицы и от внеш-

них силовых полей, действующих на частицу.
Уравнение Шредингера. Физические							ограничения	на	вид	волновой
				функции.
Стационарное уравнение Шредингера, стационарные									состояния.
В 1926г	Шредингер		представил				специальное	дифференциальное
уравнение,	называемое	уравнением Шредингера,						которое		является
основным уравнением		квантовой			механики:
		i					(12.2)
где	– оператор		полной		энергии, или оператор				Гамильтона.

Оператор Гамильтона определяется суммой операторов кинетической

энергии	и	силовой	функции
Н	Т	,	(12.3)

где

,

здесь

- оператор

Лапласа,

а

= U (х, у, z, t).

Отсюда:

,

(12.4)

где m –

масса частицы, i

– мнимая единица, U

– потенци-

альная энергия частицы.

Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью v<< c. Уравнение дополняется следующими условиями:

1) Ψ – конечная, непрерывная, однородная,

2)								– непрерывны,
3)								конечен.
Это	условие часто заменяют условием нормировки вероятности:

=1

Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. определяется характером сил, действующих на частицу. Уравнение Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также комплексная, при этом реальный физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который всегда действителен.

Уравнение Шредингера может иметь множество решений.