Лекция№9 электромагнитные колебания22.03.21

Затухающие колебания.

В рассмотренном примере электромагнитных гармонических колебаний не учитывались потери энергии, связанные с выделением теплоты на активном сопротивлении, всегда присутствующем в реальной электрической цепи. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать свободными идеальными незатухающими колебаниями. При потере системой энергии в процессе колебаний амплитуда колебаний уменьшается.

Затухающими называются колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Рассмотрим свободные затухающие колебания. В реальном колебательном контуре кроме катушки индуктивности L, конденсатора емкости С и ключа К имеется активное сопротивление R (рис. 1).

Рис. 1.

Запишем для контура уравнение по второму правилу Кирхгофа с учетом активного сопротивления цепи R:

U_c + IR= _S , то есть напряжение на обкладках конденсатора плюс напряжение на сопротивлении R равно ЭДС самоиндукции.

Но , . Отсюда:

По определению, сила тока I= . Тогда предыдущее уравнение преобразуется к виду:

или, = 0 , или = 0, или

q = 0, где - собственная частота контура, β = - коэффициент затухания. Чем больше R и меньше L, тем больше коэффициент затухания.

Это уравнение есть однородное дифференциальное уравнение второго порядка для затухающих колебаний.

Решениями этого уравнения являются функции:

. (1)

Здесь  - частота колеба­ний заряда на конденсаторе, напряжения на конденсаторе, силы тока в цепи,  - коэффициент зату­хания, который оп­ределяет скорость убывания амплитуды колебаний. Циклическая частота колебаний определяется по формуле: , q_m – начальное значение амплитуды, φ – начальная фаза колебаний. Чем меньше β, тем меньше затухание колебаний.

.

Пусть заряд на конденсаторе изменяется по закону косинуса: . График этой функции представлен на рис. 2. Верхняя пунктирная линия представляет собой закон изменения амплитуды колебаний q(t) = . Очевидно, что амплитуда со временем убывает по экспоненте.

Рис. 2.

Найдем выражение для силы тока в контуре: . (2)

Пусть в начальный момент времени заряд равен q_o , а сила тока равна нулю. Тогда из соотношений (1) и (2) получаем:

и .

Соответственно, начальная фаза оределяется из соотношения: tgφ = - .

Согласно тригонометрической формуле,

Тогда: .

Отсюда, начальная амплитуда: .

Таким образом, начальная фаза и начальная амплитуда колебаний в контуре зависят от его параметров: емкости, индуктивности и активного сопротивления.

Вернемся к выражению (2) для силы тока и несколько преобразуем его: . (3)

Представим функцию сила тока следующим образом: . (4)

С учетом тригонометрических преобразований, получаем: ,

или: (5)

Найдем изменение фазы α, сравнивая зависимости (3) и (5):

, и .

Отметим для себя, что , а . Следовательно, угол α лежит в пределах: , то есть при наличии в контуре активного сопротивления R колебания тока опережают по фазе колебания напряжения на конденсаторе и колебания заряда более, чем на . При отсутствии активного сопротивления опережение составляет .

Вернемся к случаю собственных незатухающих колебаний, рассмотренному на прошлой лекции (R=0). Амплитуда напряжения на обкладках конденсатора , а амплитуда силы тока , тогда можно записать:

, а величина получила название волнового сопротивления контура.

Период Т затухающих колебаний в колебательном контуре равен: .

Когда ²₀², или сопротивление R очень мало, период колебаний практически ра­вен периоду собственных незатухающих колебаний: .

С увеличением коэффициента затухания , когда растет сопротивления R, период колебаний увеличивается, и при обращается в бесконечность. При ² >₀² ( ), колебания не совершаются, а происходит монотонная разрядка конденсатора. Такой разряд называется апериодическим.

Найдем время релакса­ции  как вре­мя, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

Отсюда,  = 1, и . Иначе: время релаксации – величина, обратная коэффициенту затухания.

Для характеристики скорости затухания электромагнитных колебаний служат несколько параметров: декремент затухания D, логарифмический декремент  и добротность Q.

Декремент затуха­ния показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний Т:

D = ,

a(t) – амплитуда соответствующей величины – заряда на обкладках конденсатора, напряжения на конденсаторе, силы тока в цепи.

Натуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический декремент :

. (6)

Так как , то , где N_e - число колебаний за время релаксации , или за время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Найλдем добротность Q колебательного контура. Этот параметр пропорционален отношению энергии системы в некоторый момент времени t к изменению энергии за период Т после t.

Q = 2 .

При малых коэффициентах затухания , и , соответственно, , можно получить:

Q = . (7)

То есть добротность пропорциональна числу колебаний, которые успевают совершиться за время релаксации.

Взяв вместо логарифмического декремента его значение βТ, получим .

При малых коэффициентах затухания можно положить ω = ω₀ = .

Тогда: Q = . (8)

Вынужденные колебания. Резонанс.

Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери при рассеивании джоулевой теплоты. В этом случае будут уже не свободные, а вынужденные электромагнитные колебания. Для осуществления таких колебаний необходимо включить в колебательный контур источник тока, обладающий периодически изменяющейся ЭДС ε = ε_m cos(Ωt+ψ ). Здесь Ω –греческая буква омега заглавная, частота внешней ЭДС.

Рис. 3.

Тогда, по аналогии с предыдущими случаями, дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний с учетом внешней ЭДС запишется так:

(9)

Решением неоднородного дифференциального уравнения второго порядка является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:

+ q_m cos(Ωt +ψ ), ψ – греческая буква пси, начальная фаза вынужденных колебаний заряда.

Поскольку первое слагаемое очень быстро стремится к нулю, то решением этого уравнения будет:

q = q_m cos(Ωt - ψ) , (10)

причем Ω - частота вынужденных колебаний, совпадает с частотой колебаний внешней ЭДС, а ψ – начальная фаза вынужденных колебаний заряда.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний заряда q_m явля­ется сложной функцией частоты внешней ЭДС Ω и коэффициента затухания :

(11)

Зависимости ам­плитуды колебаний заряда q_m от Ω и  представлены на рис.4 (₁₂₃). При Ω=0 все кри­вые сходятся в одной точке оси ординат – это заряд на конденсаторе, возникающий при подключении его к источнику постоянного напряжения . При различных значениях  амплитуд­ные кривые имеют максимумы, кото­рые со­ответст­вуют частотам: Ω₁ , Ω₂ и Ω₃ .

Рис. 4.

Начальная фаза колебаний ψ определяется по формуле: tg ψ = . (12)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний заряда от частоты внешней ЭДС называется резонансной характеристикой или резонансной кривой. На графике рис.5 показаны резонансные кривые для случаев: 1 – колебательная система без сопротивления R, при резонансе амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает, 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различными сопротивления R и, соответственно, разными коэффициентами затухания (₄ ₃ 0 ₂). Чем меньше сопротивление R, тем больше и острее амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. При различных значениях  резонансные характеристики имеют максимумы, кото­рые со­ответст­вуют частотам: Ω₁ , Ω₂ , Ω₃ , Ω₄.

Рис. 5.

Частоты Ω₁, Ω₂, ... , которым соот­ветст­вуют максимумы амплитуды, называются резонанс­ными часто­тами Ω_рез. Чтобы определить их значения, необ­ходимо найти максимум для функции амплиту­ды или, что то же самое, минимум знаменателя функции А(Ω) - .

,

2( .

Значение не равно 0, поэтому можно поделить уравнение на . Получаем: .

Или, значение частоты, при которой наблюдается резонанс: , или, . (13)

Найдем зависимость установившегося тока от времени:

(

Амплитуда тока с учетом формулы амплитуды заряда имеет вид:

Резонанс по току будет наблюдаться при частотах, когда то есть при Ω_рез= ω₀ .

Рис. 6.

Резонансное значение силы тока будет равно: .

Разделив заряд q на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:

,

где

Отсюда следует, что для резонанса напряжения будет та же резонансная частота, что и для заряда. Зависимости амплитуды напряжения на обкладках конденсатора от времени имеют характер, аналогичный графикам на рис.5 для характеристик заряда. При малом затухании, когда , резонансную частоту для напряжения можно принять равной ω₀ : _U = ω₀ = .

Тогда , и отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешней ЭДС будет равно: ,

где Q – добротность контура.

Последовательный колебательный контур широко применяется на практике в различных электро- и радиотехнических схемах и устройствах главным образом в качестве резонансной системы, то есть системы, усиливающей в Q раз гармонические колебания, поступающие на вход. Резонанс в контуре с последовательно соединенными индуктивностью и емкостью называют резонансом напряжений.

Переменный ток.

Закон Ома и правила Кирхгофа для постоянного тока будут справедливыми и для мнгновенных значений переменного тока и напряжения, если только их изменения не происходят слишком быстро. В пределах периода колебаний тока до 10^-6 с токи можно считать квазистационарными. Рассмотрим частные случаи.

Переменный ток в цепи активного сопротивления.

Рис. 7.

Пусть к сопротивлению R (рис. 7 ), не обладающему емкостью и индуктивностью, (такие сопротивления называются активными), приложено напряжение, изменяющееся по закону косинуса: U=U_mcoswt. Тогда по закону Ома: . Причем, для амплитудных значенийсоотношение выглядит так: .

Видно, что напряжение и ток изменяются синфазно, что можно показать с помощью диаграммы на рис. 8.

Рис. 8.

Переменный ток в цепи с индуктивностью.

Подадим переменное напряжение на концы индуктивности L, с бесконечно малым сопротивлением R и емкостью С. Схема цепи представлена на рис. 9.

Рис.9.

При прохождении переменного тока через индуктивность, возникнет ЭДС самоиндукции. Тогда по закону Ома для неоднородного участка цепи можно записать: U_mcoswt - L =0, или U_mcoswt = L .

Поскольку все внешнее напряжение приложено к катушке, то U_L = L -это падение напряжения на индуктивности. С помощью интегрирования получим выражение зависимости силы тока в цепи от времени:

(14)

где .

Роль сопротивления в данном случае играет величина X_L = wL. Эту величину называют реактивным индуктивным сопротивлением, которое растет с увеличением частоты w.

Соответственно, падение напряжения на индуктивности: U_L = wLI_mcoswt. (15)

Если сравнить выражение для тока (14) и выражение (15) стоновится видно, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток на . Диаграмма для тока и напряжения представлена на рис.10.

Рис. 10.

Переменный ток в цепи с электроемкостью.

Подадим переменное напряжение на обкладки конденсатора С, причем сопротивление и индуктивность подводящих проводов будем считать бесконечно малыми. Схема цепи представлена на рис. 11.

Рис. 11.

Напряжение на конденсаторе будет равно внешнему напряжению: . (16)

По определению, сила тока:

. (17)

, или . Величина Х_С = называется реактивным емкостным сопротивлением.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от текущего через емкость тока (17) на (рис.12 ).

Рис. 12.

Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление.

Рассмотрим цепь, составленную из сопротивления R , емкости С и индуктивности L. Подадим на концы этой цепи напряжение

U_mcoswt . В цепи возникнет переменный ток той же частоты w, амплитуда и фаза которого, как мы видели в случае колебательного контура, определяются параметрами цепи R, C, L. Этот ток вызовет на активном сопротивлении падение напряжения U_R , фаза которого совпадает с фазой тока (рис.13).

Рис. 13.

Падение напряжения на индуктивности и емкости отложены по вертикали, с учетом сказанного ранее. Падения напряжений U_R, U_L, U_C в сумме должны быть равны приложенному напряжению U. Поэтому, сложив векторы U_R, U_L и U_C мы получим вектор, показывающий U, а его длина равна U_m. Этот вектор образует с осью токов угол φ, тангенс которого равен:

tg φ = .

Этот угол φ показывает разность фаз между напряжением U и силой тока I. Из рис. 13 видно, что:

.

Откуда

Итак, если напряжение на зажимах цепи U_mcoswt , то в цепи течет ток I = I_mcos(wt -φ) .

Величина Z= называется полным сопротивлением цепи.

Величина X= называется реактивным сопротивлением. Таким образом,

Z = .

Ток в цепи отстает от напряжения (φ>0) или опережает его (φ < 0) в зависимости от соотношения между . Если

, изменения тока и напряжения происходят синфазно. Сила тока в этом случае максимальна. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению. Частота, при которой это происходит, называется резонансной частотой. При этой частоте напряжения на емкости и на индуктивности равны по амплитуде и противоположны по фазе .

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока.

Мнгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мнгновенных значений напряжения и силы тока. С помощью тригонометрических преобразований можно получить выражение:

P(t) = .

Среднее по времени значение мощности Р= , так как среднее по времени от равно нулю. Из рис. 13 видно, что .

Отсюда P = , такую же мощность развивает постоянный ток I = . Эта величина получила название действующего или эффективного значения силы тока. Аналогично: U = - действующее значение напряжения. С использованием действующих значений средняя мощность выглядит так: P = U Icosφ .

Приборы, работающие на переменном токе, встречаются во всех областях нашей жизни: при передаче энергии от источника потребителю, в генераторах переменного тока, трансформаторах. В технике часто стремятся сделать cosφ как можно больше для выделения необходимой мощности.