Зачёт. Вопросы

Тема 1: Введение в теорию дифференциальных уравнений

1. Дифференциальное уравнение, изоклины, графическое описание

2. Примеры систем, описываемых дифференциальными уравнениями

3. Классификация ДУ, решение дифференциального уравнения

4. Приложения дифференциальных уравнений в оценке пределов роста

Тема 2: Однородные уравнения

1. Общий вид однородного уравнения

2. Решение однородных уравнений методом Эйлера

1. Решение при вещественных корнях

2. Решение при комплексных корнях

3. Решение при равных корнях

3. Линейно зависимые функции

4. Признак линейной независимости

5. Определение постоянных интегрирования

6. Задача Коши

Тема 3: Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа и неопределённых коэффициентов

1. Общий вид неоднородного уравнения

2. Разделение общего решения неоднородного на сумму общего однородного и частного неоднородного

3. Поиск общего решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов

4. Поиск общего решения неоднородного уравнения методом Лагранжа (вариации произвольных постоянных

5. Метод Лагранжа для общих случаев

6. Принцип наложения

Тема 4: Системы однородных линейных дифференциальных уравнений

1. Общий вид линейной системы от 2-х переменных

2. Преобразование линейной системы n-го порядка в дифференциальное уравнение n-го порядка

3. Решение линейной системы методом Эйлера, аналогично для трех видов корней характеристического многочлена

Тема 5: Линейные неоднородные системы ОДУ с постоянными коэффициентами

1. Решение линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации произвольных постоянных. Вронскиан системы.

2. Поиск коэффициентов через матрицу фундаментальных решений

3. Недостатки использования метода Лагранжа

4. Примеры на решение систем методом Лагранжа

5. Метод Даламбера

Тема 6: Теория устойчивости

1. Влияние небольших изменений начальных условий на структуру решения дифференциального уравнения

2. Опорные траектории

3. Качественные методы, их смысл

4. Пригодность дифференциальных уравнений для оценки систем

5. Теория устойчивости, ее основоположник А.М, Ляпунов

6. Определения устойчивости Ляпунова

7. По Ляпунову: устойчивая система, асимптотически устойчивая и неустойчивая

8. Общая структура базовой траектории относительно точек покоя, которые определяются характеристиками опорной траектории

9. Отклонение возможной траектории от опорной

10. Исследование траекторий в окрестности точек покоя

11. В зависимости от корней лямбда:

1. Структура устойчивый узел, асимптотически устойчивая

2. Структура неустойчивый узел, асимптотически неустойчивая

3. Структура седло, только в покое асимптотически устойчивая

4. Структура колебаний с постоянной амплитудой

5. Структура колебаний с уменьшением амплитуды, фокус устойчивости

6. Структура колебаний с возрастающей амплитудой, фокус неустойчивости

7. При кратных корнях устойчивый узел

8. При кратных корнях неустойчивый узел

12. Примеры реализации структур

13. Определение устойчивости по 1-му приближению (1-й метод)

14. Определение устойчивости для нелинейных систем

Тема 7: Продолжение темы методов Ляпунова

1. «Прямой» метод Ляпунова (2-й метод)

2. Функция Ляпунова и ее проекция

3. Определение устойчивости по функции Ляпунова

4. Правило построение функции Ляпунова для автономных систем ДУ, определение автономной системы

5. Правило построения для неавтономных

6. Выводы о эффективности оценки устойчивости функцией Ляпунова

7. Примеры определения устойчивости по функции Ляпунова

8. Рассмотрение более сложных систем с параметром альфа

9. Различные функции Ляпунова для одной и той же системы.

10. Классы систем ограниченного роста

11. Характеристики динамических систем, функция Гамильтона

Тема 8: Устойчивость линейных динамических систем с постоянными коэффициентами. Критерий Раусса-Гурвица и Михайлова

1. Определение устойчивости системы по положительности действительной части корня

2. Поиск критериев определяющие устойчивость без нахождения корней

3. Критерий Р.-Гурвица

4. Необходимое и достаточное условия отсутствия положительных действительных корней.

5. Геометрический критерий Михайлова

6. Кривая Михайлова

Тема 9: Разностные уравнения, построение моделей описывающих дискретные процессы

1. Правильные покрытия плоскости, примеры. Условие равенства вторых конечных разностей.

2. Решение разностных уравнений через конечные разности в зависимости от х-кого корня:

1. Для действительных корней

2. Для комплексных корней

3. Для кратных корней

3. Нахождение неизвестных постоянных

4. Отыскание амплитуды колебания (декремента Менделеева), скорость затухания процесса

5. Примеры моделей

1. Пример закон (правила) Тициуса-Боде

2. Пример ритмы Тимея

Тема 10: Неоднородные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Определение общего вида частного решения неоднородного разностного уравнения:

1. Определение корней характеристического уравнения

2. Сравнения неоднородной части с корнями

3. Общий вид частного решения

4. Отыскание значений неопределенных коэффициентов

2. Примеры на решение неоднородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами

3. Дифференциальные и разностные уравнения

4. Решение методом вариации произвольных постоянных

Тема 11: Системы линейных разностных уравнений

1. Общий вид систем РУ и метод ее решения

2. Вид решений в зависимости от корней характеристического уравнения

3. Примеры решения систем РУ

4. Задачи, в которых требуется найти вид разностного уравнения для последующего рекуррентного вычисления динамики процесса

5. Примеры решения задач на отыскание вида разностного уравнения

6. Практическое приложение правильных покрытий плоскости

Тема 12: Качественные методы анализа характеристик разностных уравнений

1. Устойчивость разностных уравнений

2. Условия устойчивости: устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые

3. Преобразование Мизеса

4. Неустойчивые системы

5. Оценка метода Раусса-Гурвица при определении устойчивости систем высших порядков

6. Метод Михайлова определения устойчивости систем РУ высших порядков

Тема 13: Устойчивость положения равновесия разностного уравнения (продолжение)

1. Критерий устойчивости линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами

2. Характеристики устойчивости Гурвица и Михайлова для линейных РУ

3. Характеристики устойчивости для нелинейных РУ

4. Бифуркация

5. Логистическая модель

Тема 14: Решение нелинейных разностных уравнений

1. Метод замены переменных для ряда нелинейных разностных уравнений, с целью сведения к одному или нескольким линейным

2. Примеры решения методом замены переменных

3. Метод перехода к системе линейных уравнений.

4. Примеры решения методом перехода к системе линейных уравнений

5. Общий вид решения разностных уравнений с коэффициентом M и степенью альфа.

6. Разностное уравнение, представленное как

Тема 15: Перевод моделей в разностные модели для реализации алгоритмов вычисления

1. Алгоритмы перевода моделей

2. Экспоненциальные функции. Реализация рекуррентной процедуры вычисления характеристики процесса.

3. Экспоненциальные функции от уровня. Смещение аргумента на постоянный интервал тау

4. Пример: модель логистического роста

5. Пример: логистическая модель

6. Степенные функции

7. Использование перехода к дискретным функциям

8. Гипербола общего положения (смещенная гипербола)

9. Возможности перевода моделей. Фундаментальная проблема оценки реализуемости характеристик процессов определением пределов применимости зависимостей. Анаморфоза.

Тема 16: Системы запаздывания

1. Понятие релаксации, лага, запаздывания

2. Определение системы запаздывания и способы изменения развития системы

3. Определение вида изменения системы при определенном этапе развития

4. Критические точки, прогнозирование их характеристик

5. Приложение систем запаздывания

6. Механизмы опережающего отражения действительности