КР1_Вариант_4
.docxБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФКСиС
Специальность ПОИТ
Контрольная работа №1
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант 4
Выполнил студент: Бордон Е.С.
группа 991051
Зачетная книжка № 99105004
Минск 2021
Задача 1. Случайные события. Вероятность события
Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что выпадут одинаковые числа.
Решение
Число всех возможных комбинаций игральных костей равно , где - количество цифр в на игральных костях. Комбинации с одинаковыми цифрами 11, 22, 33, 44, 55, 66. Следовательно, число комбинаций с одинаковыми цифрами . Вероятность того, что все цифры одинаковы:
Ответ:
Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; p4 = 0,4; p5 = 0,5 p6 = 0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдёт со входа на выход.
Решение
Значение безотказной работы элементов:
Элементы 1, 2 соединены последовательно.
Вероятность прохождения сигнала:
Ответ:
Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.
Решение
По условию задачи:
;
По формуле:
Ответ:
Задача 4. Формула Бернулли
Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение
Найдем наивероятнейшее число выпадения 6:
Ответ:
Задача 5. Дискретная случайная величина
В задаче дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в табл.). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. (Вариант 4)
Решение
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Определяем функцию распределения:
Строим график:
Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента
В задачах (условия приведены в табл) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y). Вариант 4.
Решение
Построим график функции Y=|x+1|+2 для x в интервале [-2,0] и определим диапазон значений Y: Y[0; 3]
Выделим интервалы по оси у в зависимости от кол-ва обратных функций n = 0
n = 2
n = 0
Выделим интервалы по оси Y, на которых обратных функций нет:
у є (-∞;2) U (3; ∞) n=0
Находим плотность вероятности равномерного закона распределения с.в. Х:
Для каждого интервала находим обратные функции и их производные:
Находим для каждого интервала плотность вероятности величины Y:
Запишем плотность вероятности величины Y от плотности вероятности для всех интервалов:
Ответ:
Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных
величин
В задаче вычислить математическое ожидание и дисперсию
величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции RUV:
Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. Вариант 4
Решение
Вычислим математические ожидания U и V:
mu= –6+2m1+6m2 = –6+2*1+6*4 = 20;
mv= 5–6m2 + 2m3=5–6*4+2*2 =-15;
Вычислим дисперсии DU и DV:
Du=22 D1+36 D2+2*2*6*K12=4*1+36*9+2*2*6*1,5=364;
Dv=(-6)2 D2+22 D3+2*(-6)*2* K23=36*9+4*4+2*(-6)*2*3=268;
Рассчитаем корреляционный момент KUV по формуле:
KUV= M[UV] − mUmV;
M[UV]=M[(–6+2X1+6X2)( 5–6X2+2X3)]=
=M[–30+36X2-12X3+10X1-12X1X2+4X1X3+30X2-36X2X2 +12 X2X3]=
= –30+36m2–12m3+10m1-12M[X1X2]+ 4M[X1X3]+30m2 - 36M[X2X2]+ +12 M[X2X3]= –30+36m2–12m3+10m1-12(m1m2+K12)+ 4(m1m3+K13) +30m2 - 36M(m22+D2)+ 12(m2m3+K23) = –30+36*4–12*2+10*1–12(1*2+1,5)+ 4(1*2+1)+ 30*4-36(42+9)+12(4*2+3) = –578.
Таким образом
KUV= –578 –(20*(-15))= –278;
Определяем величину RUV:
Ответ: mu =20; mv =-15;
Du =364; Dv =268;
KUV =–278; RUV =-0,89008;