Все за 2й курс / лекция 8

ЛЕКЦИЯ 8.

РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§ 8.1 СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

Материал также изложен в учебнике §15.2, §15.3.

Напомним, что в лекции 7 рассматривался вопрос о решении краевой задачи:

найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго порядка внутри отрезка и дополнительным (граничным) условиям в концах отрезка:

(8.1)

§ 8.1 Основные теоремы о разрешимости и устойчивости задачи.

Всюду далее будем рассматривать более простую задачу с коэффициентом :

(8.2)

Введем дифференциальный оператор . Тогда задача (8.3) в операторном виде запишется так:

(8.3)

Приведем без доказательства известные из теории дифференциальных уравнений результаты о разрешимости задачи и гладкости ее решения.

Теорема 8.1 (существование и единственность решения) Пусть коэффициенты , . Тогда решение краевой задачи (8.3) существует и единственно, а функция .

Теорема 8.2 (принцип максимума). Пусть - решение задачи (8.3). Тогда если

, , , то .

Физический смысл теоремы состоит в том, что если присутствуют источники тепла и температура торцов стержня неотрицательна, то ни в одной из внутренних точек стержня температура не может стать отрицательной.

Теорема 8.3 (априорная оценка). Справедлива следующая оценка решения краевой задачи

(8.4)

Оценка (8.4) называется априорной оценкой. Она оценивает решение через входные данные задачи.

Рассмотрим вопрос об устойчивости задачи. Пусть - решение задачи (8.3), а - решение краевой задачи:

Здесь , , .

Теорема 8.4 (устойчивость задачи). Справедлива оценка

(8.5)

Доказательство теоремы вытекает из априорной оценки (8.4)

и линейности задачи.

Устойчивость задачи следует из (8.5) таким образом: если погрешности входных данных , то .

Теперь рассмотрим аналоги этих теорем для дискретной задачи – так называемой разностной схемы.

Для простоты рассматривается случай, когда коэффициент теплопроводности

k(x)=1.

Приведем разностную задачу для задачи (8.1) и будем ссылаться на нее

как на задачу (8.2).

(8.7)

где ,

ТЕОРЕМА 8.5. Решение разностной схемы (8.7) существует и единственно.

Было доказано в лекции 7.

ТЕОРЕМА 8.6 (принцип максимума для разностной схемы) . Пусть сеточная функция является решением разностной схемы (8.7). Тогда если , , , то и .

ТЕОРЕМА 8.7(априорная оценка решения). Для решения разностной схемы (8.7) справедлива априорная оценка:

(8.8)

Пусть - решение дифференциального уравнения .

Определение. Назовем сеточную функцию погрешностью аппроксимации разностного уравнения

, (8.9)

Подчеркнем, что сеточная функция определяется в узлах сетки как разность между

правой и левой частью уравнения при подстановке точного решения u в уравнение (8.7) . Из определения следует, что справедливо равенство:

,

означающее, что функция u удовлетворяет разностному уравнению (8.7) с точностью до погрешности аппроксимации.

Определение. Будем говорить, что разностное уравнение (8.7) аппроксимирует дифференциальное уравнение с m-м порядком (m>0), если .

ТЕОРЕМА8.8. (оценка погрешности аппроксимации). Пусть коэффициенты q и f дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b]. Тогда дифференциальное уравнение аппроксимирует разностное со вторым порядком точности по h. При этом справедлива оценка:

, (8.10)

Доказательство: В силу предположения о q и f функция u(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную (см. теорему 8.1.) В силу определения погрешности аппроксимации имеем:

где - погрешность аппроксимации производной ее разностным аналогом. Окончательно,

(8.12)

ч.т.д.

Рассмотрим вопрос об устойчивости разностной схемы. Наряду с исходной разностной схемой рассмотрим «возмущенную задачу»:

где , , .

Определение. Будем называть разностную схему устойчивой, если справедлива оценка:

(8.13)

ТЕОРЕМА 8. 9. (устойчивость р. с.) Разностная схема устойчива.

Доказательство. Заметим, что сеточная функция является решением разностной схемы:

Применим к задаче априорную оценку (9.3), тогда получим оценку (8.13).

ч.т.д.

Дадим базовое определение сходимости разностной схемы.

Определение. Будем называть погрешностью разностной схемы сеточную функцию , принимающую значения в узлах сетки .

Определение. Будем говорить, что разностная схема сходится при , если

и сходится с m-м порядком точности по h если .

где C – некоторая постоянная, не зависящая от h.

ТЕОРЕМА 8.10 (сходимость р.с.) Пусть коэффициенты q и f дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b]. Тогда разностная схема сходится со вторым порядком точности по h. При этом справедлива оценка:

, (8.14)

где

Доказательство. Введем сеточную функцию , значения которой в узлах сетки совпадают с точными значениями решения краевой задачи: . Тогда функция является решением следующей задачи:

,

где , , .

В силу теоремы об устойчивости (9.3) справедлива оценка (9.7):

Применяя теорему об аппроксимации разностной схемы и оценку (9.5), получим оценку (9.8).

Оценка погрешности по правилу Рунге. На практике чаще используются апостериорные оценки погрешности, использующие расчеты на сгущающихся сетках.

Пусть и - решения разностной схемы, соответствующие шагам h и 2h. Тогда в соответствии с правилом Рунге при определенных условиях справедлива приближенная формула:

, . (8.15)

Формула (8.15) применима только в узлах сетки , то есть там, где определены обе сеточные функции и .

§ 8.2 Построение разностных схем методом конечных разностей.

(8.2)

, i=1, …N-1

(8.7)

…..

Введем матрицу системы и вектор правой части:

,

Тогда систему можно записать в матричной форме: Au=f

Рассмотрим краевую задачу с более сложным дифференциальным уравнением:

Метод конечных разностей состоит в замене производных их разностными аналогами.

A) , i=1,..N-1

, .

B)

i=1,..N-1

, .

Разница состоит в матрице системы уравнений и порядке аппроксимации схем.

Рассмотрим случай А) Перепишем систему . Сначала запишем уравнение так:

Затем соберем подобные члены:

Тогда система уравнений будет выглядеть так:

Вектор f:

Для случая B) представим окончательный результат: Au=f

Вектор f остается без изменений. В случае B) cхема второго порядка аппроксимации.

§ 8.3. Материалы к ЛР 7.

Задача 7.2. Промоделировать стационарное распределение температуры в стержне в зависимости от правой части уравнения (внешнего источника тепла).

(7.2)

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Найти аналитическое решение задачи при f(x)=0, то есть в отсутствии источника тепла.

2. Cоставить разностную схему, выписать коэффициенты матрицы системы уравнений и коэффициенты правой части для задачи (7.2).

3. Провести расчёт по разностной схеме с шагом .

4. Построить графики аналитического решения и приближенного решений при f(x)=0. Найти погрешность полученного приближения.

Промоделировать распределение температуры в зависимости от источника тепла :

5. Пусть источник мощности помещается в точку с на отрезке [a,b], то есть

плотность источника задается формулой: . Найти приближенное решение задачи при шаге .

6. Подобрать мощность таким образом, чтобы в выбранной точке c значение температуры увеличилось бы примерно в 3 раза.

7. Построить три графика распределения температуры: при f(x)=0, f(x) c первоначальной мощностью , и график температуры из п. 6.

8. Оформить отчет по задаче.

Рассмотрим выполнение п.1-2.

- однородное уравнение.

Составляем характеристическое уравнение: . Корнями уравнения являются

Значения , Общим решением дифференциального уравнения будет функция:

. Для нахождения констант С1 и С2 воспользуемся граничными условиями:

=ub

Решая систему уравнений, найдем коэффициенты С1 и С2.

Если рассматривается неоднородное уравнение, то решить аналитически краевую задачу для произвольной правой части не удается. Будем решать ее численно.

Разностная схема для задачи готова – это СЛАУ ( 8.7). Остается найти решение СЛАУ.