Все за 2й курс / Лекция 12
.docx
Лекция 12 . Применения метода конечных разностей для решения
нестационарных задач математической физики.
Литература к лекции. [1] Казенкин К.O., Амосова О.А.. Численное решение задач математической физики. Нестационарные уравнения .М: Изд-во МЭИ, 2016.
§ 12.1 Семейство разностных схем с весами.
Продолжим рассматривать построение разностных схем для первой краевой задачи с постоянными коэффициентами для уравнения теплопроводности.
(12.1)
Рассмотренные выше схемы (явная и неявная ) имели порядок аппроксимации .
Кажется вполне логичным, заменить производную по t центральной разностной производной и тем самым получить 2-ой порядок аппроксимации по : .
(12.2)
Оказывается, что эта схема непригодна, так как она является абсолютно неустойчивой.
Если исследовать схему на устойчивость методом гармоник, то получим следующее характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения равны:
Один из корней всегда по модулю больше 1.
Обычно поступают иначе.
Применяют семейство схем с весами.
(12.3)
Где - параметр.
При имеем явную схему,
имеем чисто неявную схему,
имеем симметричную схему,
имеем схему повышенного порядка аппроксимации ,
.
Известно, что все схемы с абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации также является абсолютно устойчивой РС. При РС являются неявными схемами. Для нахождения решения на каждом временном слое требуется решать систему уравнений . Обычно мы решаем методом прогонки.
Заметим, что при этом используется “шеститочечный шаблон”.
§ 12.2 Двумерная задача теплопроводности.
Рассмотрим задачу о нагревании прямоугольной пластины.
, , (12.4)
,
Здесь прямоугольник, - граница прямоугольника.
Введем разностные операторы:
Тогда разностная схема примет вид:
(12.5)
Формулы (12.5) определяют явную разностную схему. Решение во всех внутренних точках находится по формулам:
Недостатком этой схемы является условная устойчивость: схема устойчива при соотношении шагов: . Пусть h=0.01. Тогда . Чтобы получить решение в t=T=1 нужно сделать 40000 шагов по времени. Это неприемлемое число арифметических действий.
Неявная разностная схема – абсолютно устойчивая.
12.6)
На каждом временном слое нужно решать систему уравнений, содержащую неизвестных.
Начиная с 50-х годов 20 века стали развиваться методы, основанные на сведении многомерной задачи к последовательности одномерных задач. Эти методы сочетают в себе положительные стороны явной и неявной схемы: абсолютную устойчивость и простоту решения. Рассмотрим так называемый метод переменных направлений. В этом методе переход от слоя m к слою m+1 осуществляется в два этапа: вводится дополнительный слой и уравнение разбивается на два:
(12.7)
На втором этапе , пользуясь найденными значениями находим из системы уравнений:
(12.8)
Уравнение (12.7) является неявным по первой переменной, а второе уравнение – по переменной .
Рассмотрим подробно первое уравнение системы:
Приведем уравнение к стандартному виду:
, где
При каждом фиксированном j=1,2,..N1 методом прогонки по i решаем СЛАУ . После того как найдены значения решаем следующие уравнения:
Также методом прогонки.
Приведем для сравнения число арифметических действий, требуемых для решения сеточных уравнений. Здесь N1=N2=N.
|
Явная схема |
Неявная схема |
Метод переменных направлений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 12.3. Применение метода конечных разностей для уравнения колебаний струны.
Рассмотрим еще один пример – начально-краевая задача для уравнения колебаний струны.
.
Методом разделения переменных можно найти аналитическое решение задачи.
Оно имеет вид:
.
Перейдем к построению разностной схемы: возьмем , , обозначим .
Тогда разностная схема примет следующий вид:
k=1,..n-1
k=1,..n-1
, k=1,..n-1
Результаты вычислений на нескольких временных слоях приведены в следующей таблице
( для удобства в таблицу внесены значения не во всех точках полученного массива):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1.5388 |
1.5388 |
1 |
0.3633 |
-0.3633 |
0 |
|
0 |
0.4143 |
0.6716 |
0.7070 |
0.6732 |
0.4168 |
0 |
|
0 |
-0.9512 |
-0.5879 |
-0.0002 |
0.5876 |
0.9510 |
0 |
|
0 |
-0.4144 |
-0.6718 |
-0.7072 |
-0.6734 |
-0.4169 |
0 |
Сравним с аналитическим решением в тех же точках:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1.5388 |
1.5388 |
1 |
0.3633 |
-0.3633 |
0 |
|
0 |
0.4156 |
0.6725 |
0.7071 |
0.6725 |
0.4156 |
0 |
|
0 |
-0.9510 |
-0.5878 |
0 |
0.5878 |
0.9511 |
0 |
|
0 |
-0.4156 |
-0.7071 |
-0.7071 |
-0.6725 |
-0.4156 |
0 |
Ниже приведены профили струны в тех же точках по времени, что и в таблице. Так как решения различаются мало, то графики построены по массиву точного решения.