Мустафакулова Г.Н. / Лекция 11
.pdf
|
|
|
ТОЭ (Лекция 11) |
Электрическая цепь с последовательным соединением |
|||
|
элементов R, L и C |
|
|
i |
R |
L |
C |
|
uR |
uL |
uC |
e |
u |
|
|
|
Рис. 47 |
|
|
Пусть в заданной схеме с последовательным соединением элементов R, L |
|||
и C (рис. 47) протекает переменный ток |
|
|
i Im sin t I Iej0 .
По 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получим уравнение в дифференциальной форме:
u uR |
uL |
uC |
iR L |
di |
|
1 |
idt . |
|
C |
||||||
|
|
|
|
dt |
|
То же уравнение в комплексной форме получит вид:
U UR UL UC IR I jXL I( jXC ) I(R jXL jXC ) IZ,
где |
Z R j(XL XC ) R jX |
Zej |
комплексное |
сопротивление, |
||||
X XL XC |
реактивное |
(эквивалентное) |
сопротивление, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
R2 (XL XC )2 |
модуль комплексного или полное |
сопротивление, |
|||||
arctg |
XL XC |
|
аргумент комплексного сопротивления или угол сдвига |
|||||
R |
||||||||
|
|
|
|
|
|
фаз между напряжением и током на входе схемы. При (XL XC) 0 фазный угол φ>0, при этом цепь в целом носит активно-индуктивный характер, а при (XL XC ) 0 и φ<0 – цепь в целом носит активно-емкостный характер.
Уравнение закона Ома для последовательной схемы будет иметь вид:
I |
U |
|
|
U |
в комплексной форме, |
|||||||
|
|
R j(XL XC ) |
||||||||||
|
|
Z |
||||||||||
I |
U |
|
|
|
U |
|
|
в обычной форме для модулей. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Z |
|
R2 (XL XC )2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UC |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
UL |
|
|
|
UR |
1
ТОЭ (Лекция 11)
Векторная диаграмма тока и напряжений при φ>0 показана на рис. 48. В рассматриваемой цепи на переменном токе будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование энергии в другие виды в резисторе R (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и
источником энергии (реактивный процесс).
2
ТОЭ (Лекция 11)
8. Электрическая цепь с параллельным соединением элементов R, L и С
|
i |
iR |
iL |
iC |
e |
u |
R |
L |
C |
Рис. 49
Пусть на входе схемы рис. 49 действует переменное напряжение: u Um sin t U Uej0
По 1-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получаем уравнение в дифференциальной форме:
i iR iL iC |
|
U |
|
1 |
idt C |
du |
R |
L |
dt |
То же уравнение в комплексной форме получит вид:
|
|
I IR IL IC |
U |
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
U |
(G jBL jBC ) |
U |
|
Y |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
jXL |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
jXC |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
где Y G j(BL BC ) G jB Ye j |
комплексная проводимость, G |
|
|||||||||||||||||||||||||
R |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
активная проводимость, BL |
|
|
реактивная индуктивная проводимость, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
XL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
BC |
1 |
реактивная емкостная проводимость, B BL BC |
|
реактивная |
|||||||||||||||||||||||
XC |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(эквивалентная) проводимость, Y |
|
G2 (BL BC )2 модуль комплексной |
|||||||||||||||||||||||||
проводимости или полная |
проводимость, arctg |
BL BC |
|
|
аргумент |
||||||||||||||||||||||
G |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексной проводимости или угол сдвига фаз между напряжением и током на входе схемы. При (BL BC) 0 и φ>0 – цепь в целом носит активно-
индуктивный характер, а при (BL BC ) 0 и φ<0 – цепь в целом носит
активно-емкостный характер. |
|
|
||||||
Уравнение закона Ома для параллельной схемы будет иметь вид: |
|
|||||||
I |
U |
|
Y |
U G j(BL BC ) |
в комплексной форме; |
|
||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
I U Y U G2 (BL BC )2 |
в обычной форме для модулей. |
|
||||||
Векторная диаграмма токов и напряжения при φ>0 показана на рис. |
||||||||
50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
U |
IC |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
IR IL
ТОЭ (Лекция 11)
На переменном токе в рассматриваемой цепи будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование электрической энергии в другие виды (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).
9. Активные и реактивные составляющие токов и напряжений
При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (приемники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из комбинации идеальных схемных элементов R, L и С.
Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активно-индуктив- ный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть представлен двумя простейшими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных элементов R и L: а) последовательной (рис. 51а) и б) параллельной
(рис. 51б):
I |
R |
XL |
I |
|
|
Ua |
Up |
Ia |
Ip |
|
|
|
||
U |
|
U |
G |
BL |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 51 |
|
|
Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства параметров режима на входе: U U U , I I I .
4
ТОЭ (Лекция 11)
Для последовательной схемы (рис. 51а) справедливы соотношения:
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
XL |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
U (R jXL ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
U |
Y , |
|||||||||||
|
|
R |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
XL |
2 |
2 |
|
XL |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
R jXL |
|
|
XL |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
U I Z I (R jXL ).
Для параллельной схемы (рис. 51б) справедливы соотношения:
I U Y U (G jBL ),
|
|
|
I |
U (G jB |
) |
|
G |
|
|
B |
L |
|
|
|
|||
U |
|
|
|
L |
|
I |
|
|
|
j |
|
|
|
I Z . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
G jBL |
G2 B |
2 |
|
G2 |
B |
2 |
|
G2 B |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между параметрами эквивалентных схем:
G |
R |
|
|
R |
|
, B |
X |
|
X |
, R |
G |
|
|
G |
, |
X |
B |
|
B |
. |
|||||||
R2 X2 |
Z2 |
R2 X2 |
Z2 |
G2 B2 |
|
G2 B2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|
Y2 |
||||||||||||||||
|
Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в |
||||||||||||||||||||||||||
общем случае |
R |
1 |
и B |
1 |
|
и соответственно |
R |
1 |
и |
X |
1 |
, как это |
|||||||||||||||
|
G |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
B |
|
|
|
имеет место для цепей постоянного тока.
Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.
Последовательной схеме замещения соответствует представление вектора напряжения в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Uа, совпадающей с вектором тока I, и реактивной составляющей Uр, перпендикулярной к вектору тока (рис. 52а):
+1 |
|
|
Up |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
+j |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) треугольник сопротивлений |
|||
а) треугольник напряжений |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 52 |
|
|
Из геометрии рис. 52а |
|
следуют |
соотношения: Uа U cos IR, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uр U sin IX , |
U |
Uа |
2 Uр |
2 |
|
I Z . |
|
|
Треугольник, составленный из векторов U , Uа , U р получил название треугольника напряжений (рис. 52а).
5
ТОЭ (Лекция 11)
Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются полное сопротивление Z, активное сопротивление R и реактивное сопротивление X. Треугольник со сторонами Z, R, X называется треугольником сопротивлений (рис. 52б). Из треугольника сопротивлений
следуют соотношения: R=Z cosφ, X=Z sinφ, Z |
|
, arctg |
X |
. |
|
R2 X2 |
|||||
|
|||||
|
|
|
R |
Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Iа, совпадающей с вектором напряжения U, и реактивной составляющей Iр, перпендикулярной к вектору U (рис. 53а):
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
Ip |
|
|
B |
||
|
|
|
|
||||
|
|
I |
G |
|
|
|
|
|
Ia |
|
|
|
Y |
||
|
|
|
|||||
+j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) треугольник токов |
б) треугольник проводимостей |
Рис. 53
Из геометрии рисунка следуют соотношения:
Ia I cos U G, |
Ip I sin U B, |
I |
Ia |
2 Ip |
2 U Y . |
Треугольник, составленный из векторов I, Ia, треугольника токов (рис. 53а).
Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются проводимости: полная – Y, активная G, реактивная – B (рис. 53б). Треугольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:
G Y cos , |
B Y sin , |
|
|
|
arctg |
B |
. |
|
Y |
G2 B2 , |
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета сравнительно несложных цепей переменного тока.
6