Типовой расчет Кибернетика (ИИИ) 4 вар
.doc
Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
III семестр
Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики
Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»
https://www.zachet.ru/reshebnik-kontrolnogo-zadaniya-po-matematicheskomu-analizu-iii-semestr-kibernetika-mgtu-mirea/
Наша группа вКонтакте
https://vk.com/zachet_ru
URL в Google+
https://plus.google.com/+ZachetRu_channel
https://twitter.com/zachet_ru
С Уважением,
https://www.zachet.ru/
Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
III семестр
Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики
Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»
Вариант 4
Задача 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
а) ; б) .
Решение.
а) Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Первое условие выполняется, так как . Второе условие тоже выполняется, т.к. . Значит, ряд сходится.
б) Для этого ряда необходимое условие сходимости не выполняется: , значит, ряд расходится.
Задача 2. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.
Решение.
Рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин данного ряда . Для этого ряда необходимое условие сходимости выполняется: . Известно, что ряд – расходится. Так как , , то по второму признаку сравнения рядов, ряд расходится.
Рассмотрим знакочередующийся ряд . По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Первое условие выполняется, так как . Второе условие тоже выполняется, т.к. . Значит, ряд сходится.
Таким образом, ряд является условно сходящимся.
Задача 3. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости. .
Решение.
По признаку Даламбера получим
, т.е. радиус сходимости .
Интервал сходимости найдем из неравенства . Отсюда, .
При получим: . Для этого ряда необходимое условие сходимости не выполняется: , значит, ряд расходится.
При получим: . Это знакопеременный ряд. По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Второе условие не выполняется, т.к. . Значит, ряд расходится.
Таким образом, ряд сходится при .
Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти .
а) , ; б) , .
Решение.
а) .
.
, .
, .
, .
, .
…
, .
Таким образом, .
.
б) .
.
, .
, .
, .
, .
…
.
Таким образом, .
.
Задача 5. Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.
, .
Решение.
Рассмотрим ряд , причем при . Так как ряд сходится, то данный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно.
Задача 6.
а) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. построить график второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?
б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
в) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее на полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
, .
Решение.
а) Ряд Фурье по косинусам имеет вид , где .
Найдем эти коэффициенты:
.
.
Получаем, .
Равенство Парсеваля: .
б) Ряд Фурье по синусам имеет вид , .
Найдем эти коэффициенты:
.
Получаем, .
в) Ряд Фурье имеет вид , , .
Найдем эти коэффициенты:
;
;
.
Получаем, .
Задача 7. Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны длины , закрепленной на концах: и удовлетворяющей следующим начальным условиям: , .
; , .
Решение.
По методу Фурье уравнение имеет следующее решение:
.
Постоянные и можно найти, используя краевые условия:
, ;
, , , где .
При найденных значениях получаем , или , т.к. каждому значению отвечают свои постоянные и , а постоянную включаем в и .
Таким образом, .
Решение должно удовлетворять начальным условиям:
, .
, , .
, откуда .
Таким образом, .
Задача 8. Найти приближенное решение задачи Коши , , . Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой , содержащей член ряда, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды – знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила при .
, .
Решение.
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда .
Тогда , .
Подставляя , и в исходное уравнение, получим
.
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями :
.
Приравнивая коэффициенты при , а также приравнивая нулю все остальные коэффициенты полученного ряда, находим:
, , , … , , где . Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты искомого разложения.
Т.к. , то , т.е. .
Т.к. , то , т.е. .
Найдем коэффициенты: , ,
, , .
Тогда . .
При член ряда равен ;
— .
Таким образом, с погрешностью .
Задача 9. Приближенно вычислить определенный интеграл. Для вычисления интеграла функцию разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать , и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.
.
Решение.
Т.к. разложение в ряд имеет вид , то получим
.
Найдем такой член ряда, модуль которого не превосходит :
: , : ,
: , : ,
: , : .
Тогда .
Задача 10. а) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность ) следующей функции (сигнала)
б) Продолжить периодическую функцию (сигнал) с интервала на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.
Решение.
а)
.
б) Ряд Фурье имеет вид , где , .
Найдем эти коэффициенты:
;
;
.
Получаем, .
, .