Econometrics

Водночас окреме (індивідуальне) значення цих витрат міститиметься в ширшому інтервалі:

99,931 y0 201,309.

4.8. Оцінювання прогнозних можливостей моделі

Прогнозування залежної змінної на основі економетричної моделі потребує оцінювання прогнозних можливостей моделі.

Для такого оцінювання застосовують систему характеристик, які можна поділити на три групи:

абсолютні;

порівняльні;

якісні.

Усі три групи характеристик належать до так званих похибок прогнозу залежної змінної.

Абсолютні похибки прогнозу

1. М.Е. — абсолютний показник зміщення прогнозу:

M .E. 1 n yi y€i , n i 1

де n — кількість спостережень (i 1, n) ; yi , y€i — відповідно фактичні та розрахункові значення залежної змінної.

2.	М.А.Е. — середня абсолютна похибка прогнозу:
	M . A.E.	1		n		yi y€i				.
		n i 1
3.	М.S.E. — середньоквадратична похибка прогнозу:
	1	n		( yi y€i )			2	0,5
	M . S.E.							.
	n i 1

M.E., M.A.E., M.S.E. — перші літери відповідних англійських назв показників, що використовуються у світовій економетричній літературі.

Наведені щойно абсолютні показники якості прогнозу залежать від кількісного рівня залежної змінної, а тому не можуть бути вичерпними характеристиками якості прогнозу. При цьому

118

показник зміщення прогнозу істотно залежить від розміру сукупності спостережень, для якої перевіряються прогнозні можливості побудованої економетричної моделі. Чим більша сукупність спостережень, тим більше впевненості щодо наближення М.Е. до нуля, а отже, щодо відсутності зміщення прогнозу.

Розглянемо порівняльні показники оцінювання якості прогнозу.

1. М.Р.Е. — відносний показник зміщення прогнозу:

	1 n	yi y€i			100 .
M .P.E.
			yi
	n i 1

2. М.А.Р.Е. — середня відносна похибка прогнозу:

	1	n			yi y€i		100 .
M .A.P.E.
					yi
	n i 1

КТ — коефіцієнт невідповідності Тейла:

	n		( y		i	y€ )2
							i
							n
КT	i 1										.
		y2
	n						n	y€2
			i					i
		n						n
	i 1						i 1

Чим ближчі М.Р.Е. та коефіцієнт невідповідності Тейла до нуля, тим кращі прогнозні якості моделі. Рівень відносного показника М.А.Р.Е. та його тлумачення подано в табл. 4.3.

		Таблиця 4.3
№ з/п	Рівень М.А.Р.Е.	Висновки щодо прогнозу
1	Менше як 10%	Висока якість
2	10—20%	Досить добра якість
3	21—50%	Задовільна якість
4	Понад 50%	Незадовільна якість

119

До якісних оцінок точності прогнозу можна віднести такі показники, що дають можливість провести певний аналіз похибок прогнозу, які трапилися раніше, розкласти їх на окремі складові. Такий аналіз особливо важливий для тих змінних, які можуть циклічно змінюватися, коли необхідно прогнозувати не лише загальний напрям розвитку, а й поворотні точки циклу. У цьому разі середньоквадратична похибка прогнозу дає змогу дослідити:

частку зміщеності (В.Р.);

частку дисперсії (V.P.);

частку коваріації (С.Р.).

Очевидно, що в сумі ці частки мають дорівнювати одиниці. Подамо формули розрахунку кожної складової похибки про-

гнозу.

V.P.

np Sy 2

;

B.P.

ynp y 2

;

1 n

2

1 n

2

y€

y

y€

y

n i 1

i

i

n i 1

i

i

C.P.

2 1 R пр * Sy

.

1

n

y€

y

2

n i 1

i

i

У цих співвідношеннях np

— стандартна похибка прогнозу;

Sy — стандартна похибка фактичних значень залежної змінної; R— коефіцієнт кореляції; yпр — прогнозне значення залежної змінної.

Частка зміщеності показує наявність похибки в оцінці основної тенденції, тобто В.Р. > 0 лише тоді, коли середнє арифметичне значення прогнозів відрізняється від середнього арифметичного фактичних даних.

Частка дисперсії характеризує ступінь збігу стандартних відхилень прогнозу і фактичних значень, а отже, V.P.=0 в тому разі, коли дисперсії однакові. Звідси доходимо висновку, що цей показник відбиває відповідність ступеня нестійкості прогнозних значень фактичним даним.

Частка коваріації свідчить про ступінь взаємозв’язку між прогнозними і фактичними значеннями. Аналізуючи цей показник можна виокремити ті випадки, коли прогноз задовільний за першими двома показниками (В.Р. і В.Р.), але за наявності кова-

120

ріації характеризується взаємною компенсацію похибок для різних спостережень.

Приклад 4.5.

Оцінити прогнозні якості економетричної моделі, побудованої у прикладі 4.2.

Розв’язання. 1. Побудуємо економетричну модель на основі 16спостережень, скориставшись даними табл. 4.2.

Y 8,188 0,0195X1 0,259 X 2 0,421X 3 .

Зауважимо, що ця модель істотно відрізняється від моделі, побудованої на основі 20 спостережень (див. приклад 4.2), а також оцінки її параметрів відрізняються від оцінок розглянутої раніше моделі. Коли сукупність спостережень, як у даному разі, невелика, то зміна її завжди буде досить істотно впливати на зміну рівня оцінок параметрів моделі.

2. Підставивши в дану модель значення пояснювальних змінних за останні чотири місяці, дістанемо прогнозовані значення прибутку на ці місяці і запишемо фактичні:

y€17	52 ,64 ;	y17	59;
y€18	57,27;	y18	61;
y€19	58,73;	y19	62;
y€20	59,27;	y20	64.

3. Знайдемо відхилення цих розрахункових значень прибутку від фактичних:

u17 y17 y€17 6,36; u18 y18 y€18 3,76; u19 y19 y€19 3,27; u20 y20 y€20 4,73.

Як бачимо, усі значення відхилень (залишків) додатні. Звідси їх модулі та абсолютні значення однакові, а це означає, що збігатимуться М.Е. і М.А.Е., а також М.Р.Е. і М.А.Р.Е.

4. Обчислимо абсолютні та порівняльні характеристики оцінки прогнозних якостей економетричної моделі.

4.1. M.E. 6,36 3,73 3,27 4,73 4,52; 4

4.2. M.A.E. 4,52;

121

4.3. M.S.E.				6,362		3,732					3,272		4,732		4,67;
											4
				6,36			3,73				3,27		4,73
														100
4.4. M.P.E.				59			61				62		64			7,39;
											4
4.5. M.A.P.E. 7,39;
4.6.
				6,362 3,732 3,272 4,732
КТ											4							0,039.
		592 612 622 642								52,642 57,272 58,732 59,272
4													4

Аналізуючи здобуті характеристики, доходимо висновку, що побудована економетрична модель буде давати зміщений прогноз, а це означає, що залишки не є випадковими і ними не можна нехтувати, прогнозуючи прибуток за розглянутою моделлю. Зміщеність прогнозу характеризується порівняно великими значеннями похибок М.Е. та М.Р.Е. Наголосимо, що абсолютне зміщення М.Е. збігається з абсолютною похибкою прогнозу, а це означає, що точковий прогноз може бути зміщеним в бік збільшення.

Оскільки відносна похибка прогнозу М.А.Р.Е.=7,39% (що менше за 10%) і коефіцієнт Тейла наближається до нуля, економетричну модель можна використовувати для прогнозування, враховуючи зміщення прогнозу.

Зауважимо, що всі розраховані характеристики для оцінювання прогнознихможливостеймоделімаютьрозглядатисьсистемно, тобто робитивисновкинаосновілишеокремиххарактеристикнемаєсенсу.

4.9. Побудова економетричної моделі на основі покрокової регресії

Оцінювання параметрів економетричної моделі та її дисперсійний аналіз становлять загальний процес побудови моделі. Поєднанням цих дій було створено альтернативний метод оцінювання параметрів моделі 1МНК, що базується на елементах дисперсійного аналізу.

Згідно з елементарним тлумаченням взаємозв’язку між двома змінними за 1МНК, як правило, акцентують увагу на коефіцієнтах кореляції. При цьому неважко показати, що

122

a€1 ryx y ,

x

123

де ryx — парний коефіцієнт кореляції між у та х; y — середньо-

квадратичне відхилення залежної змінної; x — середньоквадра-

тичне відхилення незалежної змінної.

Отже, оцінка параметрів моделі прямо пропорційна до коефіцієнта парної кореляції. Аналогічні співвідношення виконуються і в загальному випадку.

А це означає, що оцінити параметри моделі можна через коефіцієнти кореляції: спочатку оцінити тісноту зв’язку між кожною парою змінних, а потім знайти оцінки параметрів економетричної моделі.

Залежність оцінок параметрів економетричної моделі та коефіцієнтів парної кореляції покладено в основу алгоритму покрокової регресії.

Опишемо цей алгоритм.

Крок 1. Усі вихідні дані змінних стандартизують (нормалізують):

		yi*	yi y	;	xij*	xij x j	,		(4.27)
			y			x j
де	y*	— значення нормалізованої залежної						змінної; x*	— зна-
	i							ij

чення нормалізованих пояснювальних змінних; x j — середнє значення j-ї пояснювальної змінної; y — середнє значення залежної змінної; y , x j — середньоквадратичні відхилення.

При цьому середні значення x*j і y* дорівнюють нулю, а дис-

персії — одиниці.

Крок 2. Знаходять кореляційну матрицю (матриця парних коефіцієнтів кореляції):

ryy

r* rx1y

rx2 y

...

rxm y

ryx1 rx1x1

rx2x1

...

rxm x1

ryx2 rx1x2

rx2x2

...

rxm x2

ryx3 rx1x3

rx2x3

...

rxm x3

...	r
...	ryxm
	x1xm		,	(4.28)
... rx2xm
...	...
...	r
	xm xm

де ryx j — парні коефіцієнти кореляції між залежною і пояснюва-

льними змінними;

rx j xk — парні коефіцієнти кореляції між пояснювальними змінними.

122

r

yi

y xij x j

,

i

n 1

yx j

y

x j

або

r

1

y* x*

,

yx j

n 1

j

де n — кількість спостережень;

r

xik xk xij

x j

i

,

n 1

x x

xk

x j

k

j

або

r

1

x* x* .

xk x j

n 1

k j

Крок 3. Порівнюючи абсолютні значення ryx j , вибирають

max{| ryx j |} . Найбільше ryx j вказує на ту пояснювальну змінну,

яка найтісніше пов’язана з y. За допомогою 1МНК знаходять оцінку параметрів цієї моделі:

*	€ *	,	(4.29)
y€	x j

де в€ — оцінка параметрів моделі, яка будується на основі нормалізованих даних.

Крок 4.	Серед тих, що залишилися, значень ryx j вибирають
max{| ryx j |}	і в модель вводять наступну незалежну змінну xl :
	*	€ *	€	*
	y€	1x j	2 xl

і т. д.

Якщо немає обмеження на введення в економетричну модель кожної наступної пояснювальної змінної, то обчислення виконуються доти, доки поступово не будуть введені в модель усі змінні.

Сума квадратів залишків така:

n	n	( y*i	y€*i )2 .
f ( j ) u*i 2
i 1	i 1

123

Тоді система нормальних рівнянь набере вигляду ратор оцінювання параметрів запишеться так:

€ 1 .

rxx ryx

Звідси мінімізації підлягає функція

€

n

(Y

*

€

*

€

*

€

*

€

*

2

min.

f ( j )

1 X1

2 X 2

3 X 3

... m X m )

i 1

Узявши похідну за кожною невідомою оцінкою параметра €

j

цієї функції і прирівнявши всі здобуті похідні до нуля, дістанемо систему нормальних рівнянь.

Система нормальних рівнянь для знаходження параметрів мо-

делі € у загальному вигляді запишеться так:

j

	ryx		€	€			€			... mrx x ;
			1	2rx x			3rx x
		1	€			2€1		€	3 1	€	m 1
ryx2			2rx1x2			2	3rx3x2			... m rxm x2 ;
			€			€			€	€		;
ryx			1rx x			2rx x		3		... mrx x
.		3	. .	1 3			2	3	. . . . .		m 3
					. . .						€
			€			€			€
ryxm			1rx1xm			2rx2xm			3rx3xm ... m.

Позначимо матрицю парних коефіцієнтів кореляції між пояснювальними змінними через rxx, а вектор парних коефіцієнтів кореляції між залежною і пояснювальними змінними — через ryx .

rxx € ryx , а опе-

(4.30)

Оскільки всі змінні нормалізовані, то оцінки параметрів €

j

показують порівняльну силу впливу кожної незалежної змінної на залежну: чим більше за модулем значення оцінки параметра

€, тим сильніше впливає j-та змінна на результат.

j

Зв’язок між оцінками параметрів моделі на основі нормалізованих і ненормалізованих змінних набере вигляду:

€	y
a€j j	x j	( j 1, m 1),			(4.31)
a€0	y a€j x j .
		j

Приклад 4.6. На основі статистичної інформації, наведеної у табл.4.2 (приклад 4.2), необхідно побудувати економетричну модель прибутку методом 1МНК, використовуючи алгоритм покрокової регресії.

124

Розв’язання. Нормалізуємо вихідні дані табл. 4.2 за формулами:

yi*	y	i	y	;	xij*	xij x j	.
		y				x j

Згідно з цими формулами необхідно мати середні значення змінних та їх стандартні відхилення.

Середні значення:

y 50,6;

x1 76,1;

x2 7,60;

x3 120,9.

Середньоквадратичні відхилення:

y 7,92;	x	11,52;	x	2	7,60;	x	3	10,98.
	1

Матриці нормалізованих змінних:

			1,47					1,22	1,43	1,53
			1,21					0,96	1,03	1,08
			1,59					1,66	2,08	1,99
			1,09					0,88	0,77	0,63
			0,83					0,62	0,64	0,45
			0,20					1,57	1,69	0,99
			0,83					0,36	0,11	0,17
			0,71					0,53	0,37	0,45
			0,33					0,10	0,15	0,63
Y	*		0,05		X	*		0,25	0,28	0,08
			0,20	;				0,08	0,02	0,28	.
								0,51	0,55	0,17
			0,43
			0,56					0,34	0,55	0,74
			0,81					0,10	0,81	0,74
			0,68					0,60	0,68	1,01
			0,43					0,43	0,41	0,83
			1,06					0,95	0,94	0,28
			1,31					1,38	1,20	1,19
			1,44					1,64	1,33	1,47
			1,69					1,81	1,20
										1,65

1. Побудуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції для всіх змінних моделі:

	1	0,909	0,898	0,913			0,909
	0,99	1	0,953
r*				0,913 ;		ryx		0,898	.
	0,898	0,953	1	0,924				0,913
	0,913	0,913	0,924
				1

125