Экзамен 2021 / Панков Пособие по ТВиМС часть 1

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования

Московский технический университет связи и информатики

К.Н. Панков

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 1

Учебное пособие

для обучающихся в бакалавриате по направлении. 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи

Москва 2021

Панков К.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Ч.1. Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2021. - 91 с.

В данном учебном пособии рассматриваются основные понятия теории вероятностей; классические и геометрические вероятности; условные вероятности; случайные величины и их числовые характеристики; основные законы распределения случайных величин; системы случайных величин; функции от случайных величин; предельные теоремы теории вероятностей. Теоретический материал изложен с многочисленными примерами.

Для подготовки бакалавров, обучающихся по направлению 270800 «Строительство».Учебное пособие ориентировано на обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи.

Ил. __, табл. __, список лит.__ назв.

Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол No __от __.__.____г.

Рецензенты:

© Московский технический университет связи и информатики, 2021

2

Введение

Предметом теории вероятностей является изучение математическим инструментарием наблюдаемых случайных явлений, которые характеризуются тем, что наблюдения над ними не всегда приводят к одним и тем же исходам, и

вто же время эти исходы обладают некоторой устойчивой частотой появлений.

Вкачестве примера можно рассмотреть подбрасывание монеты. Нельзя заранее предсказать исход эксперимента, но в большой последовательности испытаний выпадение каждой стороны монеты происходит примерно в половине случаев. К примеру, в XVIII-м веке французский естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707-1788) подбрасывал монету 4040 раз и получил 2048 раз выпадение герба, английский математик Чарльз Пирсон (1857-1936) произвел 24000 подбрасываний и получил 12012 гербов соответственно.

Как и любая другая математическая дисциплина, теория вероятностей начала оформляться как отдельная дисциплина тогда, когда стали появляться задачи, которые не могли решаться старыми, уже существующими методами.

Здесь надо сказать отдельное «спасибо» азартным играм. Именно подсчетом шансов в них занимались в XV-XVI веках итальянские математики Кардано, Лаголи, Тарталья и другие. Но возникновение теории вероятностей стоит отнести всё же к середине XVII века и связать с такими именами как Паскаль, Ферма, Гюйгенс, которые знакомы нам из курсов математического анализа и алгебры. Стоит упомянуть о Бернулли и Муавре, в работах которых уже появляется строгий математический подход.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами Лапласа, Пуассона, Гаусса. С конца XIX века центр развития теории вероятностей переходит в Россию Он связан с такими математиками как Чебышев, Марков, Ляпунов.

Наконец, современная нам теория вероятностей окончательно оформилась с выходом в 1933 году книги Андрея Николаевича Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей».

Начиная с двадцатых - тридцатых годов ХХ века в теории вероятностей бурно развивается один из ее основных разделов - теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайных величин, эволюционирующих во времени, в том числе и теория массового обслуживания

К двадцатым - тридцатым годам относится и зарождение математической статистики как отдельной математической дисциплины. В определенном смысле, математическая статистика занимается задачами, обратными к задачам теории вероятностей. Если основная цель теории вероятностей - подсчет вероятностей сложных событий для данной математической (вероятностной) модели, то математическая статистика ставит перед собой обратную задачу – выявление структуры вероятностно -статистических моделей по результатам наблюдений над теми или иными сложными событиями.

3

Тема № 1 Элементы теории множеств, комбинаторики и теории меры

Наша задача - рассмотреть некоторые элементы теории множеств, комбинаторики и теории меры в практическом приложении к теории вероятностей.

Теория множеств

Существует строгая (аксиоматическая) теория множеств. Мы будем пользоваться так называемой наивной теорией множеств, автором которой является Кантор. В этой теории основные понятия – элемент; множество; принадлежность элемента множеству; свойства, которыми элемент обладает или не обладает - вводятся не аксиоматически, а считаются понятными в силу здравого смысла. Это интуитивное понимание вырабатывается у человека на основе многочисленных примеров из личного опыта. Постулатами наивной теории множеств являются следующие основные принципы:

1.множество однозначно определяется набором составляющих его элементов;

2.множество может состоять из любых различных элементов;

3.любое свойство определяет множество объектов, которые обладают данным свойством.

Вматематическом анализе уже был введен язык записи высказываний, а также кванторы (для любого), (существует), обозначение принадлежности

, логические «И» , «ИЛИ» , «следует» , «тогда и только тогда» . Существует два способа задания множества:

1.перечислением элементов: A a1,...,an .

2. описанием с помощью свойства: A x X : x G A , где запись x G A

означает, что элемент x обладает свойством, задающим множество А. Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и

обозначается .

Определение. Объединением двух множеств А и В называют множество

A B x: x A x B .

Определение. Пересечением двух множеств А и В называют множество

A B x: x A x B .

Определение. Если A U , то дополнением к множеству А в множестве U

называется множество A U \ A.

Любое наше взаимодействие с окружающей средой и другими людьми можно рассматривать как эксперимент с теми или иными исходами. Следует

4

различать детерминированный эксперимент - результат которого можно заранее и обдуманно предсказать, и случайный эксперимент - тот, результат которого заранее, вообще говоря, предсказать нельзя.

Пример. Результат бросания монеты, игральной кости.

Определение. Множество всех возможных исходов (омега малое) случайного эксперимента называется пространством элементарных событий и обозначается (омега большое); возможные исходы эксперимента - , лежащие в пространстве элементарных событий, , называют

элементарными событиями или элементарными исходами.

В одном и том же эксперименте пространство элементарных событий мы можем выбрать по-разному, в зависимости от решаемой задачи. Пространство элементарных событий определено в общем случае неоднозначно.

Пример. При броске игрального кубика пространство элементарных событий можно выбрать и как 1,2,3,4,5,6 , и как even,odd , где even - выпадение

четной грани кубика, а odd - нечетной.

Определение. Пространство элементарных событий называется дискретным, если оно не более, чем счетно (конечно или счетно).

Примеры. 1. Эксперимент заключается в бросании монеты до появления первой решки. {Р,ГР,ГГР,ГГГР… }, где - случай, когда решка вообще не появится, - пример дискретного пространства элементарных событий.

2. Эксперимент заключается в том, что в единичном круге на декартовой

5

В математическом анализе А называется измеримым множеством. Пример. Рассмотрим бросание игрального кубика. Пусть

1,2,3,4,5,6 , A = P .

Тогда A 1,3,5 A - случайное событие, состоящее в выпадении нечетной грани, B 5,6 A - случайное событие, состоящее в выпадении грани, большей

четырех.

Определение. Пусть A A - случайное событие. Говорят, что событие A

наступило или произошло в результате эксперимента, если эксперимент завершился элементарным событием , принадлежащим А, т.е. A.

Пример. Пусть в условиях предыдущего примера мы получим следовательно, событие A 1,3,5 произошло, B 5,6 - не произошло.

Определение. как элемент -алгебры называется достоверным событием, так как происходит при каждом осуществлении эксперимента.

Определение. A называется невозможным событием, так как не может наступить ни при каком исходе эксперимента.

Одним из способов наглядного представления событий является отождествление их с множествами точек плоских фигур, например, с множествами точек кругов или прямоугольников, которые размещаются внутри другой фигуры, отождествляемой с достоверным событием. Такие представления называются диаграммами Венна.

Пусть A A,B A - случайные события.

Определение. Говорят, что А влечет за собой В, если

A B

Определение. Событие С называют объединением А и В, если С наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А или событие В:

C A B A B : A B .

6

Определение. Событие С называют пересечением А и В, если событие С наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А и событие В:

C A B A B AB : A B .

Определение. Событие С называют разностью А и В, если событие С наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А, а событие В не наступает:

C A\ B A B : A B .

Определение. Событие С называют симметрической разностью А и В, если событие С наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А, а событие В не наступает, или наступает событие В, а событие А не наступает:

CA B A\ B B \ A A B \ B A

: A B B A .

Обратим внимание, что при действиях над случайными событиями в теории вероятностей зачастую вместо обозначений операций над множествами используются алгебраические обозначения.

Определение. Событие A \ A называют противоположным событию А

или событием «не А». Оно наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает:

A \ A : A .

7

Определение. События А и В называют несовместными, если A B .

Определение. События A1,..., An называют попарно несовместными, если для

любых i, j 1,n таких, что i j , выполняется Ai Aj .

Основные свойства операций над событиями:

1) Коммутативность(симметричность): для любых событий А и В

A B B A или A B B A, A B B A или AB BA.

2) Ассоциативность: для любых событий А, В и С

3) Дистрибутивность: для любых событий А, В и С

A B C A B A C или

A B C AB AC ,

A B C A B A C или

A BC A B A C .

4)Двойственность (законы де Моргана): для любых событий А и В

1)A B A B

2)A B A B

Доказательство.

1)x A B x A B,x

x A,x x B,x

x \ A x \ B x A x B

x A B.

Следовательно, A B A B 2)Докажите самостоятельно.

Доказано.

5) Свойства операций с невозможным событием:

A A A,

A A ,

A A A,

8

A A ,

A\ A,

\ A ,

,

A A .

6) Полезные тождества: для любых событий А и В

A\ B AB,

A A A A A,

A ,

A A.

7) Свойства отношения включения: для любых событий А и В

A A,

AB A, AB B,

A B B A,

A B C : AC BC ,

A B AB A, A B B .

8)Критерии равенства множеств: для любых событий А и В

A B A B B A ,

A B A B,

A B A\ B B \ A ,

A B C :

A C B C A C B C

9)Критерии включения множеств: для любых событий А и В

A B A B ,

A B A B A A B B ,

A B T : A B T ,

A B T : B A T .

Элементы комбинаторики

Часть задач современной теории вероятностей сводится к вычислению числа элементов, т.е. мощности некоторых конечных множеств. В простых случаях эти мощности вычисляются путём непосредственного пересчёта элементов множеств. Однако существует большое количество практических вероятностных задач, в которых непосредственный пересчёт элементов конечных множеств невозможен, т.е. либо число элементов множества слишком велико, либо оно зависит от некоторых переменных параметров.

Определение. Раздел математики, посвящённый задачам пересчёта (вычисления мощностей конечных множеств, обладающих определёнными свойствами) и перечисления (явного определения элементов множеств, обладающих определённым свойством), называется комбинаторикой.

Сформулируем основные правила комбинаторики.

Правило суммы. Для любого натурального k , для любых попарно непересекающихся множеств A1, , Ak с мощностями N1, ,Nk соответственно

9

2 2 4.

Часто приходится рассматривать множества, состоящие из упорядоченных наборов (векторов) вида a1, ,ak , координаты которых являются элементами

множества Ai .

Прямым произведением числовых отрезков [a;b] и [c;d] является прямоугольник на декартовой плоскости:

a;b c;d x, y : x a;b , y c;d .

Прямое произведение конечных множеств 1,2,3 и 2,3,4,5 есть конечное множество:

1,2,3 2,3,4,5

1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,2 , 2,3 , 2,4 ,

2,5 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 .

A a1,...,ak A1 Ak , такое, что:

a2 |a1 n2, , ak |a1 ak 1 nk ,

где обозначение ..|a1 означает «при условии фиксации a1». Тогда множество A конечно и

10