lab_2 / lab2_25

МИНЦИФРЫ РФ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский Технический Университет Связи и Информатики»

Кафедра информатики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

«Интерполяция функций»

Выполнил студент группы “Сортирный Союз”

username

Москва 2021

Индивидуальное задание

№ варианта	Интерполяционный многочлен
	Ньютона		Лагранжа
25		ручной расчёт		на компьютере

Выбор и нумерация узлов для формулы Ньютона Для ручной интерполяции в точке по 1-й формуле Ньютона выбираем 4 узла из таблицы 2-2 так, чтобы точка оказалась между узлами с номерами с 1 по 2 и добавляем узлы вправо:

Таблица 2-2

№ узла
1
2
3
4

Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке по 1-й формуле Ньютона с заданной точностью добавлять узлы вправо относительно точки . Изменим нумерацию узлом интерполяции для использования их в интерполяционных формулах и занесём в таблицы вида 2-3:

Таблица 2-3

Ручной расчёт по 1-й формуле Ньютона Заполним таблицу конечных разностей:

				—
			—	—
		—	—	—

Запишем 1-ю интерполяционную формулу Ньютона: для многочленов 1-й, 2-й и 3-й степени и выполним расчёты по ним.

Определим значение :

Значение многочлена 1-й степени в точке :

Значение многочлена 2-й степени в точке :

Значение многочлена 3-й степени в точке :

Выражения для многочленов 1-й, 2-й и 3-й степеней могут быть получены после соответствующих преобразований формулы:

В нашем случае они будут иметь вид:

Степень многочлена		Погрешность
1
2
3		—

Вывод: получены выражения для интерполяционных многочленов 1-й, 2-й и 3-й степеней и их значения в точке . Оценку погрешности проведём в соответствие с неравенством:

Можно утверждать, что разность между точным значением функции и значением функции в точке после 3-х итераций не превышает .

Точка интерполяции для формулы Лагранжа: Выбор и нумерация узлов для формулы Лагранжа

Для ручной интерполяции в точке по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 2-2 4 узла так, чтобы точка оказалась в центре отрезка интерполяции: узлы с номерами с 20 по 23. Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметрично относительно точки .

№20
№21
№22
№23

Следует отметить, что формула Лагранжа может использоваться как для таблиц с постоянным шагом, так и для таблиц с непостоянным шагом. Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметрично относительно точки . Изменим нумерацию узлов интерполяции симметрично относительно точки для использования их в интерполяционных формулах и занесём в таблицу вида 2-3:

Компьютерный расчёт по формуле Лагранжа

Схема алгоритма приведена в разделе 2.2 пособия по алгоритмам.