Зачёт 2020 / нормировка и прочее

Ω20 =		20 кГц	=		20		=1,957 – текущая нормированная частота,
				10,21
		fc
Определим рабочие ослабления на всех нормированных частотах:
A(Ωг ) =10 lg(1 + 0,8448 ) =1дБ, A(Ωс) =10lg(1 +18 ) = 3дБ ,
A(Ω		) =10 lg(1 +1,478 ) =13,56 дБ, A(Ω						s	) =10 lg(1 +1,658 ) =17,54 дБ,
15

A(Ω20 ) =10 lg(1 +1,9578 ) = 23,38 дБ .

Построим график зависимости рабочего ослабления от частоты с помощью программной среды Mathcad. Для этого представим вид до-

вольно простой программы:

f.103 2

.n

fc

10210

n

4 A( f)

10.log

1

fc

Следует отметить, что f мы умножаем на 103 с целью выразить частоту в килогерцах. Кривая рабочего ослабления показана на рис. 6.

A, дБ

f, кГц

Рис. 6

21

12 После выполнения синтеза электрического фильтра важно убедиться в его соответствии техническим требованиям. Наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет частотной зависимости A(f ) по передаточной функции T(jω),

выраженной через элементы фильтра.

Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопро-

тивлением R и

и сопротивления нагрузки R н

полная схема имеет вид,

представленный на рис 6а.

RИ

Z1

Z3

Zn

E

Y2

Y4

U2

RН

Рис. 6а Лестничная схема фильтра

Рабочая передаточная функция такой схемы определяется в виде:

		T(jω)= 1 2		R и	, где
				R н
	Rи + Z1	1	0	0	0	0
	−1	Y2	1	0	0	0
	0	−1	Z3	1	0	0		.
=	0	0	−1	Y4	1	0
	…	…	…	…	…	…
	0	0	0	0	Zn	1
	0	0	0	0	−1	Gн

Рабочее ослабление фильтра может быть рассчитано по формуле:

A(f )= 20 lg	1				.
		T(jω)

Приведём программу расчета частотной характеристики рабочего ослабления спроектированного фильтра на MathCAD 7.0.

22

В программе p = jω = j2 π f – комплексная частота.

Вывод: спроектированный фильтр удовлетворяет техническим требованиям, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, поскольку:

A(fs ) =17,533дБ > As =17 дБ, а A(fг) = 0,998 дБ < A =1дБ .

Далее рекомендуется построить график частотной зависимости рабочего ослабления на MathCad 7.0.

7. Пример расчёта полосового фильтра с плоской характеристикой (фильтра Баттерворта) табличным методом

Рассчитать параметры элементов симметричного полосового фильтра Баттерворта табличным методом.

23

Исходные данные: fг1 =10 кГц , fг2 =14,4 кГц , A = 2 дБ,

fs1 = 8,8кГц, As = 20 дБ , Rи = Rн = 600Ом.

1.Определим среднюю геометрическую частоту:

f0 = fг1 fг2 = 10 14,4 =12 кГц .

2.Учитывая (33), рассчитываем верхнюю граничную частоту по-

лосы задерживания (ПЗ): fs2 =	f02		144	=16,4 кГц .
		=	8,8
	fs1

3. Для определения порядка фильтра используем (41), учитывая

(35а):

n ≥

As −10 lg(100.1

A −1)

=

20 −10 lg(100,1 2 −1)

= 4,71. Т.е. n = 5.

20 lg

fs2 −fs1

20 lg

16,4 −8,8

fг2 −fг1

14,4 −10

4. Рассчитываем частоту среза прототипа (ФНЧ) по (42) с учётом

(35а): fc

=

fг2 −fг1

=

14,4 −10

= 4,642 кГц.

2 n 100.1

A −1

10 0,59

5. По (35б) определяем частоты среза полосового фильтра:

f

=

f

c + f

2

f

c

2

4,63

+

4,63

2

=14,51кГц ,

c2

+

=

122 +

2

0

2

2

2

fc1

=

f02

=

122

= 9,91кГц .

fc2

14,51

6. Определяем схему прототипа (ФНЧ) и нормированные значения параметров её элементов. Для случая Т-образных входа и выхода схема пятиэлементного прототипа приведена на рис. 7.

1 3 5

c2

c4

Рис. 7

В соответствии с табл. 3 элементы схемы имеют следующие нормированные значения параметров:

1 = 5 = 0,618 , c2 = c4 =1,618 , 3 = 2,000

24

7. Составляем схему полосового фильтра. Для этого ёмкости схемы прототипа заменим параллельными колебательными контурами, а индуктивности – последовательными колебательными контурами. Полученная таким образом схема показана на (рис. 8а).

1n

c1n

3n

c3n

5n

c5n

c2n

2n

c4n

4n

Рис. 8а

8. Рассчитываем величину коэффициента преобразования:

	k =		f0	=		12		= 2,61 .
		fc2	−fc1		14,54 −9,91

9. Определяем нормированные параметры элементов схемы полосового фильтра:

1n =

5n = k

1 = 2,61 0,618 =1,61;

3n = k

3 = 2,61 2,000 = 5,22 ;

c

= c

5n

=

1

=

1

= 0,62 ;

1n

k

1 2,61 0,618

c3n =

1

=

1

= 0,192 ;

k

3

2,61 2,000

2n =

4n =

1

=

1

=

1

= 0,237 ;

k c4

2,61

1,618

k c2

c2n = c4n = k c2 = k c4 = 2,61 1,618 = 4,22 .

10.Рассчитываем величины коэффициентов денормирования:

k L

=

R и

=

R и

=

600

= 0,008 Гн = 8 мГн ;

ω0

2 π 12 103

2 πf0

k C =

1

=

1

=

1

= 22,1 10−9 Ф = 22,1нФ .

ω0

R и

2

πf0 R и

π 12 103

600

2

25

11. Определяем истинные значения параметров элементов схемы

полосового фильтра: L1 = L5 = kL	1n = kL 5n = 8 1,61 =12,88мГн;
L3 = kL 3n = 8 5,22 = 41,76 мГн;	C3 = kC c3n = 22,1 0,192 = 4,243нФ;
C1 = C5 = kC c1n = kC c5n = 22,1 0,62 =13,70 нФ;
L2 = L4 = kL 2n = kL	4n = 8 0,237 =1,896мГн;
C2 = C4 = kC c2n = kC c4n = 22,1 4,22 = 93,26 нФ.

Построим график зависимости рабочего ослабления от частоты с помощью программной среды Mathcad (рис. 8б). Вид программы:

fo

12000 fc

4642

n

5

fc1

fc

fo2

fc 2

fc2

fo2

2

2

fc1

fo

f.103

2.n

k

A( f)

10.log

1

k.

fo

fc2

fc1

fo

f.103

A, дБ

f, кГц

Рис. 8б

Вывод: по рис. 8б видно, что требования к рабочему ослаблению фильтра полностью удовлетворяются как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

26

Ωmaxm

8.Фильтры Чебышева

Вфильтрах Чебышева [1,2] кривая A(Ω) аппроксимируется вы-

ражением:

	A(Ω)=10 lg(1+ ε2 Tn2 (Ω)), (49)	(Ω) –
где	ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания; T
	n

полином Чебышева; Ω – нормированная частота.

Таким образом, квадрат модуля функции фильтрации в этом случае определяется как:

ϕ(jΩ) 2 = ε2 Tn2 (Ω). (50)

Из математики известно, что в тригонометрической форме полином Чебышева имеет вид:

( ) cos(n arccos(Ω)), 0 ≤ Ω ≤1

Tn Ω = ch(n arch(Ω)), Ω >1 . (51)

Представим полиномы Чебышева при значениях n = 0,1, 2 .

T0 (Ω)= cos 0 =1, T1(Ω)= cos(arccos(Ω))= Ω ,

T2 (Ω)= cos(2 arccos(Ω))= 2 Ω2 −1 . Т.к. T2 (Ω)= 2 ΩT1(Ω)−T0 (Ω), то:

Tn+1(Ω)= 2 ΩTn (Ω)−Tn−1(Ω). (52)

Если n – четное, то на нормированной частоте Ω = 0 имеем максимум ослабления в полосе пропускания.

Если n – нечетное, то на нормированной частоте Ω = 0 имеем минимум ослабления в полосе пропускания. Частоты min и max в полосе пропускания определяются как:

= cos (m −1)π , m =1, 2,…, n +1 , n

Ωminν = cos (2ν2−n1)π, ν =1, 2,…, n

На рис. 9 показаны характеристики рабочего ослабления двух ФНЧ Чебышева, различающихся числом элементов n.

В полосе пропускания рабочее ослабление изменяется волнообразно, достигая при этом минимальных значений, равных нулю, и максимальных значений, равных A . В связи с этим характером изменения ослабления Чебышевская аппроксимация называется «равноволновой». Густота волн неравномерна – она увеличивается по мере приближения к границе полосы пропускания. В полосе задерживания рабочее ослабление монотонно увеличивается. Крутизна характеристики

27

в этой полосе растёт с увеличением порядка фильтра. При одном и том же числе элементов схемы у фильтров Чебышева крутизна характеристики ослабления в полосе задерживания значительно больше, чем у фильтров Баттерворта.

A, дБ

As

n = 4

∆A

0

Ωc

Ωs

Ω

A, дБ

As

n = 5

∆A

0

Рис. 9 Коэффициент неравномерности

пропускания определяется в виде:

Ωc Ωs Ω

рабочего ослабления в полосе

ε = 100,1 A −1 . (53)

28

Величина A связана с коэффициентом несогласованности и определяется соотношением вида:

A =10 lg	1	. (54)
	1−ρ2

В полосе задерживания Ω > Ωc рабочее ослабление согласно (49) и (51) определяется выражением:

A(Ω)=10 lg(1+ε2 ch2 (n arch Ω)). (55)

Порядок фильтра n можно найти из последнего уравнения. Так как при Ω = Ωs величина A(Ωs )= As , то в соответствии с (55)

A(Ωs )= As =10 lg(1+ε2 ch2 (n arch Ωs )).

Далее

100,1As =1+ ε2 ch2 (n arch Ωs ),

откуда

		1	100,1As
	arch			−1
		ε
n ≥					. (56)
		arch Ωs

Полученное по этой формуле n округляется до ближайшего большего целого числа.

Расчёт фильтра верхних частот (ФВЧ) Чебышева по рабочим параметрам в курсовой работе нужно вести с использованием таблиц, в которых указаны нормированные индуктивности i и ёмкости ci для

фильтра нижних частот (прототипа), которые затем преобразовываются в элементы фильтра верхних частот.

В настоящих указаниях приведены три таблицы для нагруженных ФНЧ при rи =1:

Таблица № 4 – для ρ = 0,05 , что соответствует	A = 0,011дБ;
Таблица № 5 – для ρ = 0,1 , что соответствует	A = 0,044 дБ;
Таблица № 6 – для ρ = 0,15 , что соответствует	A = 0,099 дБ .

Каждой таблице соответствуют две эквивалентные схемы фильтра (рис. 10). Обозначения на схеме 1 соответствуют значениям i и ci

верхней строки таблицы (П-образный вход), а схема 2 – нижней строки (Т- образный вход).

29

	2		4
Схема 1	с1	с3	с5

	1	3	5
Схема 2	с2	с4	с6

Рис. 10

Аналогичные таблицы для других значений ρ( A) имеются в [8].

В [3] и [8] кроме таблиц для расчёта фильтров Баттерворта и Чебышева имеются также таблицы для расчёта фильтров Кауэра-Золотарёва. Таблицы для расчёта фильтров с учётом потерь приведены в [6].

9. Пример расчёта фильтра верхних частот Чебышева по таблицам нормированных элементов

Рассчитать ФВЧ Чебышева с граничной частотой полосы пропус-

кания (частота	среза)	fг = 5400 Гц	с сопротивлением	нагрузки
R и =1000 Ом.	Модуль	коэффициента	несогласованности	в полосе

ρ = 0,1 . Граничная частота полосы задерживания fs = 3000 Гц . Рабочее ослабление на этой частоте должно быть не менее As = 30 дБ.

Схема фильтра должна соответствовать схеме 2, приведённой в таблицах нормированных элементов фильтров Чебышева (т.е. с Т-образным входом). Рассчитать рабочее ослабление фильтра на частоте fв = 4000 Гц .

Поскольку требуется рассчитать ФВЧ, то предварительно следует рассчитать прототип (ФНЧ) Чебышева, а затем путём преобразования по формулам табл. 1 определить элементы ФВЧ.

30