Экзамен 2021 / Билеты с ответами / 1 билет

1. Теорема Котельникова.

Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени . ( Теорема Котельникова)

Непрерывные сигналы (функции) могут принимать любые , сколь угодно близкие друг к другу значения, в любые моменты времени. Примером непрерывного сигнала является гармоническое колебание.

Дискретные (цифровые) сигналы могут принимать только заранее известные значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину, причем изменяться эти значения могут только в определенные моменты времени.

Временные диаграммы непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного x _д(t) имеют вид:

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал x(t), достаточно передавать отсчёты x(kΔt). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

(3.1)

Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортогональным функциям . (3.2)

И т.д. … (если потребуется)

2. ИКМ

Начало с первой страницы документа «2ikm2.doc» (но я вроде и так написал все полностью)

Сигнал ИКМ - это двоичный сигнал, однозначно соответствующий исходному аналоговому сигналу. Устройство, преобразующее аналоговый сигнал в цифровой, называют аналого-цифровым преобразователем (АЦП).

Процесс формирования сигнала ИКМ:

Рисунок 2.4

Переход от непрерывного сигнала к сигналу ИКМ включает три основные операции:

1. Дискретизация исходного непрерывного сигнала х(t), показанного на рис.2.4.а в соответствии с теоремой Котельникова; интервал дискретизации равен:

если ωв=2πFв - ширина спектра исходного сигнала. В результате дискретизации получим сигнал хд(t), показанный на рис.2.4.б.

2. Квантование по уровню импульсов-отсчетов. Диапазон допустимых значений x(t) разбивается на разрешенные уровни – уровни квантования. Операция квантования состоит в том, что вместо истинного значения амплитуды импульса передается ближайший разрешенный уровень. Пусть уровни квантования 0,1,2,3 и т.д. вольт. Тогда вместо 0,2 вольт передаем 0; вместо 1,4 вольт - 1 вольт и т.д. В результате квантования получим сигнал хкв(t), показанный на рис.2.4.в.

3. Кодирование квантованных импульсов - отсчетов. Кодирование состоит в том, что вместо квантованного уровня передается комбинация кодовых символов. Если код – двоичный, то символами кода являются 1 и 0. Количество различных символов, которые образуют кодовые комбинации, называется основанием кода m. Количество символов в кодовой комбинации называется длиной кодовой комбинации n. Общее количество кодовых комбинаций равно N=mn . Примитивное кодирование состоит в том, что номер уровня квантования записывается двоичным числом, т.е. в виде двоичной кодовой комбинации (m=2). Предположим, что комбинация состоит из трех импульсов n=3. Тогда десятичным номерам уровней соответствуют следующие двоичные числа:

0=000, 1 = 001; 2 = 010; 3 = 011; 4 = 100; 5=101; 6=110; 7=111.

В результате кодирования мы получили двоичный сигнал ИКМ хИКМ(t) на рис.2.4.г, однозначно соответствующий исходному непрерывному сигналу х(t) с заданной точностью.

Сигнал ИКМ передается в линию связи и поступает на вход приемника. Для восстановления на приемной стороне исходного непрерывного сигнала выполняются следующие операции:

1. Декодирование принятых кодовых комбинаций; т.е. принятая двоичная комбинация превращается в соответствующее десятичное число: 000 превращается в 0 вольт, 001 в 1 вольт, 010 в 2 вольта, 011 в 3 вольта ….и т.д. 111 в 7 вольт.

2. Полученные импульсы – отсчеты подаются на вход восстанавливающего фильтра, который теоретически должен быть идеальным фильтром нижних частот (ИФНЧ).

На выходе этого ИФНЧ получим с заданной точностью исходный непрерывный сигнал . Среднеквадратическая погрешность восстановленного сигнала относительно x(t) должна быть не более заданной величины. Устройство, преобразующее цифровой сигнал в аналоговый, называют цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП).

Достоинства ИКМ:

1. Сигнал ИКМ – цифровой сигнал и поэтому использование ИКМ позволяет реализовать преимущества цифровой аппаратуры по сравнению с аналоговой: большая степень интеграции, унификации и стандартизации; меньше объем аппаратуры; больше точность и стабильность параметров.

2. Сигнал ИКМ имеет более высокую помехоустойчивость благодаря тому, что его можно регенерировать. Регенерация – это восстановление частично пораженных помехой импульсов сигнала.

На рис.2.5 показан сплошной линией процесс z(t) - сигнал в сумме с шумом на входе регенератора. Тонкой линией показан передаваемый двоичный сигнал 1 и 0.

Регенератор в тактовые моменты времени, в середине посылки, сравнивает принятый процесс с пороговым напряжением v. Если напряжение u(t) > v, то на выходе регенератора появляется 1, а если u(t) < v , то 0. Из рис.2.5.б видно, что сигнал на выходе регенератора совпадает с переданным – сигнал регенерирован, восстановлен в первозданном виде.

Недостатки ИКМ:

1. Ширина спектра П_ИКМ сигнала ИКМ значительно больше ширины спектра исходного аналогового сигнала. Определим ширину спектра сигнала ИКМ, если ширина спектра аналогового сигнала равна FВ. За время Δt =1/2FВ необходимо передать комбинацию сигнала ИКМ из n импульсов. Если число уровней квантования N, то:

n=log₂N

Следовательно, длительность одного импульса равна Т=1/2nFВ . Ширина спектра прямоугольного импульса, т.е. ширина спектра ИКМ, обратно пропорциональна длительности импульса Т:

П_ИКМ=1/T=2nF_В (2.2)

Обычно используются сигналы ИКМ с длиной комбинации 6 – 9. Следовательно, ширина спектра ИКМ в 12-18 раз больше ширины спектра исходного непрерывного сигнала.

2. Квантование импульсов - отсчетов по уровню эквивалентно наложению на сигнал ИКМ помехи, которая называется «шум квантования».

На рис.2.6 нарисована характеристика квантователя, т.е. зависимость уровней квантования yк от порогов квантования хк. Из рис.2.6. видно, что данный квантователь имеет 4 уровня квантования: у0, у1 , у2 , у3 и 3 порога х0 , х1 , х2 . Если значения входного сигнала х лежат в пределах от - ¥ до х0 , то на выходе квантователя имеем уровень у0 .

Если значения входного сигнала х лежат в пределах от х₀ до х₁ , то на выходе квантователя имеем уровень у₁ . Если значения входного сигнала х лежат в пределах от х₁ до х₂, то на выходе квантователя имеем уровень у₂ . Если значения входного сигнала х лежат в пределах от х₂ до ∞, то на выходе квантователя имеем уровень у₃.

Рассчитаем дисперсию шума квантования σ², т.е. среднюю мощность шума квантования на единичном сопротивлении. Пусть Δ = (y_к - y_к-1) - шаг квантования, т.е. расстояние между соседними уровнями квантования.

Мгновенные значения шума квантования равномерно распределены на интервале от -Δ/2 до Δ/2, т.е. функция плотности вероятности шума квантования равна:

W(x)=1/Δ при |х| ≤ 0.5 Δ.

Следовательно, дисперсия шума квантования равна:

(2.3)

Δ=U_max/(N -1) ;

N – количество уровней квантования.

U_max- максимальный уровень однополярного сигнала.

Для качественной передачи сигнала методом ИКМ необходимо обеспечить отношение мощности сигнала к дисперсии шума квантования, порядка, 30дБ. Это условие удовлетворяется для больших уровней квантования, но не удовлетворяется для малых уровней. Если увеличить число уровней квантования N, то дисперсия шума квантования уменьшится, но при этом пропорционально logN увеличится ширина спектра сигнала ИКМ. Проблема решается путем применения неравномерного квантования: малые уровни квантуются с малым шагом квантования, а большие уровни квантуются с большим шагом квантования. Технически это удобно реализовать путем использования нелинейных устройств: компрессора на передаче и экспандера на приеме. Характеристика компрессора соответствует «μ- закону» или «А-закону». В России рекомендован «μ- закон» при μ=255:

u_вых=lg(1+ μ u_вх)/lg(1+ μ) (2.4)

На рис.2.7 показаны характеристики компрессора (сплошная линия) и экспандера (пунктирная линия). На передаче дискретные импульсы-отсчеты проходят через компрессор, у которого коэффициент передачи для малых амплитуд больше, чем для больших. Далее стоит квантователь с постоянным шагом квантования. В результате получаем неравномерное квантование: маленькие уровни квантуются с маленьким шагом, а большие – с большим. Экспандер на приеме компенсирует нелинейные искажения, вносимые компрессором. Устройство, состоящее из компрессора и экспандера, называют компандером.