Экзамен 2021 / Билеты с ответами / 17 билет

1. Частотная модуляция. Формула, временные и спектральные диаграммы.

При ЧМ частота ВЧ колебания (несущей) изменяется в соответствии с НЧ модулирующим сигналом.

_чм (t) = ₀ + U_нч(t), где (9.1)

_чм (t)- частота ЧМ сигнала;

₀- среднее значение несущей частоты;

U_нч(t)-модулирующий сигнал;

-девиация частоты, т.е. максимальное отклонение частоты от среднего значения.

Если модулирующий сигнал гармонический, т.е.

U_нч = cost,

то _чм(t) = ₀ + соst

а выражение для ЧМ сигнала имеет вид:

_чм(t) =

U_чм(t) = U_mcos(₀t+

M_ч - индекс ЧМ. (9.2)

U_чм(t) = U_mcos(₀t+

Временная диаграмма модулирующего сигнала имеет вид:

Временная диаграмма соответствующего ЧМ сигнала принимает вид:

Как видно из рис.9.2, там, где модулирующий сигнал больше, там и частота ЧМ сигнала больше , а период колебаний меньше.

_чм(t) = ₀ + cost

_max = ₀ + 

_min = ₀ - 

Амплитуда при ЧМ постоянна, меняется только частота.

Для получения спектра ЧМ сигнала разложим U_чм(t) в ряд Фурье.

U_чм(t) = U_mcos(₀t+ = U_m₀(M_ч)cos₀t+ U_m₁(M_ч)cos(₀+)t- U_m₁(M_ч)cos(₀)t+U_m₂(M_ч)cos(₀+2)t+U_m₂(M_ч)cos(₀2)t+U_m₃(M_ч)*cos(₀+3)t- U_m₃(M_ч)cos(₀-3)t+

_k(M_ч) - функция Бесселя к-ого порядка.

Вид спектра зависит от М_ч.

Спектр ЧМ сигнала при М_ч<<1 (т.е. порядка 0,1; 0,05;)

При М_ч<<1 спектр ЧМ сигнала похож на спектр АМ сигнала (несущая, 2 боковых ), но для ЧМ этот спектр приближенный. Все остальные боковые тоже есть, но они очень малы.

Спектр ЧМ сигнала при М_ч>1 выглядит так (Мч=5):

Полоса частот сигнала ЧМ.

П_чм  2(М_ч+1)

М_ч<<1 П_чм  2, ( как при АМ )

М_ч>>1 П_чм  2М_ч = 2 2

Ширина спектра при Мч>>1 не зависит от модулирующей частоты. Это широкополосный сигнал.

2. Согласованный фильтр

(Пункт 3 во второй части лекций, здесь только ответ на вопрос)

Оптимальный фильтр - это фильтр, обеспечивающий на выходе максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Если помеха, поражающая сигнал, является белым шумом, то оптимальный фильтр называется - согласованным фильтром (СФ). Таким образом, если на вход СФ поступает сигнал uc(t) в сумме с белым шумом x(t): z(t)=u_c(t)+x(t) (3.1) то на выходе СФ получим максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Определим, какими должны быть характеристики СФ. Напряжение на выходе линейного фильтра с импульсной реакцией g(t) имеет вид:

Первое слагаемое – напряжение полезного сигнала, второе – напряжение помехи. Дисперсия помехи равна:

где G0δ(τ-ν) – функция корреляции белого шума со спектральной плотностью энергии G0.

Отношение мощности сигнала к дисперсии шума на выходе СФ равно:

Первое неравенство записано в соответствии с неравенством Буняковского – Шварца. Замена t на Т во втором неравенстве выполнена, исходя из неотрицательности подинтегрального выражения, которое не убывает при увеличении верхнего предела. Равенство в (3.4) достигается только при условии, что g(t)=u_c(T-t);

Это означает, что название фильтра "согласованный" определяется тем, что его характеристики согласованы с характеристиками сигнала uс(t): - импульсная реакция g(t) согласованного фильтра совпадает с зеркальным отображением сигнала:

g(t)=u_с(Т-t) (3.5)

Для импульса несимметричной формы, заданного, например, выражением: u_c(t) = U_m(l-t/T), при 0 < t < T, импульсная реакция фильтра, согласованного с ним, равна: g₁(t)=u(T-t)=U_mt/T, при 0 < t < T.

Соответствующий треугольный сигнальный импульс и импульсная реакция согласованного с ним фильтра имеют вид рис.3.1а, б.

Определим частотную характеристику СФ, как преобразование Фурье от g(t):

И т.д. в лекции…