labs / lab_12

МИНЦИФРЫ РФ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский Технический Университет Связи и Информатики»

Кафедра общей теории связи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12

по общей теории связи

«ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»

Выполнили студенты группы “Сортирный Союз”

лох

чмо

чукча

Москва 2021

Цель работы:

Ознакомиться с методами измерения одномерных функций плотности вероятности (ФПВ) и функций распределения вероятностей (ФРВ), а также числовых характеристик случайных эргодических процессов на ПЭВМ

Домашние расчёты

Номер стенда	А1	А2	σ1	σ2
9	1,2	1,8	1,200	0,40

1.Рассчитать и построить графики ФПВ и ФРВ эргодического случайного процесса X(t)=Acos(ωt+φ), -∞ ∞, где А и ω – некоторые постоянные, φ – случайная равномерно распределённая на интервале (-π, π) фаза. Расчёты произвести для 2-х А₁ и А₂. Определить среднее значение этого процесса.

ФПВ гармонического сигнала X(t):

x	0	0,3	0,6	0,9	1,2
W1(x)	0,265	0,274	0,306	0,401	∞

x	0	0,45	0,9	1,35	1,8
W2(x)	0,177	0,183	0,204	0,267	∞

ФРВ эргодического случайного процесса

X(t)=Acos(ωt+φ), -∞ ∞

x	-1,2	-0,6	0	0,6	1,2
F1(x)	0	0,333	0,5	0,667	1

x	-1,8	-0,9	0	0,9	1,8
F2(x)	0	0,333	0,5	0,667	1

Графики ФРВ имеют вид

Определим средние значения этого процесса

1)Усреднение по множеству реализаций:

2)Усреднение по времени одной реализации:

Процесс эргодически стационарен

2.Рассчитать и построить графики ФПВ и ФРВ эргодического нормального случайного процесса с нулевым средним и среднеквадратичными значениями σ₁ и σ₂

ФПВ эргодического нормального случайного процесса с нулевым средним:

x	0	0,5	1	1,5
W1(x)	0,332	0,279	0,235	0,197

x	0	0,3	0,6	0,9
W2(x)	0,997	0,750	0,324	0,075

ФРВ нормального случайного процесса рассчитываем по формуле

Где – функция Лапласа ₁=1,2 ₂=0,4

x	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5
F1(x)	0,102	0,199	0,335	0,497	0,660	0,797	0,889

x	-1	-0,5	0	0,5	1
F2(x)	0,005	0,103	0,5	0,897	0,991

3.Рассчитать и построить график ФПВ случайного процесса, образованного суммой независимых случайных процессов из пунктов 1 и 2 с параметрами А₁ и А₂ и ₁

Определить среднее значение этого процесса

Пусть наблюдается полезный гармонический сигнал Х_сигнал(t) в смеси с нормальным шумом х_шум(t)

z(t)=Acos(ωt+φ)+ х_шум(t)

Если сигнал и шум независимые случайные процессы, то ФПВ их суммы определяется интегралом свёртки:

Результирующие ФПВ имеют вид

Где , – отношения сигнал – шум по мощности

Определим среднее значение этого процесса

Усреднение по множеству реализаций:

М(х+у)=М(х)+М(у)

m₁=m₁(X_сигнал+х_шум)=m₁(Х_сигнал)+m₁(х_шум)=0+0=0

4.Рассчитать и построить графики дискретного по значениям случайного процесса. Определить среднее значение m_1, полную мощность m₂ и дисперсию случайного процесса

№ варианта	Т1	Т2	Т3	Т4	Т5
9	-1	-1	-1	0	-1

Временная диаграмма дискретной последовательности

ФПВ троичного дискретного случайного процесса

р(-1)= 0,8 р(0)=0,2 р(1)=0

W(x)=p(-1)* (x+1)+p(0)* (x)

ФПВ имеет вид

ФРВ троичного случайного процесса

Выполнение

Снятие ФПВ, амплитуда А1=1,2

Снятие ФПВ нормального случайного процесса, дисперсия G1=1,2

Снятие ФРВ нормального случайного процесса, дисперсия G1=1,2

Снятие ФПВ1 суммы нормального с.п. и гармон. сигнала

Снятие ФПВ1 суммы нормального с.п. и гармон. сигнала

Снятие ФПВ узкополосного случайного процесса

Снятие ФПВ узкополосного случайного процесса

Проверочное задание

Определение ФПВ

ФПВ

График ФРВ

Контрольные вопросы

1)Дайте определение ФПВ. Какие свойства случайного процесса она характеризует?

Одномерная ФПВ (функция плотности вероятности) равна пределу отношения вероятности попадания случайного процесса в интервал от x₁ до х₁+∆х, при t= t₁, к ∆х при ∆х стремящемся к нулю.

Наиболее полной характеристикой является  n - мерная ФПВ.

ФРВ и ФПВ связаны друг с другом . ФПВ - это первая производная ФРВ по х_1,

Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Кроме того, важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность и эргодичность, а также спектр мощности.

Для стационарного случайного процесса m₁, m₂, ⌠² - не зависят от времени.

                           нестационарный   Стационарный

 После включения усилитель прогревается и шум на его выходе - нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.

Эргодичность.

Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации  и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный  результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.

10)Измерение плотности вероятности эргодического случайного процесса.

ФПВ - первая производная по x₁ от ФРВ. n-мерная ФРВ: Одномерная ФПВ: ФРВ равна интегралу от -∞ до x₁ от ФПВ

11)Различия ФПВ стационарных и нестационарных процессов (примеры реализаций процессов и ФПВ).

1. Нестационарный случайный процесс - ФПВ и ФРВ зависят от начала отсчета времени.

2. Стационарный в узком смысле - ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

3. Стационарный в широком смысле - одно- и двумерные ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

Для стационарного случайного процесса m1, m2, s2 - не зависят от времени.

Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя:

После включения усилитель прогревается и шум на его выходе - нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.