Лабораторная 1 Исследование колебательных контуров

Цель работы: построение математической модели для RLC-цепи и исследование характеристик данной модели.

Теоретические сведения

Математические модели объектов управления и других функциональных элементов, а также систем автоматического управления в целом часто представляются совокупностью тем или иным образом связанных между собой простейших, типовых звеньев. Передаточная функция (ПФ) любой линейной системы может быть разложена на ПФ ограниченного числа таких звеньев.

Любой объект взаимодействует с внешней средой с помощью входов и выходов. Входы – это возможные воздействия на объект, выходы – это те сигналы, которые можно измерить. Построить математическую модель – это значит описать зависимость выходной реакции объекта на входное воздействие при помощи математических операторов. С помощью математической модели появляется возможность предсказать реакцию объекта на любой входной сигнал.

Построение математической модели

Метод построения математической модели зависит от природы объекта. Некоторые ММ объектов могут быть получены из законов физики, химии, биологии и т.д. Как правило, модели, полученные таким способом, описывают внутренние связи в объекте.

Р ассмотрим последовательно соединённую RLC-цепь, схема которой приведена на рис. 1

Рис. 1

В качестве входного воздействия принимается напряжение на концах цепи . Под реакцией объекта принимается напряжение на конденсаторе .

Так как элементы соединены последовательно, то разность потенциалов на входе цепи равна сумме напряжений на каждом элементе и может быть описана следующим дифференциальным уравнением:

где – индуктивность, [Гн]; – сила тока в цепи, [А]; – сопротивление на резисторе, [Ом].

Связь между напряжением и током на конденсаторе описывается следующим дифференциальным уравнением:

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений, описывающая процессы, протекающие в электрической цепи на рис. 1.

На следующем этапе необходимо систему уравнений привести к виду, в котором останутся только переменные входа и выхода и свести данную систему к одному уравнению:

Таким образом получена модель в дифференциальных уравнениях, описывающая процесс в электрической цепи.

Переход от дифференциального уравнения к передаточной функции

Для перехода от ДУ к ПФ на первом этапе необходимо воспользоваться оператором дифференцирования:

Тогда, применив оператор дифференцирования, уравнение (1) примет следующий вид:

Затем к полученном уравнению применяется прямое преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые:

Тогда по определению передаточная функция примет следующий вид:

Моделирование в среде matlab/Simulink

Промоделировать ПФ при помощи программных средств MATLAB/Simulink возможно тремя способами:

1. С помощью команды в окне Command Window (Окно команд);

2. Написание m-файла с набором команд;

3. Построение функциональных блоков в окне Simulink.

Command Window является одной из наиболее используемой панелью. С ее помощью набираются команды, которые немедленно выполняются. И после выполнения команды (нажатие кнопки ENTER) исправление предыдущей команды невозможно. Если необходимо исправить предыдущую команду, то достаточно заново ввести ее в правильной форме.

Одной из особенностей работы в Command Window является то, что результат операции (выполнения команды) будет выведен на экран, если после команды не поставлена точка с запятой, предотвращающая вывод результата.

Для того, чтобы передаточную функцию перевести на язык MATLAB в окне Command Window необходимо прописать название передаточной функции W (рис. 2), ее числитель и знаменатель. Числитель и знаменатель записываются как векторы в квадратных скобках и прописываются только их коэффициенты при степенях (слева – коэф. при высшей степени и затем по убыванию).

Рис.2

Допускается также запись ПФ в соответствии с рис. 3.

Рис. 3

В случае, если в полиноме отсутствует одна из степеней, т.е. полином следующего вида:

то форма записи полинома в MATLAB будет следующей

>>den=[1 0 1 1].

В отличи от Command Window m-файл можно редактировать в любой момент. Он создается как отдельная текстовая программа, в которой прописывабтся функции, команды и последовательность их выполнения.

Д ля создания m-файла необходимо на панели управления выбрать New Script (название файла необходимо прописывать на латинице) рис. 4. Команды и их порядок соотвтетствуют расмотренным ранее в Command Window.

Рис. 4