- •К зачету
- •1. Матрицы. Основные понятия: определение, виды матриц.
- •2. Действия над матрицами.
- •5. Определитель матрицы: определение, свойства определителей.
- •6. Способы вычисления определителей любого порядка.
- •7. Обратная матрица: определение, условие существования.
- •8. Ранг матрицы: определение, способы нахождения.
- •9. Система линейных алгебраических уравнений: определение, виды систем, понятия решения и общего решения системы, совместной и несовместной системы, вырожденной и невырожденной системы.
- •10. Теорема Кронекера-Капелли (о совместности системы уравнений).
- •11. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом и по формулам Крамера. «Элементы векторной алгебры»
- •12. Векторы: определение, модуль вектора. Линейные операции над векторами.
- •13. Определения равных, коллинеарных и компланарных векторов.
- •14. Проекция вектора на ось. Орты координатных осей. Координаты вектора.
- •15. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Скалярное произведение векторов: определение и приложения.
- •17. Векторное произведение векторов: определение и приложения.
- •18. Смешанное произведение векторов: определение и приложения. «Элементы аналитической геометрии»
- •Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
- •Установление компланарности векторов
- •19. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом и общее уравнение.
- •2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •20. Уравнения прямой на плоскости: каноническое и параметрическое.
- •21. Уравнения прямой на плоскости: проходящей через две заданные точки и уравнение в отрезках.
- •22. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
- •23. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:
- •28. Формула нахождения угла между прямой и плоскостью в пространстве, условия их параллельности и перпендикулярности. (Вопрос такой же как 24)
- •29. Уравнения кривых второго порядка.
- •30. Уравнения поверхностей второго порядка. «Основы математического анализа»
К зачету
1. Матрицы. Основные понятия: определение, виды матриц.
Матрица- это прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов.
Числовая матрица-все элементы матрицы числа.
Квадратная матрица- в которой m=n. (число солбцов =числу строк)
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.
Диаг. матрица, у которой каждый элемент гл. диагонали =1 называется единичной.
Квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону ее гл. диагонали = 0.
Матрица,у которой все числа, стоящие на гл. диагонали не нулевые, а также некоторое кол-во ненулевых строк, называется трапециевидной.
2. Действия над матрицами.
Сложение-складываются все элементы, стоящие на одинаковых местах (только для матриц одинакового размера).
Произведение-каждый элемент матрицы умножается на число (c).
Транспортирование:
транспортированная матрица-это матрица,полученная из матрицы А заменой строк столбцами.
Умножение матриц - вводится только для согласованных матриц (число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы ).
При умножении матриц появляется новая матрица, элементы которой вычисляются по формуле:
с11=a11 b11+ a12 b12+…( 1 элемент 1 строки умножаем на 1 элемент 1 столбца + 2 элемент 1 строки умножаем на 2 элемент 2 столбца и т.д.)
Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-й матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.
Если матрицы А и В квадратные и одного размера , то А*В и В*А всегда существуют.
Элементарные преобразования матриц - называются следующие операции над матрицами:
- перестановка местами двух параллельных рядов матрицы (определитель меняет знак);
- умножение всех элементов некоторой строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля; определитель умножается на это же число;
- прибавление к элементам некоторой строки матрицы соответствующих элементов другой строки этой же матрицы, умноженной на число - )определитель не меняется).
- те же операции со столбцами.
5. Определитель матрицы: определение, свойства определителей.
Определители вводятся только для квадратных матриц. Определителем или (детерминантом) Δ матрицы А называется число det A.
Для 2-го порядка Δ вычисляется по формуле: а11а22 - а12а12 (крест накрест).
Для 3-го порядка Δ по правилу треугольников.
Свойства: 1) «Равноправность строк и столбцов». Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот. Строки и столбцы можно называть рядами определителя.
2) при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3) Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
7. «Разложение определителя по элементам некоторого ряда» . Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.