Лаб1 / 7408_MMOiSU_LR_1_Brigada_3(2)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра КСУ

отчет

по лабораторной работе №1

по дисциплине «Математическое моделирование объектов и

систем управления»

Тема: Линеаризация динамических систем

Вариант 3

Студенты гр. 7408		Лебедев Р. А. Трусова Е. С.
Преподаватель		Шпекторов А. Г.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы.

Освоение аналитических и машинных способов линеаризации динамических систем, анализ и оценка свойств динамических систем по линеаризованным моделям.

Исходные уравнения.

В качестве исходных данных рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений (СНДУ):

(1)

Из системы (1) можно сразу найти матрицы B, С и D:

B = [b₁₁; b₂₁], C = [1 0; 0 1], D = [0; 0].

Модель СНДУ в SIMULINK представлена на рис. 1.

Рисунок 1 – Модель СНДУ

Определим точку равновесия, используя функцию TRIM с тремя аргументами (коэффициенты модели подобраны таким образом, чтобы система оказалась устойчивой):

%коэффициенты модели

b11 = 1;

b21 = 1;

a11 = -5;

a12 = -10;

a21 = -7;

a22 = -13;

%начальные условия

X0 = [0; 0];

U0 = 1;

%функция TRIM с тремя аргументами

[X1, U1, Y1] = trim('MMOSU_LR_1_model_2', X0, U0);

Результат:

X1 =

0.0464

0.0698

U1 =

0.9302

Корректность работы функции TRIM была проверена моделированием (рис. 2).

Рисунок 2 – Графики переходных процессов

Как видно из рис. 2, функция TRIM с тремя аргументами не обеспечила определение точки равновесия для желаемого значения входной переменной u = 1.

Найдем линеаризованную модель системы, соответствующую найденной точке равновесия x⁽⁰⁾ = [0.0464; 0.0698], u⁽⁰⁾ = 0.9302:

1. Аналитический способ.

2. Машинный способ.

%получение матрицы A1

[A1, B1, C1, D1] = linmod('MMOSU_LR_1_model_2', X1, U1);

Результат:

A1 =

-5.0000 -10.0000

-0.4887 -13.3250

Таким образом, оба способа вычисления матриц дали практически одинаковый результат.

Далее определим точку равновесия, соответствующую заданному входному воздействию. Для этого будем использовать также функцию TRIM, но с дополнительными аргументами, уточняющими требования к результату:

%коэффициенты модели

b11 = 1;

b21 = 1;

a11 = -5;

a12 = -10;

a21 = -7;

a22 = -13;

%начальные условия

X0 = [0; 0];

U0 = 1;

Y0 = [0; 0];

%функция TRIM с уточнением

iu = 1;%номер индекса

[X2, U2, Y2] = trim('MMOSU_LR_1_model_2', X0, U0, Y0, [],iu,[]);

Результат:

X2 =

0.0502

0.0749

U2 =

1

Также найдем точку равновесия с помощью функции solve.

%функция solve

syms x1 x2;

eqns = [a11*x1+a12*x2+b11*1==0, a21*x1*x2+a22*x2+b21*1==0];

vars = [x1 x2];

[x1, x2] = solve(eqns, vars);

double(x1),double(x2)

ans =

0.0502

-1.7073

ans =

0.0749

0.9537

Найдем линеаризованную модель для новой точки равновесия x⁽⁰⁾ = [0.0502; 0.0749], u⁽⁰⁾ = 1:

1. Аналитический способ.

2. Машинный способ.

%получение матрицы A2

[A2, B2, C2, D2] = linmod('MMOSU_LR_1_model_2', X2, U2);

Результат:

A2 =

-5.0000 -10.0000

-0.5243 -13.3514

Найдем собственные значения матриц A₁ и A₂:

eig(A1), eig(A2)

ans =

-4.4494

-13.8755

ans =

-4.4134

-13.9380

Вывод.

В ходе данной лабораторной работы была проведена линеаризация динамической системы, составлена модель данной системы в среде MatLab/Simulink. Также были подобраны соответствующие коэффициенты для достижения устойчивости системы. Для определения точки равновесия была использована функция TRIM для желаемого значения входного воздействия. Также для нахождения точки равновесия использовалась функция solve. Для нахождения линеаризованной модели системы в точке равновесия использовались как аналитический, так и машинный способ. Результаты аналитического расчета практически идентичны результатам, полученным при машинном способе расчета. Полученные значения матрицы А для первого варианта (функция TRIM с тремя аргументами) близки к значениям матрицы А для второго варианта (функция TRIM с уточнением).

6