Лаб3 / 7408_ММОСУ_ЛР3_Бриг3

_{МИНОБРНАУКИ РОССИИ}

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра САУ

отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Математическое моделирование объектов и

систем управления»

Тема: Анализ устойчивости динамических систем средствами MATLAB

Вариант 3

Студент гр. 7408		Лебедев Р. А. Трусова Е. С.
Преподаватель		Шпекторов А. Г.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы.

Изучить методы оценки устойчивости линейных динамических систем, освоить машинные средства оценки устойчивости, провести исследование динамических объектов на устойчивость.

Задание на работу.

1. Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели.

2. Замкнуть автоматом стабилизации с передаточной функцией

3. Построить LTI-объект, соответствующий замкнутой системе. Преобразовать его к ss-форме.

4. При k=10 проанализировать устойчивость методом В.И. Зубова.

5. Найти область устойчивости по параметру k.

Исходные данные.

Объект управления – транспортный реактивный самолет, выполняющий полет на высоте 12 км с постоянной скоростью 180 м/с.

Будем рассматривать процесс стабилизации самолета в горизонтальной плоскости по углу курса с φ помощью отклонения руля направления на угол δ.

Процесс стабилизации самолета в горизонтальной плоскости описывается LTI-моделью, представленной в tf-форме с помощью передаточной функции от входного сигнала – угла отклонения руля направления – к выходному сигналу – углу курса, которая имеет следующий вид:

(1)

Передаточная функция автомата стабилизации:

(2)

1) Сформируем LTI-объект, соответствующий данной модели:

k=1.38;

n1=[1 2.07];

n2=[1 0.05 0.066];

d1=[1 0];

d2=[1 0.38 1.813];

d3=[1 2.09];

d4=[1 -0.004];

num=k*conv(n1,n2);

den=conv(conv(d1,d2),conv(d3,d4));

F=tf(num,den);

F1=zpk(F);

Результат работы программы:

Модель системы в виде передаточной функции:

F =

1.38 s^3 + 2.926 s^2 + 0.2339 s + 0.1885

---------------------------------------------------

s^5 + 2.466 s^4 + 2.597 s^3 + 3.779 s^2 - 0.01516 s

F1 =

1.38 (s+2.07) (s^2 + 0.05s + 0.066)

------------------------------------------

s (s+2.09) (s-0.004) (s^2 + 0.38s + 1.813)

2) Замкнем объект автоматом стабилизации:

da=[1 1];

dena=da;

numa=10;

Fa=tf(numa,dena);

C=feedback(F,Fa);

C1=zpk(C);

Результат работы программы:

3) Преобразуем полученную модель в модель в пространстве состояний:

Css=ss(C)

Результат работы программы:

Css =

A =

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 -3.466 -1.266 -2.522 -2.064 -0.2905 -0.4713

x2 4 0 0 0 0 0

x3 0 2 0 0 0 0

x4 0 0 2 0 0 0

x5 0 0 0 0.5 0 0

x6 0 0 0 0 0.5 0

B =

u1

x1 1

x2 0

x3 0

x4 0

x5 0

x6 0

C =

x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 0 0.345 0.5382 0.1975 0.05281 0.04713

D =

u1

y1 0

4) Анализ устойчивости системы методом В.И. Зубова:

B=eye(6)+2*inv(Css.a-eye(6));

my=[];

K=100;

for (k=1:1:K)

my(k)=norm(B^k);

end

my(k)-my(k-1)

Результат работы программы для K=100:

ans =

1.4499e+08

Результат работы программы для K=1000:

ans =

4.4344e+87

5) Найдем область устойчивости по параметру k:

Smax=[]; Ka=[];

i=1;

for (ka=100:-0.1:0)

numa=ka;

Fa=tf(numa,dena);

C=feedback(F,Fa);

Css=ss(C);

smax=max(real(eig(Css.a)));

Ka(i)=ka;

Smax(i)=smax;

i=i+1;

end

plot(Ka,Smax);

Результат работы программы:

Рисунок 1

Из диаграммы, представленной на рисунке 1 следует, что при увеличении значения коэффициента К_а автомата стабилизации увеличивается максимальное значение вещественной части собственных чисел матрицы А, причем на всем диапазоне оно положительное, что позволяет сделать вывод о неустойчивости системы.

Вывод.

В ходе выполнения лабораторной работы были изучены методы оценки устойчивости линейных динамических систем. В ходе работы был сформирован LTI – объект, соответствующий заданной модели, затем данный объект был задан объектом автомата стабилизации. После был проведен анализ устойчивости полученной модели методом В. И. Зубова. В результате было получено, что система является неустойчивой, поиск области устойчивости данной модели показал аналогичный результат.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Код программы для практического занятия (реализация метода скорейшего спуска):

rng(7408);

A=(rand(4)*5+2.5);

A1=A'*A;

b=A'*[1;2;3;4];

y0=[0;0;0;0];

r0=A1*y0-b;

B=eye(4);

e;

while (e>=0.000001)

r0=A1*y0-b;

tay1=(r0'*r0)/((A1*r0)'*r0);

y1=y0+inv(B)*(-r0)*tay1;

y0=y1;

e=sqrt(r0'*r0)

end

y0

y1

z1=A*y1

e

Результат работы программы:

A =

5.6266 7.4471 3.0636 3.1629

3.8730 2.8521 5.8313 2.5608

5.4624 3.5461 6.6025 6.1531

2.9295 5.5716 3.1680 3.6951

y1 =

-1.4156

0.6534

0.6864

0.6311

z1 =

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

e =

9.8124e-07