16

Лекция 4. Аналого-цифровые преобразователи Дискретизация, квантование и кодирование

Варианты условных графических изображений АЦП приведены на рис. 1.

(а) (б)

Рис. 1. Варианты условных графических изображений АЦП

Преобразование непрерывных сигналов в числовые последовательности включает следующие этапы: дискретизацию непрерывного сигнала во времени (или по другой независимой переменной сигнала, например, пространственной координате); квантование выборки сигнала; кодирование проквантованного значения выборки, т.е. представление количества квантов в требуемой системе счисления (чаще всего в двоичной позиционной). Дискретизация и квантование приводят к замене непрерывной функции аналого-дискретной функцией с конечным набором возможных значений. На непрерывную функцию накладывается решетка допустимых значений во времени и по значениям (см. рис. 2) и затем значения такой функции кодируются.

Рис. 2. Дискретизация и квантование аналогового (непрерывного) сигнала x(t) по методу округления: Δx(k) – методическая погрешность квантования отсчета сигнала x(k); k – дискретный момент времени; h – шаг квантования; H – шкала преобразования; x(k) = x_КВ(k) + Δx(k), где x_КВ(k) – аналоговый квантовый эквивалент выходного кода АЦП для отсчета сигнала в дискретный момент времени k.

Дискретизация

При дискретизации непрерывной функции x(t) осуществляется замена этой функции отдельными её проквантованными значениями (называемыми выборками или отсчётами) x(t_k). Выборки x(t_k) образуют последовательность x(k) (или U_ВХ(t_k)), где k = 1; 2; 3; … – последовательность номеров выборок; t_k = k×t_Т – дискретное время; t_Т – такт или период дискретизации непрерывного сигнала во времени t_Т = t_Д. Последовательность моментов выборок t_k = kΔt чаще всего осуществляется через периодически повторяющийся тактовый интервал времени t_Т = t_Д, являющийся периодом дискретизации t_Д непрерывной функции. На рис. 3 приведен пример процесса дискретизации входного сигнала АЦП U_ВХ(t) перед последующим преобразованием аналого-дискретных выборок в последовательность соответствующих им их цифровых кодов N_ВЫХ(U_ВХ(t_k)).

Рис. 3. Пример процесса дискретизации входного сигнала АЦП U_ВХ(t) перед преобразованием аналого-дискретных выборок в последовательность соответствующих им выходных цифровых кодов N_ВЫХ(U_ВХ(t_k)).

При идеальной процедуре дискретизации значения выборок x(t_k) однозначно совпадают с соответствующими значениями непрерывной функции x(t) при t = t_k. Реальная же дискретизация невозможна без погрешностей как временных, так и амплитудных, то есть имеется временная неопределённость привязки выборки относительно идеального момента дискретизации, так и амплитудная погрешность (ошибка) при выборке значения непрерывного сигнала, обусловленная как аппаратурными погрешностями, вносимыми устройством выборки, так и погрешностями, связанными с изменением самого непрерывного сигнала в процессе осуществления выборки и фиксации выбранного значения x(t_k). Интервал времени, ограничивающий неопределённость временной привязки выборки x(t_k), определяется как апертурное время t_а (см. рис. 4), а погрешность значения выборки x(t_k, t_а), обусловленная динамическими погрешностями, т.е. изменением сигнала во время выборки, определяется как апертурная амплитудная погрешность Δx_а = Δx_ДИН(t_k). Таким образом, можно сказать, что погрешность выборки лежит в зоне апертурной неопределённости (погрешности) {Δx_а, t_а}, образующей зону - прямоугольник - в координатах значения сигнала (функции) x и времени t.

На рис. 4 приведен фрагмент шкалы АЦП, иллюстрирующий зону допустимой динамической погрешности, обусловленной изменением сигнала во время преобразования в цифровой код внутри шага квантования АЦП, который частично ограничен наличием статических аппаратурных погрешностей АЦП ±σ_А.АЦП, приведенных ко входу АЦП.

Рис. 4. Зона допустимой динамической погрешности Δx_П.ДИН ≤ Δx_{П.ДИН.МАКС} на входе АЦП, максимальная динамическая погрешность Δx_{П.ДИН.МАКС} ≤ h/(2√3) - σ_А.АЦП, где σ_А.АЦП – среднеквадратическое отклонение статической аппаратурной погрешности, приведенное ко входу АЦП; h – шаг квантования младшего значащего разряда выходного кода (МЗР).

Важным фактором при дискретизации непрерывного сигнала x(t) является сохранение последовательностью выборок x(t_k) всей информации, которая заложена в непрерывном сигнале. Сохранение информации исходного сигнала обычно подтверждается возможностью восстановления исходного непрерывного сигнала x(t) по последовательности его выборок x(t_k).

Для идеализированного случая дискретизации, то есть при отсутствии апертурных погрешностей дискретизации Δx_а = 0 и t_а = 0, однозначное восстановление непрерывного сигнала x(t) по последовательности его выборок x(t_k) возможна только в том случае, когда спектр F(jω) исходного непрерывного сигнала ограничен, то есть равен нулю F(jω) = 0 при частотах больше некоторой максимальной частоты ω > ω_m, где ω_m - максимальная частота спектра непрерывного сигнала; при этом частота дискретизации (то есть частота последовательности выборок) ω_Д как минимум должна быть вдвое больше максимальной частоты спектра исходного непрерывного сигнала, ω_Д ≥ 2ω_m. Частота периодических выборок (дискретизации) связана с периодом дискретизации следующим выражением: ω_Д = 2π/t_Д или f_Д = 1/t_Д.

В этом случае идеализированной дискретизации непрерывный сигнал x(t) может быть восстановлен с использованием операции свёртки последовательности выборок x(t_k) и функции импульсной характеристики восстанавливающего фильтра вида

h_В(t) = sin(ω_Д×t/2)/(ω_Д×t/2).

При этом процедура восстановления описывается следующим выражением



x(t) =  x(k×t_Д)×{sin[ω_Д(t-k×t_Д)/2]}/[ω_Д(t-k×t_Д)/2].

k = - 

Если частота дискретизации (частота выборок) менее удвоенной максимальной частоты спектра непрерывного сигнала, то есть ω_Д < 2ω_m, то при дискретизации происходит необратимая потеря части информации, содержащейся в непрерывном сигнале, и полностью такой сигнал по сформированным таким образом выборкам восстановить нельзя. Кроме того, если дискретизация неидеальная, то есть имеются апертурные искажения, также возникают необратимые потери информации (искажение сигнала) при дискретизации. Чтобы минимизировать искажения сигнала при его неидеальной дискретизации, необходимо выбирать более высокую частоту дискретизации по сравнению с идеальным случаем. Конкретный выбор частоты дискретизации зависит от значения апертурного времени и его отношения к допустимой величине периода дискретизации, определяемой максимальной частотой спектра непрерывного входного сигнала.

Квантование и кодирование

Реальные значения выборок непрерывного (аналогового) сигнала x(k) можно представить в виде сумм результатов квантования выборок входного сигнала x_КВ(k) и соответствующей погрешности квантования Δx(k), обусловленной расположением допустимых дискретных уровней (значений) сетки квантования выборок входного сигнала

x(k) = x_КВ(k) + Δx(k),

где x(k) – истинное значение выборки непрерывного сигнала в k-й момент времени; x_КВ(k) – дискретное значение выборки (квантовый эквивалент выборки) в k-й момент времени, соответствующее значению его выходного кода; Δx(k) – погрешность (абсолютная ошибка) квантования в k-й момент времени; k - порядковый номер дискретного момента времени; t_k = kt_Д – дискретное время; t_Д – период дискретизации непрерывного сигнала во времени.

Преобразование (квантование) сопровождается формированием трех последовательностей: {x(k)} – последовательности истинных значений отсчетов (выборок) непрерывного сигнала x(t); {x_КВ(k)} - последовательности проквантованных (дискретных по значению) отсчетов сигнала; {Δx(k)} – последовательности погрешностей (ошибок, остатков) квантования отсчетов сигнала. При кодировании осуществляется представление дискретного (проквантованного) значения выборки x_кв в виде целого числа квантов h или в виде дробной части от максимального числа квантов, содержащихся в шкале преобразования H.

Основой моделей квантования выборок сигнала служат шкалы, составленные из определенного количества эталонов или мер. Квантование определяется сопоставлением выборки сигнала со шкалой. Деления этих шкал задают решетку возможных значений чисел после квантования.

Электронные преобразователи описываются передаточными характеристиками, отображающими связь входных и выходных переменных. В качестве статических передаточных характеристик идеальных моделей аналого-цифровых преобразователей можно использовать квантующие-кодирующие функции, определенные следующим образом: a_i(x) - двоичные функции, принимающие значение 0 или 1 в интервале допустимого изменения аргумента x; i – номер функции, i = 1, 2, ..., n. Выходной код аналого-цифрового преобразователя в нормальный двоичный позиционный код определяется соответствующими значениями разрядов кода a_i(x):

{a_i(x)} = {a₁(x) a₂(x) ... a_n(x)}.

Кодирование данного типа основано на процедуре измерения значения x по принципу деления отрезков шкалы, на котором находится измеряемая величина, на две равные части, т.е. дихотомии.

Скачки переходов уровней функций a_i(x) между 0 и 1 задаются положениями делений шкал, соответствующих этим функциям, полученным в процессе применения алгоритма на основе дихотомии. Квантующие-кодирующие двоичные функции a_i(x) = {1,0} дают ответ "да" или "нет" на вопрос о возможном значении x в процессе его измерения. На рис. 5 приведен пример трех квантующих-кодирующих функций, отображающих преобразование x, заданного в интервале от 0 до H = x_m, в трехразрядный нормальный двоичный код на основе алгоритма дихотомии. Для аналитического описания процедуры кодирования в двоичные коды можно использовать периодические функции Радемахера-Уолша, принимающие значения -1 или +1, часть которых приведена на рис. 6.

Рис. 5. Рис. 6.

Рис. 5. Статические передаточные характеристики отдельных разрядов АЦП; x_ПЕРi = H/2^i-1 – период i–й функции квантования входного аналогового сигнала a_i(x), где i = 1; 2; …; n; Δx_i – погрешность или остаток от квантования при определении i–го разряда выходного кода АЦП.

Для определения значения i-го разряда кода двоичной квантующей-кодирующей функции a_i(x), соответствующие разряду i кода, может быть использован аналитический аппарат функций Радемахеру rad (i, x), где i-номер функции Радемахера (см. рис. 6), x – входная переменная (сигнал)), в свою очередь функции Радемахера являются периодическими функциями Уолша

a_i(x) = 0.5 – 0.5 rad (i, x).

С учетом рекуррентности функций Радемахера определение всех значений разрядов кода возможно на основе масштабного отображения остатков x_i-1 на первую функцию Радемахера

a_i(x_i-1) = a₁(x_i-12^i-1) = 0.5 – 0.5 rad (i=1, x).