1сем Дагаев / LabPHLL

			n	(2x 3k cos(k)			2,3
	y 6,3x	4			x 1
								) .
			k 3				k

Вначале выделим в отдельную формулу вычисление суммы. вместо одной формулы (1) получим две расчетные формулы (2) и (3)

		n			2,3
	s	(2x3k cos(k)	x 1			) ,	(2)
		k 3			k
	y 6,3x + s .						(3)

(1)

Тогда

Вычисления по (2) требуют организации цикла (ЦА), а вычисления по

(3) – линейного алгоритма. Нетрудно видеть, что вычисления по (3) должны составить завершающий линейный подалгоритм (ЗЛА).

Теперь необходимо выполнить “чистку” цикла, убрав из (2) те вычисления, результаты, выполнения которых не зависят от переменной суммирования k. Эти вычисления, вынесенные из цикла, должны составить

(ПЛА).

Учитывая соображения, изложенные выше, получим следующие расчетные формулы:

ПЛА:	с 2x3							(4)
	d		x 1 ,					(5)
ЦА:	z		n		dcos(k)	2,3		(6)
			(ck				),
		k 3				k
ЗЛА:	y 6,3x –4z.							(7)

Указания по организации циклического подалгоритма (ЦА).

Вычисление сумм и произведений реализуется с помощью арифметического цикла. При программировании на языке СИ для организации арифметических циклов следует использовать оператор цикла for. В качестве параметра цикла в операторе цикла может использоваться переменная суммирования (переменная, используемая при вычислении произведения). При вычислении суммы в задаче варианта 31 такой переменной является переменная k. Оператор цикла должен определять пределы изменения переменной суммирования (переменной, используемой при вычислении произведения). В рассматриваемом примере циклический подалгоритм ЦА должен иметь следующую структуру:

подготовка к первому выполнению цикла,

оператор цикла for,

31

тело цикла (рабочая часть, подготовка к новому выполнению цикла).

Разработку цикла рекомендуется начать с рабочей части цикла, которая для рассматриваемого примера имеет следующий вид

s = s+ c*k + d * cos(k) – 2.3 / k.

С помощью этого оператора выполняется накопление суммы. Подготовка к первому выполнению цикла осуществляется следующим

образом: s=0;

Некоторые дополнительные рекомендации по решению отдельных типов задач настоящей лабораторной работы приведены ниже.

Ниже в таблице приведены идентификаторы переменных для задачи варианта 31.

		Таблица идентификаторов
Обозначения в задаче	Идентификатор		Назначение
n	N		Исходные данные
x	X
y	Y		Результат вычислений
	S		Сумма
	C
			Вспомогательные
	D		величины
	K		Счетчик

Вычисление суммы (произведения) знакопеременного ряда

В некоторых вариантах заданий необходимо работать со знакопеременным рядом. Рассмотрим в качестве примера задачу, в которой необходимо вычислить значение y, заданной следующим образом:

y n ( 1)i i2 .

i 2

Наличие сомножителя ( 1)i делает ряд знакопеременным. Изменение знака в теле цикла можно учесть путем введения вспомогательной переменной (назовем ее znak). Изменение знака можно реализовать с помощью оператора znak = -znak. Ниже приведен фрагмент программы, выполняющий необходимые вычисления:

y = 0 ; znak = 1 ;

for( i = 2; i ≤ n; i++)

{y = y + znak * sqr(i) ; znak = - znak ;

}

32

0

Начало

1

Ввод x и n

2
c = 2 x 3 ;
d =	x 1

3

s= 0

4

for( k= 3;k≤n;k++)

5

s = s + d*cos(x) – 2.3 / k

6

y= 6.3 – 4*s

7

Вывод y

8

Останов

Схема алгоритма решения задачи

33

Вычисление очередного слагаемого по рекуррентной формуле

Пусть необходимо вычислить сумму следующего вида:

y	n	xi
	i 4	i!	.

На первый взгляд, для вычисления рассматриваемой суммы необходимо организовать вложенные циклы. При этом внешний цикл должен накапливать сумму y, а внутренний цикл должен вычислять факториал i!. Такой подход имеет ряд недостатков. Во-первых, поскольку функция i! быстро растет, это может привести к переполнению разрядной сетки. В то же время значение очередного слагаемого, определяемого величиной

xi , i!

может помещаться в разрядной сетке компьютера. Вторым недостатком является необходимость организации вложенных циклов.

Другой подход к вычислению этой суммы связан с использованием функциональной связи между двумя последовательными значениями слагаемых искомой суммы y. Обозначим эти значения слагаемых через

Ai и Ai 1. Составим отношение этих слагаемых

Ai 1		x	.
A		i 1
i

При таком подходе отпадает необходимость в вычислении факториала i!. Кроме того, вычисления могут быть выполнены с помощью одного цикла (нет необходимости в организации вложенных циклов).

Следующий фрагмент программы реализует необходимые вычисления: y = 0;

A = x*x*x*x / 24 ; for (i = 4; i <= n; i++)

{

y = y + A ;

A = A * x / (i + 1) ;

}

Методические указания по выполнению контрольного расчета

В контрольном расчете для данной лабораторной работы необходимо выбрать численные значения величин n и x. При контрольном расчете рекомендуется значение переменной n выбирать таким образом, чтобы можно было проверить организацию цикла при минимальном количестве вычислений. В рассматриваемом примере варианта 31 для контрольного

34

расчета выбрано n = 5. Тогда с учетом начального значения k = 3 вычисления в рабочей части цикла будут выполняться трижды. Значение величины x следует выбирать таким образом, чтобы упростить вычисления. В примере варианта 31 удобно выбрать x = 3. Тогда d =

3 1 = 2, а с = 2 * 32 = 54. При выбранных значениях величин n и x величина s будет равна s = 0 + (54 * 3 + 2 * cos 3 – 2, 3 / 3) + (54 * 4 + 2 * cos 4 – 2,3 / 4) + (54 * 5 + 2 * cos 4 – 2, 3 / 5) = 643, 478. Окончательный результат контрольного расчета:

y = 6,3 * 3 – 4* 643, 478 = -2555, 014.

Результаты расчетов необходимо свести в таблицу

Таблица вычислений

Назначение набора	Набор данных		Результаты	Результаты
данных			ручных	машинных
			вычислений	вычислений
	n	x	y	y
Контрольный набор	5	3	-2555,014
Рабочий набор	20	4,75

Контрольные вопросы

1.Найдите в Вашей программе основные компоненты функциональной схемы цикла: подготовку цикла (инициализацию цикла), рабочую часть, подготовку к новому выполнению цикла, проверку нахождения в цикле.

2.Укажите, какие элементы Вашей программы относятся к предварительному подалгоритму, а какие - к завершающему подалгоритму?

3.Укажите, была ли необходимость в чистке цикла в Вашей программе?

4.Напишите программу для вычисления значения величины у, заданной следующим образом

		n	2	n	i
	3 *	i
y	i 2			i 2 i 2
	n	2 2 *		n	i
	i
	i 2			i 2 i 2 .

5.Напишите рекуррентную формулу вычисления очередного слагаемого для вариантов 5, 7, 14.

35

Лабораторная работа 5

Программирование вложенных циклов

Постановка задачи

В настоящей лабораторной работе необходимо выполнить вычисления, для организации которых следует использовать несколько циклов, причем некоторые из них должны быть вложенными.

Варианты заданий

В работе необходимо вычислять значение (я) функции y = f(x). Варианты заданий отличаются видом функции (см. таблицу, приведенную ниже). В нечетных вариантах заданий необходимо вычислять значение функции для одного значения аргумента x, а в четных следует решать задачу табулирования. При вычислении значения функции оказывается необходимым вычислять несколько сумм (произведений). Вычисление некоторых сумм (произведений) может потребовать организации вложенных циклов.

Номер							Функция																Рабочий набор
																					x	m		Xнач	xкон	n
					2x					m
			n							(i j)2
										j	1
1																					2	20		-	-	10
											m
			i 1				x i
													(k 1)
										k 1
		x2		m				x i 2						m 1
2													x						j		-	10		1	5	20
										i
			i 2 2x											j 2
						10				m		(j i)2
			n
										j 1
3																					1,5	25		-	-	7
							20 i 2						m
			i 1
													k 2
													k 1
			m											m				k)2
4		2x							j	1 (x											-	12		2	10	20
			j	2										k 1
											m
			n			x3 ( k 3 )2
											k 1
5																					3	20		-	-	12
										m
			i 2				x							i j
										j 1
				m										m
6	sin(x			(x k)2 ) j3																	-	15		1	20	15
				k	1									j 1
																										36

							5x				m							x)2
			n								(k
										k 1
7																																			2,5	12	-	-	9
										m
			i 1 x														2 j		3i
										j 1
			m					(k 1)2											m
8	3 x																									x j									-	10	1	7	15
			k	1														j 1
									x		m				1)k k
				n							(
										k 1
9																																			2	15	-	-	12
									1		m
			i 1								(2i j)
											j 1
									x			m
												k 3
10											k		1																						-	12	1	8	15
						x 2				m			(j x)2
										j	1
									3x			m						i)2
				n								(k
											k 1
11																																			2	10	-	-	11
											m
			i 1 4x															2	j
											j 1
	2x2					m													m				3 2
12						(x				k) x j																									-	10	3	8	15
				k 1															j 1
						0,5x						m			(2j 1)2
			n
13											j 1																								2	20	-	-	14
											m
			i 1						x
											(i 2k)3
										k 1
			m								2						m		1 k 2
14	3x				(x j)																									1					-	4	1	5	20
																			4 k
			j 1												k 1
									2x			m						1)2
			n												(i
											i 1
15																																			1,5	10	-	-	12
												m						j)2
			j 1 4x									(k
											k		1
					m					x				k							m								2
16		5x			(												) x i																		-	1	4	10	15
				k		1				k				x							i 1
							1 x				m							1	k)
											(
			n
										k 1								k
17																																			4,5	15	-	-	10
										m									j
			i 1			3i								(x						)2
										j	1								i
			m			1													m					j							x
18	sin(x								) cos(1 (																									))	-	0,5	1	10	15
			i 1			i													j 1				x								j
									xi						m				3
			n												k
											k 2
19																																			1,2	15	-	-	9
											m
			i 2 2								(i jx)2
										j 2

37

															m																j							m						2
20			2x2															(2 x																										2 )											-	1,5	2,5	15	20
																																						k
												j 1																	x k										1
																			m							k													j
															jx (																											)
								n
																		k 1									j											k
21																																																							5	15	-	-	10
																									m							1
							j	1										2j x
																								i 1 i
															m							m
22		4 1 (2													i 2							(1 kx)2 )2																																	-	1	2	10	15
															i 1						k 1
																		kx					m									3
											n												j
																						j 1
23																																																							2	15	-	-	14
																			m																i
									k 1 1													(1																	)
																																		k
																		i 1
																		m										1
												x						(1														)
24																		i 1										i																											-	10	1	5	15
																		m							5										2
										1								(x														)
																										k
																	k 1
																																			m
																							4																							j i
		m																	n
						k								x																					j 1
25		(															)																																						2	20	-	-	6
																																			m
		k 1				x								k					i 1 x																											j i
																																			j 1
							m									k			x										m
26		2x					(														)																						10 j												-	10	1	3	15
																x
					k			1											k								j 1
																																							m
																						20x																										j i
		m			k							x							n
																																						i 1
27				(											)																																								3	16	-	-	7
																																			m
	k 1				x k													j 1 1																												j i
																																			i 1
28															m																				m
					2x														x k																											j									-	10	0	5	20
												k 1																							j 1
												x						m			j)2																						m
							n											(i																									k 2
		2x																j 1																							k 1
29																																																							5	25	-	-	11
																					m
					i 1
																		i																	i j
																				j 1
														m							1				2																m			(j x)2
30																																																							-	15	0	3	25
		1 20x												(k											)
																					k
												k			1																									j 1

Методические указания по выполнению работы

Характеристики программы в значительной степени зависят от ее структуры. Поэтому разработке структуры программы должно быть уделено большое внимание. При разработке структуры программы необходимо

38

определить количество циклов и их взаимное расположение. При этом следует определить, какие из них должны быть вложенными. Кроме того, некоторые циклические вычислительные процессы могут быть реализованы с помощью одного цикла. Рассмотрим вопрос о разработке программы применительно к варианту 29.

При решении задачи для варианта 29 необходимо организовать четыре циклических вычислительных процесса. Первый из них должен использоваться для вычисления внешней суммы и три других - для вычисления внутренних сумм и произведения. Для вычисляемых сумм и произведения введем следующие обозначения: S – внешняя сумма, S1, S2 – внутренние суммы и P – произведение. Указанные величины должны вычисляться по следующим формулам:

S1		m
		(i j) 2 ,
		j 1m
S2 k 2 ,
		mk	1
P			i j
				,
		j 1
n x S1(i) S2
S					.
		i P(i)
i 1

Если не учитывать особенности расчетных формул для вычисления величин S, S1, S2 и P, то можно придти к следующей структуре программы. Программа должна содержать четыре циклических алгоритма (по числу циклических вычислительных процесса). Причем три цикла (циклы для вычисления величин S1, S2 и P) должны быть вложены в цикл, предназначенный для вычисления величины S.

Выполняя более детальный анализ указанных формул, следует обратить внимание на следующее. В формулу, определяющую значение величины S2, не входит переменная суммирования i, которая используется для вычисления величины S. Это позволяет выполнить вычисления величины S2 один раз. Для этого цикл, определяющий величину S2, необходимо вынести из вложенных циклов. Затем, как не трудно видеть, вычисления величин S1 и P можно выполнить в одном цикле.

Изложенные выше соображения позволяют предложить структуру программы, изображенную на рис.5.1. Структура программы представлена с помощью диаграмм Насси – Шнейдермана.

39

Решение задачи для варианта 29

Ввод x, n, m

S2 = 0

for (k = 1; k ≤ m; k++)

S2 = S2 + k*k

S = 0

for (I = 1; i ≤ n; i++)

S1 = 0 ; P = 1 ;

for (j = 1; j ≤ m; j++) a = i – j

S1 = S1 + a*a

P = P * sqrt ( fabs(a) )

S = S + (x + S1 + S2) / (i + P)

y = 2 * x + S

Вывод y

Останов

Рис. 5.1

40