твимс кр / Лекции 2-3
.pdfЛекция 2
1.1.Повторение испытаний. Схема испытаний Бернулли
Рассмотрим серию последовательных одинаковых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A. Если вероятность наступления события A в каждом из испытаний не зависит ни от номера испытания, ни от исходов предыдущих испытаний, то такую серию испытаний называют схемой Бернулли. Наступление события A в некотором испытании называют успехом, а не наступление – неудачей. Вообще, можно считать, что в каждом испытании возможны лишь два исхода – успех и неудача.
Вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна p, вероятность неудачи также постоянна и равна q=1-p. Таким образом, параметрами схемы испытаний Бернулли служат число испытаний n и вероятность успеха p.
Пример. Какие из ниже перечисленных последовательностей испытаний можно считать последовательностью Бернулли:
а) подбрасывание симметричной монетки;
б) вытягивание из колоды карт без возвращения, если за успех считать вытягивание короля;
в) бросание игральной кости, если за успех считать выпадение шестерки;
г) попытки студента сдать экзамен по теории вероятностей.
►Для того, чтобы последовательность была последовательностью Бернулли, требуется, чтобы вероятность успеха в каждом испытании была одинаковой и не зависела ни от номера испытания, ни от исходов предыдущих испытаний. Этим условиям соответствуют последовательности а) и в). Пример б) не подходит, так как после каждого испытания меняется соотношение числа благоприятствующих исходов (число оставшихся королей в колоде) к числу всех исходов (все оставшиеся карты в колоде), т.е. вероятность успеха не является постоянной. Пример г) тоже не является последовательностью Бернулли, в силу того, что студент, надо надеяться, при каждой следующей
1
попытке сдачи экзамена будет готовиться тщательнее, тем самым повышая вероятность успеха. ◄
Нашей задачей, связанной со схемой Бернулли, будет вычисление того,
что в серии из n испытаний Бернулли произошло ровно k успехов. Будем обозначать эту вероятность через ( ). Из комбинаторных соображений несложно показать, что эта вероятность может быть точно вычислена по следующей формуле, называемой формулой Бернулли:
|
( ) = −, |
(1) |
|
|
|
где 0 ≤ ≤ .
Теорема. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p, а вероятность не появления его равна q=1-p, то вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз, определяется формулой Бернулли:
2
( ) = −, где 0 ≤ ≤ .
►Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие
A в n независимых испытаниях появится k раз в первых k опытах и не появится
|
|
|
|
∙ ∙ ∙ |
|
̅ ̅ |
̅ |
|||||
(n- k) раз в остальных опытах {это событие: |
∙ ∙ ∙ ∙ |
} по |
||||||||||
|
|
раз |
|
( − ) раз |
||||||||
теореме |
умножения вероятностей равна −. Вероятность |
появления |
||||||||||
|
|
|
|
̅ ̅ ∙ ∙ ∙ |
|
̅ |
||||||
события A k раз в другом порядке, например, |
∙ ∙ |
|
|
̅ |
||||||||
|
|
|
|
|
раз |
∙ ∙ ∙ |
или |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
̅ |
̅ |
̅ |
|
|
|
|
− |
. |
|
|
|
|
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ и т.д. будет такой же, т.е. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Число таких вариантов, когда событие A встречается в n независимых |
испытаниях k раз в различном порядке равно числу сочетаний . А так как все эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных исходов, т.е.
|
− + + − |
|
|
|
|
|||
( ) = |
|
|
= −, где 0 ≤ ≤ . ◄ |
|||||
|
|
раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
вероятности |
|
( ) |
– |
это коэффициенты |
|
при в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разложении бинома Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
||
( + ) = + 1 |
−1 1 + |
2 |
−2 2 |
2 |
+ + − + + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственно поэтому, вероятность ( ) |
называют биномиальным законом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения |
вероятностей, |
пи этом, |
функция ( + ) |
|
является |
|||
|
производящей функцией для последовательности независимых опытов.
(2)
Вероятности (2) называются полиномиальным распределением.
3
Примеры:
1. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,9. Какова вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы?
►Известно, что p=0,9. Тогда вероятность перерасхода электроэнергии равна q=1-p=1-0,9=0,1. Искомую вероятность находим по формуле Бернулли
(1): 7(4) = 74 4 3 = 35 ∙ 0,94 ∙ 0,13 = 0,023. ◄ 2. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности
попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Какова вероятность:
а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий?
Решить задачу и для случая, когда вероятности различны: 1 = 0,7; 2 =
0,8; 3 = 0,9.
4
Рисунок 1. Вероятности попадания в цель (пример 2)
Также нас может заинтересовать, какова вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли число успехов попадет в заданный интервал.
Вероятность того, что число успехов не меньше 1 и |
не превышает 2 |
||||||||
обозначим через ( |
, |
2 |
). Используя формулу Бернулли, получим: |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( , |
2 |
) |
= ∑ 2 |
( ) = |
∑ 2 |
−. |
(3) |
||
1 |
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
И еще один интересный вопрос: какое число успехов в серии испытаний Бернулли является наиболее вероятным? Другими словами, требуется найти такое число 1 ≤ 0 ≤ , что для любого 1 ≤ ≤ справедливо: (0) ≥( ). Для ответа на этот вопрос исследуем следующее отношение:
( +1) |
|
+1 +1 − −1 |
|
( − ) |
|
||
|
|
= |
|
= |
|
. |
|
( ) |
− |
( +1) |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5
Вероятность ( ) |
не убывает с ростом |
, т.е. ( + 1) |
≥ ( ), это |
||
|
|
|
|
|
|
означает, что |
( − ) |
≥ 1, |
− ≥ ( + 1)(1 − ), ≤ − . |
|
|
|
|
||||
|
( +1) |
|
|
|
|
Аналогично, вероятность ( ) не возрастает с ростом , если ≥ − |
|||||
|
|
|
|
|
|
. Таким образом, получаем: |
|
|
|||
|
− ≤ 0 ≤ + . |
(4) |
|
Числа − и + , вообще говоря, могут быть не целыми, но разность
между ними равна 1, следовательно, между этими числами обязательно найдется целое. И это целое число 0 называется наивероятнейшим числом
наступления события А в n независимых испытаниях, если вероятность того,
что событие А наступит 0 раз не меньше остальных возможных исходов испытаний. При этом, если + число целое, то получаем два наивероятнейших числа: 0 = + и 0′ = − .
Примеры:
1.По данным предыдущего примера найти наивероятнейшее число суток из ближайших семи, в которые расход электроэнергии не превысит установленной нормы, и вероятность этого наивероятнейшего числа.
►Для решения задачи используем формулу (3): 7 ∙ 0,9 − 0,1 ≤ 0 ≤ 7 ∙ 0,9 + 0,9 6,2 ≤ 0 ≤ 7,2. Единственное целое число, удовлетворяющее данному неравенству: 0 = 7. А вероятность этого наивероятнейшего числа равна: 7(7) = 77 7 0 = 0,97 = 0,478. ◄
2.Каково наивероятнейшее число успехов в серии из 21 испытания, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0,4?
►Вычислим − и + :
− = 21 ∙ 0,4 − 0,6 = 7,8; + = 21 ∙ 0,4 + 0,4 = 8,8.
Целое число 8 и будет наивероятнейшим числом успехов в данной серии испытаний. ◄
3. Найти вероятность того, что в серии из 8 испытаний Бернулли число успехов попадет в интервал от 3 до 6, если p=0,5.
6
►По условию задачи нужно найти вероятность 8(3,6). Искомую вероятность будем вычислять по формуле (3): 8(3,6) = 8(3) + 8(4) +8(5) + 8(6) = С38 ∙ (0,5)3 ∙ (0,5)5 + С48 ∙ (0,5)4 ∙ (0,5)4 + С58 ∙ (0,5)5 ∙ (0,5)3 + С68 ∙ (0,5)6 ∙ (0,5)2 = (С38 + С48 + С58 + С68) ∙ (0,5)8 = 0,82. ◄
4. Вычислить вероятность наступления успеха 58 раз при 110 испытаниях Бернулли, если p=0,4.
►Найдем = 1 − 0,4 = 0,6, затем по формуле (1) искомая вероятность равна: 110(58) = 11058 ∙ 0,458 ∙ 0,652 = 58!52!110! ≈ 0,002025. ◄
Однако, с вычислением значения в последнем примере справится не каждый калькулятор. Очевидно, при большом количестве испытаний значение вероятности ( ) по формуле Бернулли может стать весьма затруднительным. Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления ( ), обеспечивающих необходимую точность. В
следующем параграфе рассмотрим случай, когда n и достаточно велики.
2.1.Локальная теорема Муавра – Лапласа
Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых
испытаниях постоянна, отлична от 0 и 1 и равна p, то вероятность ( ) того, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что в этих испытаниях событие A наступит ровно раз, удовлетворяет при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→∞ соотношению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 1, где = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из этой теоремы при достаточно больших n вытекает следующая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( ) ≈ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∙ |
|
|
1 |
|
∙ − |
|
, где = |
|
− |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( ) = |
|
1 |
∙ − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Введем обозначение |
|
|
2 |
– это функция Гаусса. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
формула перепишется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( ) ≈ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∙ ( ), где = |
|
− |
|
. |
(5) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция ( ) в теории вероятностей играет важную роль, поэтому составлены и широко используются таблицы ее значений, одну из которых можно найти в конце данного пособия (приложение 1). Строки таблицы соответствуют значениям аргумента, заданным с точностью до 0,1, а столбцы соответствуют сотым долям . Все значения в таблице меньше 1, но для сокращения объема почти везде опускается «0,» в начале числа. Кроме того,
функция ( ) обладает следующими свойствами:
1.Функция ( ) четная, т.е. (− ) = ( ). Поэтому в таблице приведены только значения функции при положительных значениях .
2.Функция ( ) довольно быстро убывает, поэтому при | | ≥ 4 можно считать, что ( ) ≈ 0.
Пример. Вычислим 110(58) при p=0,4 (из примера 4 предыдущей темы). ►Воспользуемся формулой (5). Итак, сделаем предварительные расчеты:
= 1 − 0,4 = 0,6; = 110 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 26,4; √ ≈ 5,14
≈ |
58 − 110 ∙ 0,4 |
= |
14 |
|
≈ 2,72. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5,14 |
|
5,14 |
|||||||
Воспользуемся таблицей |
значений |
функции ( ): (2,72) ≈ 0,0099. |
||||||||
Таким образом, искомая вероятность равна: |
(58) ≈ |
0,0099 |
≈ 0,001926. ◄ |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
110 |
5,14 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если сравнить это значение с вычисленным непосредственно по формуле
Бернулли, убедимся, что абсолютная погрешность вычислений в нашем случае составила всего 10−5, что можно считать хорошим приближением. А
относительная погрешность составляет 0,002025−0,001926 ≈ 0,04889, т.е.
0,002025
меньше 5%.
С другой стороны, попробуем воспользоваться формулой (5) в
следующем примере.
Пример. Вычислить 8(3) при p=0,1.
►Вычислим значение 8(3) при p=0,1 двумя способами: с помощью формулы (5) и по формуле Бернулли (1).
8
1. Прежде чем применить формулу (5), проведем предварительные
расчеты: ≈ 3−8∙0,1 = 2,2 ≈ 2,59. По таблице значений ( ): (2,59) ≈
√8∙0,1∙0,9 0,85
0,0139. Таким образом, по формуле (5) искомая вероятность равна: 8(3) ≈
0,01390,85 ≈ 0,016.
2. При непосредственном использовании формулы Бернулли, получаем несколько другой результат:
8(3) = 83 ∙ 0,13 ∙ 0,95 = 56 ∙ 0,001 ∙ 0,59049 ≈ 0,033.
Относительная погрешность в данном случае составляет:
0,033−0,016 = 0,017 ≈ 0,515 = 51,5%. ◄ 0,033 0,033
Очевидно, погрешность недопустимо велика, следовательно, формулу (5)
здесь применять нельзя! Формула (5) дает плохое приближение в случаях небольшого количества испытаний (значений n). Можно также убедиться, что точность приближения зависит и от значения p: чем ближе оно к 0,5, тем точнее. А что делать, когда значения p и q маленькие, т.е. близки к 0, но количество испытаний велико и пользоваться формулой Бернулли затруднительно? На этот вопрос ответит следующая теорема.
2.2.Теорема Пуассона
Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых испытаниях равна p, и в каждом испытании эта вероятность неограниченно уменьшается ( → 0), а число испытаний неограниченно увеличивается ( → ∞), причем → , где − постоянная величина, то вероятность ( )
того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно k раз, удовлетворяет предельному равенству:
lim ( ) = ! ∙ − .
→∞
Это равенство называется асимптотической формулой Пуассона. Из теоремы Пуассона, при достаточно больших n и при достаточно малых значениях p, получаем следующую формулу:
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
≈ |
|
|
∙ −, |
где = . |
(6) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
►Из равенства = |
выразим = |
|
|
|
и преобразуем формулу Бернулли |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1) следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−2 |
|
|
|
|
−( −1) |
|
|
|
|
|||||||||
( ) |
= |
|
|
∙ ( |
) ∙ (1 − |
) |
|
= |
|
∙ |
∙ |
|
∙ |
∙ ∙ |
|
∙ (1 − |
) ∙ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
!( − )! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||
(1 − |
) |
= |
|
∙ (1 − |
) ∙ (1 − |
) ∙ ∙ (1 − |
) ∙ (1 − |
) |
|
∙ (1 − |
) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
Переходя к пределу при → ∞, согласно второму замечательному пределу,
получаем lim ( ) = ! ∙ −. ◄
→∞
Вообще говоря, примерное равенство в формуле (6) будет сохраняться при любых значениях p, однако, при недостаточно малых значениях p
погрешность этой формулы будет непозволительно велика.
Формула Пуассона имеет широкое применение в теории массового обслуживания.
Итак, можно сделать следующие выводы. В тех случаях, когда это удобно, т.е. число испытаний достаточно мало, необходимо использовать формулу Бернулли, поскольку она единственная дает точное значение ( ).
В других случаях приходится использовать одну из приближенных формул.
Сделать между ними правильный выбор поможет следующая таблица 1.
Таблица 1. Рекомендации к выбору формулы для вычисления ( )
Название формулы |
Формула |
Условия использования |
Формула Бернулли |
|
Точная формула. |
|
|
|
|
|
Может быть |
|
( ) = − |
использована всегда, но |
|
|
|
|
|
при больших n |
|
|
|
|
|
вычисления |
|
|
затруднительны. |
10